Проблема неочевидного выбора
Описание задачи теории вероятностей, которая формулируется как описание гипотетической игры, основанной на американском телешоу "Let’sMake a Deal". Математическое решение данных задач и их подтверждение посредством программирования в Microsoft Excel.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.03.2018 |
| Размер файла | 227,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Проблема неочевидного выбора
Закирянов И.И.
Филиппова Е.Г.
Каждый из нас в современном мире сталкивается с проблемой выбора. Но всегда ли следует оставаться при своём первоначальном выборе или же его стоит изменить в условиях частичной осведомленности? Принятие решения об изменении первоначального выбора легло в основу достаточно распространенной задачи теории вероятностей, которая формулируется как описание гипотетической игры, основанной на американском телешоу «Let'sMake a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Решение данной задачи по сей день привлекает большое число как математиков, так и программистов. В статье авторы рассматривают случаи с тремя, четырьмя и пятью дверями; приводят соответствующие формулировки задач, иллюстрируя их схемами. Приводят математическое решение данных задач, используя аппарат теории вероятностей, а затем подтверждают математические расчёты посредством программирования в майкрософтэксель. Ключевые слова: полная вероятность, переоценка гипотез.
Постановка задачи. В телешоу участвует один игрок и ведущий. Перед игроком представлены три закрытые двери, за двумя из которых находятся козы, а за оставшейся ? автомобиль. Задача игрока угадать дверь за которой находится автомобиль.[4]
Например, игрок выбирает одну из трех дверей, после чего ведущий, который знает, где находятся козы и автомобиль, открывает одну из двух дверей с козой. Тем самым перед игроком будут представлены не три двери, как изначально, а уже две. Возникает вопрос: "Стоит ли игроку изменить свой первоначальный выбор?".
Чтобы обосновать задачу математически, применим аппарат теории вероятностей, решим ее, используя следствия формулы полной вероятности (1) ? формулу для переоценки гипотез - формулу Байеса (2).[1],[2]
, (1)
(2)
где событие А = {выигрыш автомобиля}, n = 2, гипотезы: H1 = {первоначальный выбор не был изменен}, H2 = { изменили первоначальный выбор}, условные вероятности: P(A|H1) ? условная вероятность того, что будет выигран автомобиль, при первоначальном выборе, P(A|H2) ? условная вероятность того, что будет выигран автомобиль при смене первоначального выбора.
Рассмотрим парадокс Монти Холла для случая с тремя дверями. [4] Схематично данную ситуацию иллюстрирует рис.1
рис.1. Дерево принятия решений для трех дверей
Найдем вероятность наступления события А, если произошла одна из гипотез
.
Вероятность того, что, не меняя свой выбор, можно выиграть автомобиль, равна
а вероятность того, что при смене выбора, можно выиграть автомобиль, равна
Для случая с тремя дверями была проведена симуляция парадокса Монти Холла с помощью программирования в MicrosoftExcel.[3],[5]
Выполнено 1000 итераций. Чем больше раз повторять эксперимент, тем точнее результат покажет 333 шанса на выигрыш, если придерживаться первоначального выбора и 667 шансов на победу при изменении решения. Фрагмент работы программы представлен на рис.2.
Рис.2. Программа парадокса Монти Холла для трёх дверей в Excel
Таким образом, игроку следует изменить свой первоначальный выбор т. к вероятность выигрыша в этом случае будет в два раза выше в отличие от того, если же он не изменит свой выбор.
Анализ случая увеличения числа дверей.
Формулировка соответствующей задачи остается без изменения, единственное изменение - число дверей, открытых ведущим. Так для случая четырех дверей (рис. 3) ведущий должен открывать две двери (за которыми находятся козы), в случае пяти дверей (рис. 5) ? три, и так далее, чтобы всегда оставалась одна неоткрытая дверь кроме той, которую изначально выбрал игрок. И это, возможно, будет некоторой подсказкой для игрока, чтобы изменить первоначальный выбор. Если ведущий будет открывать меньшее количество дверей, то задача уже не будет аналогична оригинальной задаче Монти Холла.
Рис.3. Дерево принятия решений для четырёх дверей
Проведем математический расчет.[1],[2]
.
Вероятность того, что, автомобиль выигран без смены двери, равна
а вероятность того, что при смене выбора можно выиграть автомобиль, равна
Помимо математического обоснования, была составлена экспериментальная модель, используя программу MicrosoftExcel, для случая четырех дверей. [4], [5] microsoft еxcel программирование вероятность
Для наглядности и удобства совершено 1000 экспериментов. Фрагмент работы программы представлен на рис.4.
Как видно, вероятность выигрыша не изменив первоначальный выбор, будет составлять 255 случаев из 1000, что составляет около 25% от общего количества. А если же игрок изменит свой первоначальный выбор, то вероятность выигрыша составит 745 случаев из 1000, что составляет 75% . Чем больше раз повторять эксперимент, тем точнее результат покажет 250 шансов на выигрыш, если придерживаться первоначального выбора и 750 шансов на победу при изменении решения.
Рис.4. Программа парадокса Монти Холла для четырёх дверей в Excel
Представим схему и математические вычисления [1] для случая пяти дверей.
Рис.5. Дерево принятия решений для пяти дверей
Вероятность того, что автомобиль выигран без смены двери, равна
а вероятность того, что при смене выбора можно выиграть автомобиль, равна
Математически обосновав решение задачи Монти Холла и, проведя наглядный эксперимент, можно сказать, что все-таки нужно изменять свой первоначальный выбор, ибо вероятность успеха будет значительно больше.
Знание рассмотренного парадокса позволяет, например, грамотно взглянуть на спортивные стратегии, ставки и прогнозы для успешной игры в букмекерской конторе онлайн, чтобы угадать исход спортивного события.
Парадоксальность ситуации: кажется, что всё происходящее случайно, нет никакой разницы, поменяете вы своё решение или нет, но это не так. Конечно, у Вас остаётся шанс проиграть, но, тем не менее, смена выбора в условиях частичной осведомлённости увеличивает ваши шансы на выигрыш!
Литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, 9-е изд., стер.-- М.: Высшая школа, 2004.-- 404 с.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей, 4-е изд., стереотип. - М.: Наука, Физматгиз, 1969 - 576 с.
3. Кузнецов, А.В. Руководство к решению задач по математическому программированию: учеб.пособие / А.В. Кузнецов, Н.И. Холод, Л.С. Костевич. Минск, 2001.
4. URL: http://www.ru.wikipedia.org (дата обращения 11.01.2017)
5. URL: https://ru.wikibooks.org (дата обращения 15.02.2017)
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Краткие сведения об электронных таблицах MS Excel. Решение задачи линейного программирования. Решение с помощью средств Microsoft Excel экономической оптимизационной задачи, на примере "транспортной задачи". Особенности оформления документа MS Word.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 27.08.2012Microsoft Office как семейство программных продуктов Microsoft, его возможности и функции. Решение пользовательских задач с помощью встроенных функций Excel, создание базы данных. Формирование блок-схемы алгоритма с использованием Microsoft Visio.
контрольная работа [1,4 M], добавлен 28.01.2014Принципы решения задач линейного программирования в среде электронных таблиц Excel, в среде пакета Mathcad. Порядок решения задачи о назначении в среде электронных таблиц Excel. Анализ экономических данных с помощью диаграмм Парето, оценка результатов.
лабораторная работа [2,0 M], добавлен 26.10.2013Общее понятие и характеристика задачи линейного программирования. Решение транспортной задачи с помощью программы MS Excel. Рекомендации по решению задач оптимизации с помощью надстройки "Поиск решения". Двойственная задача линейного программирования.
дипломная работа [2,4 M], добавлен 20.11.2010Решение задачи расчета структуры и объема товарооборота методом линейного программирования. Формулы ограничений, транспортная задача оптимизации доставки товаров. Решение задачи о назначениях на основе матрицы стоимостей в электронной таблице Excel.
контрольная работа [1023,6 K], добавлен 27.05.2013Принцип работы и особенности интерфейса табличного процессора Microsoft Office Excel. Описание правил адресации ячеек, освоение приемов их выделения и заполнения данными. Обобщение приемов ввода и редактирования данных в ячейках. Элементы окна Excel.
лабораторная работа [2,7 M], добавлен 15.11.2010История развития и функции линейного программирования. Исследование условий типовых задач и возможностей табличного процессора. Решение задач о рационе питания, плане производства, раскрое материалов и рациональной перевозке груза в среде MS Excel.
курсовая работа [3,3 M], добавлен 28.04.2014Алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом. Построение математической модели задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в Excel. Нахождение прибыли и оптимального плана выпуска продукции.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 21.03.2012Ознакомление с разнообразными надстройками, входящими в состав Microsoft Excel; особенности их использования. Примеры решения задач линейного программирования с помощью вспомогательных программ "Подбор параметра", "Поиск решения" и "Анализ данных".
реферат [2,5 M], добавлен 25.04.2013Математическая постановка задачи. Обоснование выбора средств разработки. Входные и выходные данные работы программы. Решение задачи теста для написания и отладки программы. Описание программных модулей. Разработка алгоритма, анализ полученных результатов.
курсовая работа [2,2 M], добавлен 13.12.2015Составление и решение алгоритмов в Microsoft Excel. Среда для написания программ на VBA и управляющие элементы. Примеры программирования, свойства и методы объектов: ячейки бланка заказа; разработка и автоматизация заявки, изменение свойств объекта.
учебное пособие [2,9 M], добавлен 18.06.2012Изучение и укрепление на практике всех моментов графического метода решения задач линейного программирования о производстве журналов "Автомеханик" и "Инструмент". Построение математической модели. Решение задачи с помощью электронной таблицы Excel.
курсовая работа [663,9 K], добавлен 10.06.2014Оптимизация затрат на доставку продукции потребителям. Характеристика транспортной задачи, общий вид решения, обобщение; содержательная и математическая постановка задачи, решение с помощью программы MS Excel: листинг программы, анализ результатов.
курсовая работа [514,8 K], добавлен 04.02.2011Теоретическая основа линейного программирования. Задачи линейного программирования, методы решения. Анализ оптимального решения. Решение одноиндексной задачи линейного программирования. Постановка задачи и ввод данных. Построение модели и этапы решения.
курсовая работа [132,0 K], добавлен 09.12.2008Выбор проектов из претендующих на получение кредита в банке. Учет ресурса банка для соответствующих периодов с целью максимизации прибыли. Оценка деятельности продавцов в различных торговых точках. Создние форм для ввода условий задач в Microsoft Excel.
лабораторная работа [2,9 M], добавлен 03.11.2009Решение задач нелинейного программирования различными методами для проведения анализа поведения этих методов на выбранных математических моделях. Компьютерная реализация выбранных задач нелинейного программирования в среде пакетов Excel и Matlab.
дипломная работа [2,9 M], добавлен 25.01.2013Решение типовых задач с помощью языка программирования Turbo Pascal и табличного процессора Microsoft Excel 2007. Обратная геодезическая задача, прямая угловая задача, обратная геодезическая засечка, решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 11.01.2011Примеры решения математических и экономических задач, выполняемых с помощью средств электронной таблицы Excel и логических функций. Создание и форматирование таблиц. Создание разных баз данных с помощью системы Microsoft Access с использованием запроса.
контрольная работа [88,7 K], добавлен 28.05.2009Решение в среде Microsoft Excel с помощью программной модели "Поиск решения" транспортной задачи, системы нелинейных уравнений, задачи о назначениях. Составление уравнения регрессии по заданным значениям. Математические и алгоритмические модели.
лабораторная работа [866,6 K], добавлен 23.07.2012История использования механических и полуавтоматических средств для арифметических операций. Работа с табличным процессором Microsoft Excel. Поиск и замена данных в таблице Microsoft Access. Сортировка записей в запросе, его создание с помощью мастера.
контрольная работа [22,8 K], добавлен 13.01.2010
