Исследование и модификация метода топологической оптимизации SIMP

Исследование алгоритма топологической оптимизации SIMP. Воспроизведение, анализ и вычисление данного алгоритма в пакете Wolfram Mathematica. Обнаружение недостатка данного метода, который представлял собой определение оптимального коэффициента Лагранжа.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 30.04.2018
Размер файла 483,4 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИССЛЕДОВАНИЕ И МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ SIMP

Кротких А.А.,

Максимов П.В.

Работа посвящена исследованию метода топологической оптимизации (SIMP метод), целью которого является снижение податливости всей конструкции за счет перераспределения материала в области, ограниченной телом либо заданной нами. Это позволяет получать объекты, которые имеют специфические свойства при заданных ограничениях[1, С. 3]. Используется в аддитивных технологиях, так называемых технологиях 3D печати, позволяющие получать тела заданной формы. Используя метод, мы можем получить максимально прочные конструкции практически для любой решаемой задачи. Результатом использования метода также является получение равнопрочного объекта в рамках рассматриваемой задачи. Основной идеей метода является создание поля виртуальной плотности, которая представляет аналог какой-то реальной характеристики тела, например, при решении двумерной задачи оптимизации виртуальная плотность выполняет роль толщины тела в этой точке.

Применим метод SIMP к плоской задаче теории упругости. Имеется тело, на которое действуют внешние силы, также оно закреплено некоторым образом. При заданных краевых условиях задача решается методом конечных элементов.

(1)

В МКЭ будем использовать симплекс элемент - треугольный элемент с линейной Лагранжевой аппроксимацией. Результатом решения будет некоторая деформированная модель объекта. На базе результата МКЭ мы применяем метод SIMP, который заключается в определении оптимального поля виртуальной плотности тела. Изначально поле плотности задается однородным. Это означает, что плотность одинаковая и равна с = 1. Целевой функцией, которую мы будем оптимизировать по выбранному параметру, будет податливость объекта. Необходимо достигнуть минимальных перемещений в узлах конечно-элементной сетки. Таким образом, мы минимизируем целевую функцию податливости как функцию виртуальной плотности. Алгоритм оптимизации и целевая функция (2) выбраны на основе работы [2, C. 3]

(2)

(3)

При необходимости можно задать ограничение на массу и объем, занимаемый будущей конструкцией, и определить диапазон изменения виртуальной плотности. Алгоритм определения плотностей представлен в работе [2, C. 3].

(4)

где B (4) - условие оптимизации, л-коэффициент Лагранжа

(5)

(6)

Используя такой алгоритм, мы сможем получить каноничное решение SIMP метода, представленное в виде черно-белого решения [1, C. 5, 2, C. 5, 3, C. 4, 4, C.39]. Сформулируем задачу для МКЭ и применим к результату метод SIMP. Дана плоская прямоугольная область, защемленная на правой границе. На левой границе в верхнем углу приложена сосредоточенная нагрузка.

Рис. 1 - «Черно-белое» решение SIMP метода

Недостатком SIMP метода является его результат: получение несвязной области (Рис.1), что противоречит здравому смыслу задачи. Для этого используется алгоритм распределения плотности по близлежащим конечным элементам (Рис.2), также называемый алгоритмом фильтрации. Вводится вектор Н (7, 8), который содержит в себе значения расстояний от центра текущего КЭ до центра всех КЭ, удовлетворяющих заданным условиям, в области. В данной задаче КЭ должны лежать в пределах критического радиуса влияния.

(7)

(8)

(9)

Рис. 2 - Результат использования фильтрации

Второй проблемой метода является определение множителя Лагранжа для получения корректной оптимизации объекта. Для каждого выбранного нагружения и формы объекта необходимо подобрать свой коэффициент Лагранжа. От этого коэффициента зависит и «физичность» решения, и границы применимости метода для каждой конкретной задачи. То есть, неправильно определив значение коэффициента, мы можем получить абсолютно некорректное решение. Примером такого решения может послужить «острова» материала с максимальной допустимой плотностью. Авторы работы предлагают усовершенствовать исходный алгоритм метода SIMP, введя изменения в определение вектора B (10, 11). Таким образом мы устраним проблему определения коэффициента оптимизации.

(10)

(11)

Алгоритм изменения плотности также был изменен, и приобрел такой вид (12):

(12)

Необходимо оценить насколько адекватной является данная корректировка метода. Сравним изменения перемещения нескольких реперных точек при использовании метода SIMP с коэффициентом Лагранжа и с коэффициентами, вычисленными модифицированным методом. Реперные точки выбраны таким образом, чтобы охарактеризовать перемещения в опасных участках модели, в данном случае это точки, лежащие в окрестности нагружения. Необходимо также удостовериться в том, что модифицированный метод не обнуляет значение виртуальной плотности в конечных элементах, к которым относится реперная точка. Таким образом, получается, что в ходе решения задачи мы каждый раз находим такие Bi, которые наилучшим образом подходят под данную форму объекта. Необходимо также показать, что такой вариант алгоритма не приводит к ухудшению итогового решения и получает некоторое сходящееся решение как изначальный SIMP метод.

На нижеприведенных графиках (Рис.3, 4) видно, что при увеличении коэффициента Лагранжа расстояния между кривыми, характеризующими перемещения в реперной точке, уменьшаются. Модифицированный алгоритм сразу «подбирает» коэффициент таким образом, чтобы получить результат, к которому будут стремиться решения с постоянным коэффициентом. Стоит сказать, что бесконечное увеличение коэффициент Лагранжа не даст нам сразу итоговое решение. Решение будет получаться до тех пор пока первая итерация метода SIMP дает «физически-верное» решение. Имеется ввиду, что в решение не будут присутствовать «острова» материала не связанные с остальной областью. Если получится «физически-неверное» решение, «остров» материала не будет связан с граничными условиями по закреплениям и будет ничем неограничен в перемещениях. То есть, на графиках перемещений у нас такое решение даст бесконечный рост перемещения относительно начального. Таким образом, мы исключаем проблему определения границ значений для коэффициента оптимизации. Минус модифицированного метода заключается в том, что для его реализация требует больше вычислительных ресурсов, нежели оригинальный метод SIMP. Это связано с тем, что мы переопределяем функцию чувствительности и изменяем алгоритм изменения виртуальной плотности. В итоге метод требует несколько больше итераций чем оригинальный.

Рис. 3 - Сравнение перемещений в реперной точке №95 при использовании различных коэффициентов Лагранжа и модифицированного метода

топологический оптимизация лагранж

Рис. 4 - Сравнение перемещений в реперной точке №72 при использовании различных коэффициентов Лагранжа и модифицированного метода

В заключении необходимо подчеркнуть, что корректировка метода SIMP не отменяет его абсолютной сходимости к некоторому конечному решению. Математическое обоснование и доказательство этого факта предложено в работе [4, C. 29], результаты оптимизации схожи с результатами других автором, несмотря на то, что используется другой тип КЭ.

Таким образом, авторами работы были достигнуты следующие результаты:

· Был воспроизведен метод SIMP в чистом виде, т.е. с «шахматной доской» и без.

· Была проанализирована адекватность метода путем сравнения методом конечных элементов перемещений в реперных точках.

· Был предложен модифицированный метод SIMP и продемонстрирована его адекватность в сравнении с оригинальным методом SIMP при различных значениях коэффициента Лагранжа.

Список литературы

1. Brackett D.J., Ashcroft I.A. and Hague R: Topology optimization for additive manufacturing, 22nd Annual International Solid Freeform Fabrication Symposium, Texas, USA, 348-362, 2011

2. Jun-ichi Koga., Checkerboard Problem to Topology Optimization of Continuum Structures/ Jun-ichi Koga., Jiro Koga, Shunji Homma., Computational Engineering, Finance, and Science - 2013

3. Diaz A., Checkerboard Patterns in Layout Optimization/ Diaz A., Sigmund, O., Structural and Multidisciplinary Optimization - 1995 - Issue 1 - 40-45

4. Bondsoe M.P. Topology Optimization Theory, Methods and Applications/ Bondsoe M.P., Sigmund O., Topology Optimization - Berlin, Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH, 2002.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Анализ структуры топологической сортировки в программной среде. Метод топологической сортировки с помощью обхода в глубину. Программа, реализующая топологическую сортировку методом Демукрона. Создание карты сайта и древовидная система разделов.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 22.06.2011

  • Особенности метода неопределенных множителей Лагранжа, градиентного метода и метода перебора и динамического программирования. Конструирование алгоритма решения задачи. Структурная схема алгоритма сценария диалога и описание его программной реализации.

    курсовая работа [1010,4 K], добавлен 10.08.2014

  • Необходимые условия экстремума. Разработка машинного алгоритма и программы многомерной оптимизации для градиентного метода с использованием метода равномерного поиска. Проверка необходимых и достаточных условий экстремума для найденной точки минимума.

    курсовая работа [249,8 K], добавлен 25.09.2013

  • Решение системы дифференциальных уравнений, создание функций и обработка экспериментальных данных с помощью языка программирования Mathematica. Сравнение между использованием циклических операций в системе Mathematica и в математическом пакете Maple.

    отчет по практике [2,1 M], добавлен 09.12.2013

  • Определение оптимального плана производства продукции при наличии определенных ресурсов, проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве с помощью системы символьной математики Mathcad. Составление алгоритма симплекс-метода.

    курсовая работа [676,5 K], добавлен 20.09.2009

  • Составление алгоритма и программы для факторизации целого числа N с помощью ро-метода Полларда. Краткое описание данного метода: составление последовательности, вычисление разности и наибольшего общего делителя. Алгоритм работы и листинг программы.

    курсовая работа [12,1 K], добавлен 24.06.2010

  • Оптимизация показателей эффективности функционирования технологического контура системы управления космическим аппаратом, исследование свойств его показателей. Настройка нейронной сети, гибридизация генетического алгоритма с алгоритмами локального поиска.

    дипломная работа [4,5 M], добавлен 02.06.2011

  • Назначение и классификация методов поисковой оптимизации. Эффективность поискового метода. Методы поиска нулевого порядка: исходные данные, условия, недостатки и применение. Структура градиентного метода поиска. Основная идея метода наискорейшего спуска.

    лекция [137,8 K], добавлен 04.03.2009

  • Характеристика методов нечеткого моделирования и изучение системы кластеризации в пакетах прикладных программ. Разработка и реализация алгоритма для оптимизации базы правил нечеткого классификатора с помощью генетического алгоритма аппроксимации функции.

    дипломная работа [1,9 M], добавлен 21.06.2014

  • Составление математической модели насосной станции. Исследование алгоритма каскадно-частотного регулирования в пакете программ Matlab Simulink. Решение проблемы обеспечения устойчивой работы насосных агрегатов и выбор ширины зоны нечувствительности.

    курсовая работа [1,7 M], добавлен 15.01.2012

  • Исследование понятия алгоритма, особенностей линейных и разветвляющихся алгоритмов. Свойства алгоритма: понятность, точность, дискретность, массовость и результативность. Составление программы для вычисления значения функции и построение её графика.

    контрольная работа [278,0 K], добавлен 25.03.2013

  • Обозначения и термины, характерные для электрических систем при изложении узлового метода. Создание математической модели данного метода в виде системы алгебраических и трансцендентных уравнений. Структура и листинг программы анализа электрических схем.

    отчет по практике [1,0 M], добавлен 29.05.2013

  • Изучение понятия и свойств алгоритма. Определение сущности технологии Robson. Исполнитель, а также блок-схема алгоритма или его графическое представление, в котором он изображается в виде последовательности связанных между собой функциональных блоков.

    реферат [155,9 K], добавлен 19.10.2013

  • Решение систем алгебраических линейных уравнений методом Крамера. Сущность метода прогонки. Программная реализация метода: блок-схема алгоритма, листинг программы. Проверка применимости данного способа решения для конкретной системы линейных уравнений.

    курсовая работа [581,0 K], добавлен 15.06.2013

  • Обзор алгоритмов распознания объектов на двумерных изображениях. Выбор языка программирования. Обнаружение устойчивых признаков изображения. Исследование алгоритмов поиска объектов на плоскости. Модификация алгоритма поиска максимума дискретной функции.

    дипломная работа [1,0 M], добавлен 16.06.2013

  • Составление алгоритма и программного обеспечения для реализации конечноразностных интерполяционных формул Ньютона, Гаусса и Стирлинга. Описание метода полиномиальной интерполяции. Изучение метода оптимального исключения для решения линейных уравнений.

    курсовая работа [19,8 K], добавлен 25.12.2013

  • Исследование методов оптимизации программного кода на языке Си с помощью компилятора. Тестирование результатов утилитой optbench.c. Определение особенностей оптимизации компилятора на собственной программе. Удачные примеры быстроты и компактности кода.

    лабораторная работа [26,5 K], добавлен 17.12.2012

  • Понятия оптимизации проектных решений. Нахождение максимума (минимума) линейной целевой функции. Схема алгоритма метода Саати для вычисления весов критериев. Создание приложения, позволяющего производить однокритериальную и многокритериальную оптимизацию.

    курсовая работа [781,9 K], добавлен 23.02.2016

  • Анализ современного состояния общей проблемы синтеза моделей многофакторного оценивания и подходов к ее решению. Разработка математической модели метода компараторной идентификации модели многофакторного оценивания. Описание генетического алгоритма.

    дипломная работа [851,7 K], добавлен 11.09.2012

  • Разработка MatLab-программы для анализа вычислительной и методической погрешностей целочисленного алгоритма. Теоретические основы таблично-алгоритмического метода. Проектирование подпрограммы вычисления элементарной функции на языке Ассемблер IBM PC.

    курсовая работа [296,9 K], добавлен 13.03.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.