Размещено на http://www.allbest.ru

На правах рукописи

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

РАЗРАБОТКА СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРИ ИНТЕГРИРОВАНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Лукьяненко Алла Николаевна

Белгород 2009

Работа выполнена в Белгородском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, ст. научный сотрудник Чеканов Николай Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Владимир Федотович Пивень

доктор физико-математических наук, профессор Анатолий Юльевич Захаров

Ведущая организация:

Российский университет дружбы народов (г. Москва)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук В.А. Беленко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Большинство дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, которые возникают в математике, физике и других естественных науках, не интегрируется в квадратурах. Как правило, для них не существует и универсальных численных методов нахождения решений. К таким уравнениям относятся, в частности, стационарное двумерное уравнение Шредингера (при решении для него задачи на собственные значения), и уравнение Навье-Стокса. Настоящая диссертационная работа и посвящена исследованию решений этих уравнений с помощью систем компьютерной алгебры (СКА).

Разработка новых методов, как аналитических, так и численных, и особенно символьно-численных, реализация этих методов в виде программных средств с использованием современной эффективной СКА MAPLE и использование этих программ для исследования ряда важных математических моделей классической и квантовой механики является актуальной проблемой математического моделирования сложных физических систем. задача дифференциальный интегрирование уравнение

В последние десятилетия в связи с активным исследованием детерминированного хаоса в классических системах возникла проблема исследования их квантовых моделей (см., например, Х.Ю. Штокман. Квантовый хаос, 2004). Существование хаотического движения и смешанных состояний (когда при одной и той же энергии в разных потенциальных ямах сосуществуют два типа движений: хаотическое и регулярное) и квантовые эффекты туннелирования приводят к дополнительным вычислительным трудностям в решении соответствующих уравнений при квантово-механическом рассмотрении (Bolotin Yu. L. et. al. Phys. Lett., 1989, v. A144, p.459.). Аналогично исследование наноструктур, для математического моделирования которых необходимо применять квантовые уравнения, также приводит к решению задач на собственные значения (Фрадков Л.А., Якубовский О.А. Управление молекулярными и квантовыми системами. Москва - Ижевск, 2003.).

Использование прямых численных способов решений этих задач не всегда приводит к цели, так как численные расчеты имеют большую неточность по сравнению с аналитическими, а также ограничены возможностями даже современных вычислительных систем. В ситуации, когда универсального способа получить решение не существует, приходиться искать более оптимальные вычислительные методы для конкретных систем.

В диссертационной работе, на основе СКА, развиты метод самосогласованного базиса, с помощью которого найдены решения двумерного уравнения Шредингера с поверхностью потенциальной энергии с несколькими локальными минимумами, и метод обобщенных степенных рядов интегрирования линеаризованного при определенных условиях уравнения Навье-Стокса.

Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов и программ с использованием современной СКА Maple для решения задач на собственные значения для двумерных дифференциальных операторов Шредингера и проведение с их помощью численных исследований ряда математических моделей классической и квантовой механики, а также интегрирования уравнения Навье-Стокса.

Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка алгоритмов и программ для символьно-численного решения задачи на собственные значения для операторов: а) двумерного инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет два локальных минимума; б) двумерного инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет в зависимости от набора параметров один или четыре локальных минимума, в) двумерного инвариантного полиномиального гамильтониана с пятиямным потенциалом;

2. Разработка аналитического способа приближенного решения уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов и программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований для решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярной особой точкой. Использование этой программы для интегрирования линеаризованного уравнения Навье-Стокса с заданными граничными условиями при условии, когда перепад температуры мал.

Методы исследований: методы теории дифференциальных уравнений, математического анализа, математической физики, численного анализа, компьютерной алгебры, вычислительной математики, использование прикладных пакетов программ.

Научная новизна. Разработаны алгоритмы и в среде MAPLE составлены символьно-численные программы, с помощью которых проведены вычисления энергетического спектра и волновых функций. Составленные программы позволили осуществить дальнейшее развитие метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для , и симметричных двумерных полиномиальных гамильтонианов.

Разработан аналитический способ и составлена программа на языке программирования СКА MAPLE для символьно-численного интегрирования линейных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярной особой точкой. С использованием полученной программы решено линеаризованное уравнение Навье-Стокса при заданных граничных условиях в случае обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью при малых перепадах температуры и получено решение в виде обобщенных степенных рядов.

Практическая значимость и полезность полученных результатов. Данная работа носит теоретический и практический характер. Результаты работы могут быть использованы для исследования динамики нелинейных классических гамильтоновых систем и для решения двумерных уравнений Шредингера. Разработанные символьно-численные алгоритмы и созданные на их основе комбинированные программы, реализованные на языке MAPLE, могут быть использованы для решения задач на собственные значения двумерных дифференциальных операторов Шредингера с полиномиальными потенциалами. Предложенный символьно-численный метод приближенного решения уравнения Навье-Стокса может быть использован для исследования процессов обтекания частиц произвольной формы и при произвольных перепадах температуры.

Положения, выносимые на защиту.

1. Символьно-численный метод самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет два локальных минимума, программа и результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций.

2. Развитие символьно-численного метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет в зависимости от набора параметров один или четыре локальных минимума, программа и результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций.

3. Обобщение символьно-численного метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет пять локальных минимумов, результаты конкретных численных расчетов собственных значений.

4. Символьно-численный метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой и решение линеаризованного уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов в задаче обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью при малых перепадах температуры и результаты численных расчетов.

Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений, математического анализа, методов математической физики и применением методов численного анализа, а также исследованием точности полученных результатов в зависимости от параметров решаемых задач при символьно-численных вычислениях и воспроизведением некоторых имеющихся в литературе результатов, полученных другими методами и другими авторами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы были представлены и докладывались на конференциях: VIII Международная конференция по математическому моделированию (Феодосия, 12-16 сентября, 2006); The 2nd International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (Kharkov, Ukraine, September 19-23, 2006); Международная научная конференция для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Украина, Харьков, 23-25 марта 2007); Международная молодежная научная конференция «XXXIII Гагаринские чтения» (Москва, 3-7 апреля, 2007); XLIII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 23-27 апреля, 2007); Международная конференция «Компьютерная математика в образовании и научных исследованиях» (Феодосия, 10-15 сентября 2007); XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 21-25 апреля, 2008); Международная конференция по математическому моделированию (Феодосия, 15-20 сентября 2008), Международная научная конференция «X Белорусская математическая конференция» (Беларусь, Минск, 3-7 ноября 2008), на семинарах кафедры математического анализа БелГУ.

Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденного Ученым советом БелГУ от 3.11 2000 г., в соответствии с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-02-16263).

Личный вклад автора. Автор диссертации самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и получил результаты, представленные в диссертации. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 18 публикациях в виде статей в журналах и в трудах всероссийских и международных конференций. Программа вычисления собственных значений и функций симметричного двумерного оператора Шредингера методом самосогласованного базиса по теме диссертационного исследования зарегистрирована в отраслевом фонде алгоритмов и программ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Объём диссертации - 140 страниц, 38 рисунков, 21 таблица. Список литературы включает 108 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, подчеркивается научная новизна и практическая значимость работы, дается краткое описание результатов диссертации.

В главе 1 представлены метод самосогласованного базиса решения задачи на собственные значения и метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов. Даётся описание алгоритмов и программ, составленных на языке программирования СКА MAPLE для символьно-численного решения указанных задач.

В разделе 1.1 предложенный метод самосогласованного базиса описан для решения двумерного стационарного уравнения Шредингера , где потенциальная часть гамильтониана имеет произвольный полиномиальный вид.

Решение этого уравнения ищется в полярных координатах в виде ряда

, (1)

где и - неизвестные функции. С учетом ортогональности угловых базисных функций и групповых свойств гамильтониана с помощью разработанной программы в среде Maple получены основные уравнения в виде однородных линейных бесконечных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для радиальных функций. Для каждой из этих систем, усеченных до конечного числа уравнений, для конкретного значения из заранее заданного диапазона решается задача Коши, находится фундаментальная система решений и строится общее решение системы ОДУ. Учет граничных условий по радиальной переменной в общем решении приводит к однородной системе линейных алгебраических уравнений, из которой определяется энергетический спектр и собственные функции исходного уравнения.

В методе самосогласованного базиса усечение базисной системы функций происходит по одной переменной, а по другой ведется численное интегрирование. Это приводит к согласованию базисных функций со сложной потенциальной формой гамильтониана, и, следовательно, к увеличению точности расчетов и к уменьшению объема вычислений по сравнению, например с диагонализацией.

В разделе 1.2 описан алгоритм решения задачи на собственные значения методом самосогласованного базиса. Алгоритм символьно-численного решения стационарного двумерного уравнения Шредингера можно назвать комбинированным. Под комбинированным алгоритмом будем подразумевать алгоритм, который сочетает в себе аналитические преобразования исходной задачи и численное решение уже преобразованной задачи. Поэтому алгоритм разбит на два основных этапа: аналитических преобразований и численного решения.

В разделе 1.3 описан метод интегрирования ОДУ II порядка с регулярной особой точкой :

, (2)

, - сходящиеся степенные ряды.

В разделе 1.4 описан алгоритм интегрирования при помощи степенных рядов приближенного уравнения Навье-Стокса из раздела 1.3.

В главе 2 развит метод самосогласованного базиса, с помощью которого решена задача на собственные значения для дифференциального оператора:

, (3)

с двумя видами поверхностей потенциальной энергии (ППЭ)

, (4)

, (5)

инвариантных относительно и дискретных групп, соответственно.

В разделе 2.1 методом самосогласованного базиса было решено двумерное уравнение Шредингера для симметричного полиномиального гамильтониана (3) с поверхностью потенциальной энергии (ППЭ) вида (4), параметры которого были выбраны так, что ППЭ имеет два локальных минимума и единственную седловую точку в начале координат (рис.1).

Размещено на http://www.allbest.ru

Рис. 1. Изолинии ППЭ (пунктирные) и линия (сплошная) нулевой гауссовой кривизны для гамильтониана (3), (4) с параметрами , , , .

Вначале методом сечений Пуанкаре исследован классический аналог квантовой системы (3), (4). В общем, классическая система является неинтегрируемой, т.е. допускает существование в ней динамического хаоса. Однако при наборе параметров в выражении (4), которые удовлетворяют условию , при произвольных , система является интегрируемой [M. Lakshmann, R. Sahaderan. Phys. Rev. A., v. 31, 1985, p.861]. В работе на основе критерия по отрицательной гауссовой кривизне (ОГК) вычислена критическая энергия перехода от регулярного типа движения к хаотическому, определяемая формулой . Были проведены численные расчеты сечений Пуанкаре для двух наборов параметров:

1) , , , , (6)

2) , , , , (7)

с первым из которых (6) классическая система (3), (4) является регулярной, а со вторым (7) - хаотической, что показано на рис.2-3 при некоторых значениях энергии, что подтверждает теоретические предсказания.



а) b) с)

Рис. 2. Сечения Пуанкаре для классического гамильтониана (3), (4) с набором параметров (6) при полной энергией a); b) ; c) .

а) b) c)

Рис. 3. Сечения Пуанкаре для классического гамильтониана (3), (4) с набором параметров (7) при полной энергией a) ; b) ; c).

Затем, в этом разделе с помощью разработанной символьно-численной программы SELFA_C2V в MAPLE решено уравнение Шредингера (3), (4). В соответствии с наличием четырех неприводимых представлений группы получены четыре системы ОДУ. Например, соответствующая система ОДУ для состояний имеет вид

, (8)

где , , .

Были вычислены нижайшие энергетические уровни гамильтониана (3), (4) с набором параметров (6) и (7) и волновые функции, некоторые из них представлены на рис.4-5.

а) b)

Рис.4. Рельеф и изолинии волновой функции с набором параметров (6)

a) - типа для уровня b) - типа для уровня .

a) b)

Рис.5. Рельеф и изолинии волновой функции с набором параметров (7)

a) - типа для уровня , b) - типа для уровня .

В разделе 2.2 методом самосогласованного базиса было решено двумерное уравнение Шредингера для симметричного полиномиального гамильтониана (3) с ППЭ вида (5). Число особых точек функции (5) зависит от единственного параметра и в случае, когда выполняется условие , функция (5) имеет четыре одинаково расположенных локальных минимума и три седловые точки (рис. 6).

Рис.6. Изолинии (пунктирные) ППЭ (5) и линия (сплошная) нулевой гауссовой кривизны.

Проведено исследование квантовой системы (3), (5) в классическом пределе. Показано, что критерий ОГК перехода от регулярного движения к хаотическому справедлив для движения в центральном минимуме, а в периферийном минимуме хаос развивается при энергиях выше энергии в седловых точках. Это подтверждается выполненными численными расчетами сечений Пуанкаре (рис.7-8). Кроме того, численными расчетами показано, что в данной системе реализуются смешанные состояния: сосуществование различных типов классической динамики (регулярной или хаотической) в разных потенциальных ямах при одной и той же энергии.

Численные расчеты критических энергий и сечений Пуанкаре выполнены для при двух наборах параметров :

1) , , (9)

2) , . (10)

а) b)

Рис. 7. Сечения Пуанкаре для гамильтониана (3), (5) при наборе параметров (9) в центральном (слева) и периферийном (справа) минимумах при полной энергии a) , b) .

a) b) c)

Рис. 8. Сечения Пуанкаре для гамильтониана (3), (5) при наборе параметров (10) при полной энергии a) , b) , c) .

В задаче на собственные значения симметричного оператора Шредингера (3), (5) в соответствии с наличием шести преобразований собственные значения (энергетический спектр) и собственные (волновые) функции исходного гамильтониана классифицированы по трем неприводимым представлениям дискретной группы , из которых два и являются одномерными, а одно - двумерным.

Например, соответствующая система уравнений для состояний имеет вид

(11)

где , .

С помощью разработанной программы SELFA_C3V в среде MAPLE на основе метода самосогласованного базиса уравнение Шредингера приводится к системе ОДУ относительно неизвестных функций , для которых найдены решения. Численные расчеты энергетического спектра (3), (5) проводились для двух наборов параметров (9), (10) и представлены в табл.1.

Таблица 1.

Нижайшие энергетические уровни гамильтониана (3), (5) для набора параметров (10).

		Тип симметрии			Тип симметрии
1	0,01459		8	3,30407
2	0,97753		9	3,59518
3	1,44356		10	3,75290
4	1,91427		11	4,00002
5	2,44596		12	4,31451
6	2,70727		13	4,60717
7	2,93225		14	4,73069

В главе 3 развит метод самосогласованного базиса, с помощью которого решена задача на собственные значения для двумерного симметричного дифференциального оператора:

, (12)

с двумя видами ППЭ:

, (13)

, (14)

где - параметры, которые таковы, что ППЭ имеет или один (13), или пять локальных минимумов и четыре седловых точки (14). Показано, что отличительной чертой системы (14) с несколькими минимумами является сосуществование различных типов классической динамики (регулярного и хаотического) в разных потенциальных ямах при одной и той же энергии.

В разделе 3.1 исследована структура фазового пространства двумерного уравнения Шредингера для симметричного полиномиального гамильтониана (12) с ППЭ (13), имеющей единственный минимум. Были проведены численные расчеты, как при квантовом, так и при классическом рассмотрении систем (12), (13) для двух наборов параметров:

1) , , (15а)

2) , , (15б)

При классическом рассмотрении гамильтоновой системы (12), (13) и при выполнении условия она является интегрируемой (М. Lakshmann, R. Sahaderan. Phys. Rev. A., v. 31, 1985, p.861). Поэтому классическое движение является регулярными, что подтверждается проведенными численными расчетами сечений Пуанкаре при наборе параметров (15а).

Если , то эта система является неинтегрируемой и классические фазовые траектории являются хаотическими. В этом случае для набора параметров (15б) были численно вычислены сечения Пуанкаре, показывающие хаотический режим классического движения (рис. 9). С помощью критерия ОГК была вычислена критическая энергия перехода регулярность-хаос, которая согласуется с численными расчетами сечений Пуанкаре.

а) b) c)

Рис. 9. Сечения Пуанкаре для гамильтониана (12), (13) с параметрами (15б) при энергии (а), (b) и (c).

В разделе 3.2 методом самосогласованного базиса решено уравнение Шредингера с гамильтонианом (12) и ППЭ (13). Так как гамильтониан уравнения (12), (13) имеет симметрию, т.е. не изменяется относительно преобразований , , то его собственные значения и функции были классифицированы по пяти неприводимым представлениям этой группы, из которых - одномерные, а - двумерное. Например, соответствующие системы уравнений для состояний имеют вид:

, , (16)

где , .

С помощью разработанной программы SELFA_C4V были проведены численные расчеты нижайших уровней энергии и волновых функций (две из которых представлены на рис.10) при параметрах (15б), для которых система (12), (13) имеет хаос при классическом рассмотрении.

а) б)

Рис. 10. Рельеф и изолинии волновой функции а) для типа при , б) для типа для .

В случае переменные в уравнении Шредингера (12), (13) можно разделить и привести его к двум одинаковым одномерным уравнениям. С использованием символьных компьютерных вычислений найдены аналитические решения последних в виде степенных рядов и с их помощью решено двумерное уравнение Шредингера (12), (13). Для параметров и таким образом численно полученные результаты сравниваются с результатами, полученными с помощью программы SELFA_C4V. Значения энергии и волновые функции, вычисленные в этих двух подходах находятся в удовлетворительном согласии. Сравнения видов некоторых волновых функций, полученных обоими методами, показаны на рис.11-12.

а) б)

Рис. 11. Рельефы и изолинии волновой функции для типа для , вычисленные при помощи степенных рядов (а) и методом самосогласованного базиса (б).

а) б)

Рис. 12. То же, что на рис.11, для типа для .

В разделе 3.3 исследовано двумерное уравнение Шредингера (12) с ППЭ вида (14) с набором параметров, которые обеспечивают финитность классического движения, а также наличие единственного минимума в начале координат с и четырех периферийных минимумов с нулевой потенциальной энергией. На рис. 13 изображены изолинии ППЭ и линия нулевой гауссовой кривизны.

Рис. 13. Изолинии ППЭ (14) и линия (жирная) нулевой гауссовой кривизны.

При разных энергиях нами были вычислены сечения Пуанкаре, которые представлены на рис. 14, из которых видно, в рассматриваемой системе при одной и той же энергии в разных потенциальных ямах сосуществуют смешанные типы движений: хаотическое в центральном минимуме и регулярное в периферийных потенциальных ямах. Показано, что в рассматриваемой системе при классическом рассмотрении имеет место переход регулярность-хаос-регулярность.

a) b) c)

Рис. 14. Сечения Пуанкаре для классического гамильтониана (12), (14) при энергии: а) , b) , c) .

В разделе 3.4 методом самосогласованного базиса решено уравнение Шредингера (12), (14) для симметричного гамильтониана, классическая динамика которого была исследована в разделе 3.3.

Как и разделе 3.2., собственные значения и функции были классифицированы по пяти неприводимым представлениям этой группы, из которых - одномерные, а - двумерное.

Например, соответствующая система уравнений для состояний имеет вид:

, (17)

где , , , .

Таблица 2.

Энергетические уровни гамильтониана (12), (14) с параметрами .

	Спектр,	Тип симметрии		Спектр,	Тип симметрии
1	1,048241		…	…………….....	………
2	1,976957		39	9,146085
3	2,914033		40	9,512744
4	2,993458		41	9,663204
5	2,999482		42	9,666271
….	………………	…………	43	9,666623

В главе 4 прямыми вычислениями и с применением символьно-численных компьютерных методов, развит аналитический способ решения линеаризованного уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов, и найдено решение задачи обтекания частицы сфероидальной формы в вязкой несжимаемой жидкости при относительно малых перепадах температуры. Проведено численно сравнение значений поправочных коэффициентов к закону Стокса, вычисленных по методу функции тока и предложенным способом.

В разделе 4.1 формулируется задача обтекания сплюснутого эллипсоида вращения (сфероида) осесимметричным потоком жидкости, параллельным его оси вращения при малых относительных перепадах температуры. Здесь удобно перейти в систему координат, в которой сфероид предполагается находящимся в покое в начале координат, а жидкость имеет на бесконечности скорость , направленную в сторону положительных значений оси z.

В работе используются сфероидальные координаты , которые в случае сплюснутого сфероида связаны с декартовыми координатами соотношениями (Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции. Комаров И.В. и др. 1976):

,

,

,

где , , где - полуоси сфероида, , , .

Далее индексом «» помечаем параметры жидкости, обтекающей сфероид, индексом «» - те же параметры, но на бесконечности. Скорость и давление жидкости в окрестности сфероида описывается линеаризованным уравнением Навье-Стокса и уравнением неразрывности

, , (18)

с граничными условиями:

, (19)

, , . (20)

Здесь и нормальная и касательная компоненты скорости , , - величина скорости набегающего потока, - значение переменной на поверхности сфероида.

Cила, действующая на сфероид со стороны движущейся жидкости и направленная в сторону положительных значений оси z определяется по формуле (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика, 1986.):

, (21)

где , , - дифференциальный элемент поверхности; и - компоненты тензора напряжений в сфероидальной системе координат.

В разделе 4.2 изложен способ решения задачи обтекания сфероида потоком жидкости на основе метода функции тока (Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М. : Мир,1976, стр. 174), в рамках которого, была получена формула для действующей на сфероид силы в виде

, (22)

где - поправочный коэффициент к известному закону Стокса для сферической частицы, выражаемый формулой:

, (23а)

который может быть представлен в виде

(23б)

где - значение переменной на поверхности сплюснутого сфероида, которое может быть выражено через полуоси как .

В разделе 4.3 задача обтекания сплюснутого сфероида была решена, исходя непосредственно из уравнения Навье-Стокса (18), предложенным нами способом, так как использование метода функции тока во многих прикладных задачах (особенно при больших перепадах температуры) затруднительно. Решение краевой задачи (18) - (20), исходя из вида граничного условия (20), будем искать в виде

, , (24)

где и - пока неопределенные функции, зависящие только от координаты , причем из уравнения непрерывности (18) следует, что , - коэффициент Ламе.

В случае малых перепадов температуры в окрестности сфероида, получено неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка для функции относительно новой переменной , которое после подстановки приводится к следующему неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка

, (25)

решение последнего, удовлетворяющее граничным условиям, было найдено в виде обобщенного степенного ряда в двух случаях: и .

Случай А: . Введя новую переменную , уравнение (25) можно представить в виде



, (26)

где , .

Из двух корней определяющего уравнения выбираем т.к. решение, соответствующее второму корню не удовлетворяет граничному условию при .

C применением символьных компьютерных (листинг программы приведен в диссертации) и прямых вычислений было получено решение уравнения (26) в виде следующего обобщенного степенного ряда:

, (27)

,

где , , , , ,

где , , , .

Возвращаясь от функции к функциям в соответствии с их определением (24), получены выражения для компонент скорости: , , а также явный вид для действующей на сфероид силы

, (28)

где - поправочный коэффициент к закону Стокса, который имеет вид

, (29)

, ,

где , «штрих» означает производную по переменной .

Численные расчеты показывают, что значение коэффициента по формуле (29) с большой точностью совпадает со значением коэффициента из формулы (23а) при . Поэтому метод решения уравнения (18), представленного уравнением (26), с помощью обобщенных степенных рядов является справедливым при больших перепадах температуры между сфероидом и жидкостью.

Случай Б: . Используя тождество , уравнение (25) перепишем в виде

, (30)

где , , .

Для уравнения (30) с применением символьных компьютерных (листинг программы приведен в диссертации) и прямых вычислений было получено решение в виде следующего обобщенного степенного ряда:

, (31)

(явный вид коэффициентов этого ряда приведен в диссертационной работе).

При помощи функции (31) по формулам (24) находим компоненты скорости , , а также явный вид для действующей на сфероид силы , где поправочный коэффициент в этом случае определяется как

,

где , ,

«штрих» означает производную по переменной .

Метод решения уравнения Навье-Стокса (18) в задаче движения сфероида в вязкой жидкости с помощью обобщенных степенных рядов может быть применен для случая больших перепадов температуры, когда использование функции тока становится затруднительным.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В приложении приведен листинг разработанной программы для решения инвариантного двумерного уравнения Шредингера методом самосогласованного базиса.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработан алгоритм и его программная реализация в среде Maple, проведены численные расчеты нижних уровней энергии и волновых функций для квантового аналога инвариантного двумерного гамильтониана с полиномиальным потенциалом, имеющим два локальных минимума и при единственном наборе параметров, при котором система является интегрируемой системы.

2. Разработан алгоритм и его программная реализация, с помощью которой выполнены численные расчеты нижних уровней энергии для двумерной симметричной системы, ППЭ которой имеет четыре локальных минимума. Показано существование смешанных состояний, т.е. состояний, когда при одной и той же энергии в одном минимуме характер классического движения является хаотическим, а в другом локальном минимуме - регулярным.

3. С использованием разработанного алгоритма и его программной реализации впервые исследована классическая динамика инвариантной двумерной системы, ППЭ которой имеет пять локальных минимумов. Показано, что в случае ППЭ с пятью локальными минимумами также существует смешанное состояние, и что в этой системе имеет место переход регулярность-хаос-регулярность.

4. Впервые для квантового аналога классической инвариантной системы с пятью локальными минимумами обобщен метод самосогласованного базиса, на основе которого разработан алгоритм и его программная реализация, вычислены первые уровни энергии.

5. Разработан аналитический способ приближенного решения уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов, который может быть применен при больших перепадах температуры между движущейся сфероидальной частицей и жидкостью.

6. Разработана программно-алгоритмическая поддержка символьных преобразований, с помощью которых найдены решения задачи обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

Статьи в научных изданиях, входящих в перечень ВАК

1. Беляева, И.Н. Применение метода самосогласованного базиса к решению задачи на собственные значения для 2D гамильтониана с двухъямным потенциалом / И.Н. Беляева, А.Н. Макаренко, Н.А. Чеканов // Вестник Воронежского государственного технического университета. Серия Физико-математическое моделирование.-2006. Т.2.- № 8. - С.123-125.

2. Лукьяненко. А.Н. Символьно-численное решение двумерного уравнения Шредингера с двухъямным потенциалом / А.Н. Лукьяненко, Н.А. Чеканов // Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И. Вернадского.-№ 13 (30).- 2008. - С. 43-50.

3. Лукьяненко, А.Н. Решение двумерного уравнения Шредингера с полиномиальными потенциалами с дискретной симметрией методом самосогласованного базиса / Лукьяненко А.Н., Чеканов Н.А. // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.- № 7.- 2008. - С. 145-147.

Статьи в научных журналах и сборниках трудов

4. Макаренко, А.Н. Об интегрировании одного уравнения, связанного с разделением переменных в уравнении Навье-Стокса. Сборник студенческих научных работ. Вып. VIII. - Белгород: Изд-во БелГУ, 2004. - C. 5-7.

5. Аматов, М.А. Обтекание вязкой жидкостью сфероидальной частицы при малых перепадах температуры / М.А. Аматов, Н.В. Малай, А.Н. Макаренко // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения.- 2004.- №8. - С. 76-86.

6. Аматов, М.А. К вопросу о движении сфероидальной частицы в вязкой жидкости при малых относительных перепадах температуры / М.А. Аматов, Н.В. Малай, А.Н. Макаренко // Научные ведомости БелГУ. Серия физико-математическая. - 2004.- №3(20). Вып. 9. - C. 3-13.

7. Belyaeva, I.N. Application of the self-consistent method to the two-dimensional Shroedinger equation with double-well potential / I.N. Belyaeva, N.A. Chekanov, A.N. Makarenko // Proc. of International Conference “Mathematical Modeling and Computational Physics MMCP-2006”.- 2006. - P.54.

8. Беляева, И.Н. Решение задачи на собственные значения для симметричного двумерного гамильтониана методом самосогласованного базиса / И.Н. Беляева, А.Н. Макаренко, Н.Н. Чеканова, Н.А. Чеканов // Вестник Херсонского государственного технического университета: Сб. тр. Херсон.- 2006.-Вып.3 (22). - С. 28-32.

9. Belyaeva, I.N. Solution of the eigenvalue problem for one-dimensional anharmonic oscillators by the Frobenius method / I.N. Belyaeva, N.A. Chekanov, A.N. Makarenko // The 2nd International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (QEDSP2006).-Kharkov, Ukraine.- 2006. - P.85.

10. Беляева, И.Н. Классическая динамика и квантовые характеристики двумерной инвариантной гамильтоновой системы / И.Н. Беляева, А.Н. Макаренко, Н.А. Чеканов // Тр. междунар. науч. конф.: «Современные методы физико-математических наук». -Орел.- 2006. - С. 26-32.

11. Лукьяненко А.Н. Вычисление спектра уравнения Шредингера с четырехъямным потенциалом методом самосогласованного базиса // Сб. тр. междунар. науч. конф. «Современные проблемы математики и её приложения в естественных науках и информационных технологиях». Харьков: ХНТУ, 2007. - С.142-145.

12. Лукьяненко, А.Н. Спектр двумерного уравнения Шредингера с полиномиальным потенциалом с четырьмя минимумами / А.Н. Лукьяненко // Сб. тр. XXXIII междунар. молодежной науч. конф. «Гагаринские чтения 2007».-М: МАТИ.-2007.-Т.5. - С. 50-51.

13. Belajva, I.N. Symbolic-numeric Solution of the the Two-dimensional Shroedinger Equation with Double-well Potential / I.N. Belajva, A.N. Lukjanenko, N.A. Chekanov, A.A. Gusev, V.A. Rostovtsev, S.I. Vinitsky // Computer Algebra and Differential Equations Acta Academiae Aboensis. Ser. B, Vol. 67.-№ 2.-2007.-P. 78-86.

14. Лукьяненко, А.Н. Спектр двумерного модельного гамильтониана с четырьмя локальными минимумами / А.Н. Лукьяненко, Н.А. Чеканов // Сб. тр. XLIII всерос. конф. по проблемам математики, информатики, физики и химии.-М: РУДН.- 2007. - С. 24.

15. Беляева, И.Н. Вычисление спектра симметричного двумерного оператора Шредингера с четырехъямным потенциалом / И.Н. Беляева, А.Н. Лукьяненко, Н.А. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета.: Сб. тр. Херсон.-Вып. 2 (28).- 2007. - С. 33-37.

16. Беляева, И.Н. Символьно-численное решение симметричного двумерного уравнения Шредингера / И.Н. Беляева, А.Н. Лукьяненко, Н.А. Чеканов // Сб. тр. XLIV всерос. конф. по проблемам математики, информатики, физики и химии.-М: РУДН.- 2008. - С. 43-44.

17. Лукьяненко, А.Н. Расчет спектра и волновых функций симметричного двумерного уравнения Шредингера / А.Н. Лукьяненко, Н.А. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета.-Вып.2 (31).- 2008. - С. 46-51.

18. Лукьяненко, А.Н. Решение симметричных двумерных уравнений Шредингера символьно-численным методом самосогласованного базиса / А.Н. Лукьяненко, Н.А. Чеканов // Сб. тезисов междунар. науч. конф. «X Белорусская математическая конференция».-Мн: Институт математики НАН Беларуси.- 2008.- Ч.4.- С. 74-75.

Официальная регистрация программ

19. Лукьяненко А.Н. Программа вычисления собственных значений и функций симметричного двумерного оператора Шредингера методом самосогласованного базиса / Беляева И.Н., Лукьяненко А.Н., Чеканов Н.А.- Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ, 2007. - № 8364; заявл. 21.05.2007; опубл. 6.06.2007.

Размещено на Allbest.ru

...