Автоматизация численного расчета вероятностных характеристик напряжений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автоматизация численного расчета вероятностных характеристик напряжений

Бакиров Ж.Б., Танирбергенова А.А.

Аннотация

УДК 621.01.531.3

Автоматизация численного расчета вероятностных характеристик напряжений^** Статья получена 30 декабря 2010 г.

Бакиров Жетписбай Бакирович, доктор технических наук, профессор, академик МАИН, заведующий кафедрой механики Карагандинского государственного технического университета (Казахстан). Основное направление научных исследований - механика деформируемого твердого тела, динамика машин, статистическая динамика и теория надежности механических систем. Имеет более 160 научных публикаций, в том числе 1 монографию и 18 учебных пособий.

Таженова Гульзада Даулетхановна, кандидат технических наук, преподаватель кафедры механики Карагандинского государственного технического университета (Казахстан). Основное направление научных исследований - виброизоляция элементов машин. Имеет 15 научных публикаций.

В работе приведены этапы решения задачи определения вероятностных характеристик напряжений в технических объектах с случайными параметрами при случайных воздействиях. Рассмотрены возможности автоматизации расчетов каждого из этапов решения. С этой целью предлагается использовать стандартные программные комплексы Matlab, ANSYS, а также специальную программу регрессионного анализа ANETR. Приведены описание подпрограмм, алгоритмов, указаны команды для проведения вероятностного расчета с помощью ПК ANSYS в интерактивном режиме.

Ключевые слова: случайная величина, моделирование, программный комплекс, напряжение, конечные элементы, вероятностные характеристики, закон распределения.

Введение

В настоящее время вероятностные методы и подходы широко используются в теории расчета инженерных конструкции, строительной механике и постепенно вытесняют расчеты по допускаемым напряжениям и по "полувероятностному" методу предельных состояний. На этих методах основаны нормы проектирования строительных конструкций многих стран. При таком подходе отказ системы трактуется как случайное событие, а надежность как вероятность безотказной работы в течение срока службы. В общем случае надежность системы зависит от времени. Однако, если нагрузки и свойства системы неизменны во времени, то анализ надежности можно проводить на основе статических моделей.

Весьма важной проблемой является оценка надежности конструкций по предельному состоянию при случайных нагружениях и случайных изменениях параметров системы. Она сводится к отысканию вероятности достижения расчетным напряжением, являющейся случайной величиной, предельного значения. Для вычисления этой вероятности надо знать вероятностные характеристики расчетного и предельного напряжения.

Впервые вопросы прочностной надежности ставились в работах Н.Ф. Хоциалова и М.М. Майера. Здесь впервые подвергались критике концепция коэффициента запаса и допускаемых напряжений. В послевоенные годы эти работы продолжены в СССР и за рубежом. К этому периоду относятся работы А.Р. Ржаницына, А. Фрейденталя, А. Джонсона, Н.С. Стрелецкого, С.В. Серенсена, В.В. Болотина. В настоящее время опубликовано ряд монографии, в которых обобщены приведенные исследования в этом направлении [1ч4].

Вероятностные характеристики предельного напряжения определяются путем испытания материалов, а вероятностные характеристики действующего напряжения - путем аналитических или численных расчетов. Однако круг задач, допускающих аналитическое решение, весьма ограничен в виду сложности получения аналитической зависимости напряжения от параметров системы, а также сложностей при преобразовании плотностей вероятностей. Поэтому целью данной работы является развитие численных методов расчета вероятностных характеристик напряжений.

Для определения вероятностных характеристик напряжений численными методами применяется метод статистического моделирования (Монте - Карло). Он заключается в том, что выбирают значение независимых переменных из ряда случайных чисел, а затем их преобразовывают в соответствии с имеющейся функциональной зависимостью. Каждый из полученных результатов рассматривают как реализацию рассматриваемого случайного параметра (выходной величины). Далее методами математической статистики получают вероятностное описание исследуемого параметра. Наиболее полное описание заключается в определении закона распределения.

Моделирование случайной величины и случайной выборки

При численном решении задач надежности возникает необходимость моделирования случайных величин с заданными функциями распределения, а также обоснованного определения закона распределения случайной выборки. Последняя задача актуальна и при обработке результатов измерений случайных величин.

Для получения реализации случайных величин современные ЭВМ имеют генератор случайного числа. При обращений к ней она выдает случайное число , равномерно распределенное в интервале [0ч1]. Датчик случайных чисел преобразовывает его в реализации случайной величины с функцией распределения . Для этого применяется метод обратных функций: .

Случайные числа, распределенные по нормальному закону, не удается получить этим методом в связи с невозможностью найти обратную функцию для нормального распределения. В этом случае используют известный факт, что сумма большого числа случайных величин дает хорошее приближение к нормальному закону. Взяв 12 случайных величин получим:

,

где - математическое ожидание и стандарт распределения. При и получаем нормированное нормальное распределение. Через него можно моделировать логарифмически нормальное распределение и ряд сложных распределении.

В настоящее время многие известные программные комплексы имеют блоки, генерирующие практически все известные распределения. Так в ПК Matlab для моделирования нормального распределения имеется команда randn ; для логарифмически нормального распределения - lognrnd; для гамма - распределения gamrnd; для "хи - квадрат" распределения - chi2rnd и т.д.

Одним из важных этапов любого эксперимента со случайными результатами является определение закона распределения выходной величины. Результаты эксперимента обычно представлены в виде случайной выборки объема . По выборке определяют оценки среднего значения и дисперсии. Расположив реализации по возрастанию, получаем вариационный ряд. При большом объеме выборки её элементы объединяют в разряды и строят гистограмму. Гистограмму используют в качестве оценки плотности распределения.

Чтобы получить приближенные аналитические выражения для плотности распределения гистограмму сглаживают и заменяют экспериментальной кривой. По виду этой кривой выдвигают статистическую гипотезу о соответствии её какому-то из известных теоретических распределений. Теперь задача сводится к определению параметров выбранного распределения. Для этой цели чаще всего используются метод наименьших квадратов. Их можно определить по специальным формулам [4] через оценки среднего значения и дисперсии выборки. Это равносильно тому, что на теоретическую кривую накладываются две дополнительные связи в виде равенств среднего и дисперсии теоретической и экспериментальной кривой. Далее гипотеза о соответствии выборки рассматриваемому закону распределения проверяется по критерию согласия Пирсона.

Многие современные программные комплексы имеют в своем составе средства, позволяющие строить гистограммы, определять параметры теоретической кривой распределения по выборке и производить проверку статистических гипотез. Укажем на эти средства в системе Matlab.

Функции, обеспечивающие выполнение простейших процедур анализа данных, включены в состав ядра Matlab (раздел data fun). Эти М - функции входят в приложение statistics toolbox.

Для вычисления оценок среднего и дисперсии выборки можно использовать обычную или М - функции, например:

или .

Для построения гистограммы используется две команды:

и .

Первая из них разбивает весь диапазон значений выборки на равных интервалов (по умолчанию 10) и записывает в матрицу число элементов, попавших в каждый интервал. С помощью второй команды вычисляются относительная частота попаданий в каждый интервал и выводится графическое представление полученной гистограммы. Графическую интерпретацию статистических характеристик выборки можно получить и с помощью функции barplot(х).

Для подбора одного из стандартных распределений, наиболее близкого к построенной гистограмме, целесообразно воспользоваться командой disttool.

При ее выполнении открывается диалоговое окно, обеспечивающее выбор и настройку параметров стандартных распределений (рис 1).

Окно содержит следующие элементы:

- поле вывода графика выбранной функции распределения (cdf) или соответствующей плотности распределения вероятности (pdf); в поле отображается визир, обеспечивающий точное определение значений координат;

- выпадающее меню для выбора функции распределения;

- выпадающее меню для выбора типа функции (cdf - pdf);

- ползунковые регуляторы для изменения значений параметров распределений (количество регуляторов и их обозначения изменяются в зависимости от вида распределения);

- окно ввода/отображения значений координат точек графика и параметров распределения.

Для отыскания подходящего вида распределения следует установить тип графика pdf и, используя собственные знания особенностей различных распределений, выбрать то из них, которое, на ваш взгляд, более других похоже на гистограмму относительных частот, построенную по экспериментальным данным. С помощью ползунковых регуляторов надо вести параметры распределения.

Далее выводится график выбранного закона распределений, который сравнивается с видом гистограммы, отображенной в виде точек экспериментальной кривой. Если эти графики сильно разнятся, то выбирают другой закон и процедуры повторяют. При удовлетворительном результате визуального сравнения можно перейти к проверке соответствующей статистической гипотезы.

Для облегчения выбора подходящего распределения можно использовать команду cftool, позволяющую наложить экспериментальные точки на теоритическую кривую. Для проверки нормального закона можно использовать М - функцию normplot(х).

Проверка гипотезы о том, что экспериментальные данные подчиняются такому - то теоретическому закону распределения можно провести с помощью М - функции Hypothesis Tests или с помощью обычных функций. Так функция stest обеспечивает проверку гипотезы о нормальном законе распределения экспериментальных данных.

При проверке гипотезы в пакетном режиме для вычисления критерия по формуле (2) требуется найти теоретическую вероятность попадания случайной величины в ый интервал. Она вычисляется с использованием М - функции Probability Distributions.

Так для логнормального распределения:

,

где параметры распределения.

Пороговое значение вычисляется с помощью команды ,

где - степень свободы; - уровень значимости (вероятность отклонения правильной гипотезы).

Определение напряжений методом конечных элементов

Если известна аналитическая зависимость расчетного напряжения от случайных аргументов, то вероятностные характеристики напряжений определяются преобразованием плотностей вероятностей аргументов. При нескольких случайных величинах это преобразование предполагает интегрирование произведения плотностей вероятностей по нескольким переменным. Эта задача усложняется при наличии статистической связи между случайными величинами. Этот подход трудно реализовать, когда напряжение является сложной функцией от случайных аргументов, иногда это нереализуемо в виду невозможности найти обратную функцию. В этих случаях численный расчет лучше вести путем имитационного моделирования задачи, принимая в качестве математической модели объекта аналитическое выражение для напряжения.

Иногда получить аналитическое выражение для напряжения неудается, и задача решается численным методом. В связи с бурным развитием компьютерных технологии в последнее время возрастает роль численных методов решения задач механики деформируемого твердого тела. Среди них наибольшее распространение получил метод конечных элементов (МКЭ).

В настоящее время с целью автоматизации расчетов МКЭ создано большое количество разнообразных программ конечно - элементного анализа. Бесспорным лидером среди них является программный комплекс ANSYS, благодаря ряду преимуществ перед аналогичными пакетами.

Программа может работать как в интерактивном режиме с помощью графического интерфейса пользователя, так и в командном режиме. Решение любой задачи в ANSYS состоит из следующих этапов:

- построение конечно - элементной модели;

- приложение нагрузок и выполнение расчета;

- постпроцессорная обработка результатов.

Для выполнения каждого этапа используется свой процессор. Основной препроцессор PREP7 предназначен для определения типов конечных элементов, их констант, свойств материала и геометрии модели. Библиотека конечных элементов ANSYS содержит более 100 типов элементов. ANSYS позволяет задать линейные, нелинейные и анизотропные свойства материалов в виде чисел, таблиц или матриц.

Следует различать геометрическую и сеточную модель объекта. Препроцессор ANSYS позволяет, как импортировать, так и создавать собственные геометрические модели. В первом случае модель создается в любой CAD - системе, например, AutoCAD, затем она перетранслируется в ANSYS. Пользователь может дальше корректировать эту геометрическую модель и наносить на неё сетку. Во втором случае модель создается твердотельным моделированием или непосредственной генерацией модели.

Сетка конечных элементов обычно наносится автоматически на геометрическую модель после указания типа и размера конечного элемента. Её можно получить и прямой генерацией узлов сетки. ANSYS дает возможность сгущать сетку в местах высокого градиента напряжений.

Процессор решения SOLUTION служит для выбора типа анализа и установления его опций, приложения нагрузок, определения опций для выбора шага по нагрузке и инициирования решения. При определении напряженно деформированного состояния необходимо указать тип анализа Static Analysis. Его опциями являются: выбор метода решения разрешающей системы уравнений; задание параметров решения (для нелинейных задач); задание параметров записи результатов в файл и др. Под нагрузками в ANSYS понимают все виды граничных условий.

После этого происходит запуск на счет. По команде SOLVE программа обращается за информацией о модели и нагрузках к базе данных и выполняет вычисления. Результаты записываются в специальный файл и в базу данных. Расчеты на ANSYS заканчиваются просмотром полученных результатов в основном постпроцессоре POST1. Результаты можно смотреть в текстовом и графическом виде. Основные команды, необходимые для определения напряженно деформированного состояния можно найти в справочнике [5].

Рассмотрим пример определения напряженно деформированного состояния в стыковом сварном шве (рис 1, а) с помощью ПК ANSYS. Размеры стыковых швов из низколегированных сталей приняты как в работе [6]: , , , . К пластине по внешним краям приложено растягивающее напряжение . В связи с тем, что конструкция имеет две оси симметрии, рассмотрим только четверть реального объекта (рис 1, б), разместив начало координат в левом нижнем углу модели. В виду симметрии перемещения точек, расположенных на координатных осях, будут равны нулю.

а) б)

Рисунок 1 - Схема стыкового сварного соединения (а) и расчетная модель объекта (б)

Расчет на ANSYS проводился в интерактивном режиме. Для получения конечно-элементной модели использован метод прямой генерации сетки. В качестве конечных элементов применялся плоский четырехугольный восьмиузловой элемент второго порядка Plane82 c характерным размером . Место стыка сварного шва с пластиной с радиусом закругления является концентратором напряжений. Эта область разбита на более мелкие элементы размерами 0,05 и .

Из расчетов следует что максимальное напряжение возникает в области концентрации напряжении (точка 10806) и равно 230 МПа, то есть коэффициент концентрации напряжений равен 2,3. Этому файлу анализа присвоено имя Probabilis и под этим именем он будет в дальнейшем использован для вероятностного расчета.

Рисунок 2 - Распределение напряжений в стыковом сварном соединении

Вывод регрессионных зависимостей

Общим недостатком численных методов расчета является трудность анализа конечных результатов в плане управления расчетной величиной. В плане решения оптимизационных задач и принятия инженерных решений по обеспечению прочности и надежности элементов конструкций желательно иметь аналитические зависимости выходной величины входных параметров. Далее следует провести многофакторный машинный эксперимент при различных сочетаниях варьируемых параметров. Обычно выбирается одинаковое число равностоящих уровней для факторов. Для проведения такого эксперимента полезно использовать рациональное планирование эксперимента. вероятностная напряжение случайное автоматизация

При большом числе факторов для получения плана эксперимента более рациональным является применение числовых матриц. Число строк в матрице равно числу опытов, а число столбцов - числу влияющих факторов. Комбинация цифр в каждой строке представляет собой сочетание уровней факторов в соответствующем опыте. Оптимальные планы получаются на основе ортогональных латинских квадратов. Методика построения таких планов подробно описано в. При этом количество опытов равно квадрату числа уровней изменения факторов.

На основе результатов машинного эксперимента строятся регрессионные зависимости выходного параметра от варьируемых факторов. Классический регрессионный анализ представляет эту зависимость в форме полинома некоторой степени, коэффициенты которого находятся решением системы линейных уравнений. В данной работе предлагается применение нетрадиционного метода регрессионного анализа, который заключается в выборе частных (парных) зависимостей из числа пятнадцати уравнений. Они как правило, с достаточной точностью описывают большинство физических явлений с плавным изменением функций. Нетрадиционный метод реализован в программе ANETR, созданной в КарГТУ [5].

При малом числе аргументов частные зависимости проявляются достаточно четко, поэтому после определения частных связей выходной функции с каждым из аргументов компонуется многомерная модель в виде их произведения или суммы:

или

где среднее значение функции.

При значительном количестве факторов выявление частных связей требует предварительного и последовательного исключения влияния на результирующую функцию сильнодействующих факторов - нейтрализация их влияния. После нейтрализации сильнодействующего фактора связь с новой функцией следующего по степени влияния фактора проявляется более четко. И так до исчерпания всех факторов. Нейтрализация может осуществляться делением исходных значений на уравнение частной связи или вычитанием этого уравнения. При этом конечная модель выражается произведением или суммой частных уравнений соответственно:

или

Возможен и комбинированный способ нейтрализации, что приводит к комбинированию этих зависимостей.

Адекватность общей модели оценивается стандартом расчетных и экспериментальных значений выходной величины, а также коэффициентом множественной корреляции модели.

Изложенная методика применена для получения зависимости коэффициента концентраций напряжений в стыковом сварном соединений от параметров сварного шва и толщины пластины. Эта задача решена выше методом конечных элементов с использованием ПК ANSYS. Будем теперь изменять варьируемые параметры на пяти равностоящих уравнях в следующих пределах:

; ;

; .

После обработки результатов по программе ANETR получена следующая регрессионная зависимость:

;

в радианах;

; ;

.

Если по этой формуле провести расчеты в условиях предыдущего примера, то получим , что отличается от ранее полученного результата на 3,9 %. Это свидетельствует о хорошей точности модели. Полученная зависимость может быть использована в качестве математической модели изучаемого явления при статистическом моделировании.

Вероятностный расчет на основе ПК Ansys

При наличии аналитической зависимости между напряжением и входными случайными величинами вероятностный расчет может быть проведен с использованием стандартных программных комплексов, например, Matlab. Если напряжение определяется МКЭ, то вероятностный расчет лучше вести с помощью ПК ANSYS. При этом выборка напряжений формируется как результат конечно - элементного анализа со случайным входом.

Для вероятностного расчета в ANSYS предусмотрен процессор PDS. Процедура этого расчета состоит из следующих этапов.

1. Создание файла анализа для использования в циклах. В этом файле должно быть: параметрическое создание модели (PREP7); получение решения (SOLUTION); извлечение результатов и назначение их как случайные выходные параметры (POST1).

2. Определение в базе данных ANSYS параметров, которые соответствуют используемым параметрам в файле анализа.

3. Вхождение в PDS и указание файла анализа (PDS).

4. Объявление случайных входных переменных и при необходимости их визуализация (PDS).

5. Указание взаимосвязей между входными переменными (PDS).

6. Указание случайных выходных параметров (PDS).

7. Выбор вида вероятностных расчетов (PDS).

8. Выполнение циклов вероятностных расчетов (PDS).

9. Подбор поверхности отклика (PDS).

10. Просмотр результатов вероятностного анализа (PDS).

Файл анализа - это входной файл ANSYS, который содержит полную последовательность анализа. Он должен содержать параметрически определенную модель, все входы и выходы. Из файла анализа автоматический создается циклический файл вероятностных расчетов. Для создания случайных входных переменных в библиотеке ANSYS имеются наиболее распространенные законы распределения случайных величин.

В качестве примера определим вероятностные характеристики коэффициента концентрации напряжений в стыковом сварном соединении (рис. 1). Вероятностные характеристики случайных входных переменных примем следующими: параметры шва, толщина пластины и модуль упругости распределены по нормальному закону с параметрами: ширина шва ; высота шва ; толщина пластины:

; угол перехода ; модуль упругости . Радиус сопряжения распределен по усеченному нормальному закону с параметрами , .

В качестве файла анализа используем ранее созданный файл конечно - элементного анализа Probabilistis. Так как размеры модели являются теперь случайными величинами, то координаты ключевых точек должны быть выражены через реализации случайных величин. При каждом прогоне создается новая конечно - элементная модель, но при прямой генерации сетки номера ключевых точек не меняются.

Укажем последовательность команд для интерактивного вероятностного расчета.

1. Файл анализа помещаем в рабочую директорию:

Main Menu > Prob Design > Analysis > Assign; открывается окно, в котором через Browse указываем файл анализа Probabilistic. txt > OK.

2. В базе данных ANSYS задаем параметры, которыми будет оперировать файл анализа.

2.1 Ввод входных переменных:

Utility Menu > Parameters > Scalar Parameters; далее вводим средние значения всех переменных.

2.2 Ввод выходной переменной:

Utility Menu > Parameters > Cet Scalar Datd; далее указывается номер узла, компонента напряжения и имя выходной переменной.

3. Задание случайных входных параметров:

Main Menu > Prob Design > Prob Definitns > Randan Input; далее из меню выбирается тип распределения и указываются его параметры.

4. Указание выходного параметра:

Main Menu > Prob Design > Prob Definitns > Randan Output;

5. Выбор метода вероятностного расчета в качестве метода моделирования выбирается вариант Hypercube метода Монте - Карло:

Main Menu > Prob Design > Prob Method > Monte Carlo Sims; в качестве опций указывается количество прогонов .

6. Выполнение вероятностного расчета:

Main Menu > Prob Design > Pum > Exec Serial > Rum Seria;

После завершения расчета в методе Монте - Карло результаты формируются автоматически в виде таблицы статистик, гистограммы, графика функции распределения и таблицы коэффициентов корреляции между входными и выходными величинами. Результаты расчетов приведены в таблицах 1 и 2 и на рисунках 3 и 4.

Таблица 1. Статистика случайных выходных параметров

Название	Среднее значение	СКО	Коэф. асимметрии	Эксцесс	Мин. значение	Макс. значение
Коэф. Концентрации	2,302	0,2854	1,132	3,191	1,562	3,734

Таблица 2. Коэффициенты корреляции между входными и выходными

Вых/Вх	Ширина	Высота	Толщина	Угол перехода	Модуль Юнга	Рад. рапряжения
Коэф. Концентрации	- 0,110	0,129	0,403	0,358	- 0,001	- 0,599

Рисунок 2 - Гистограмма выходного параметра

Рисунок 3 - Функция распределения выходного параметра

На рисунке 4 также показаны кривые характеризующие верхнюю и нижнюю границу разброса значений коэффициента концентрации напряжений полученные с 95 % доверительным уровнем.

Заключение

В работе с использованием метода гармонической линеаризации получены основные соотношения для расчета нелинейных виброизоляторов вязкого трения при гармонических силовых и кинематических воздействиях. Эти зависимости позволяют определить частоту нелинейных свободных колебаний, амплитуду вынужденных колебаний и коэффициент эффективности виброизоляции. На основе полученных соотношений проанализированы формы скелетных кривых и амплитудно-частотные характеристики нелинейной системы и получены условия выбора эффективного частотного режима работы виброизолятора. Выведены условия для выбора параметров виброизолятора, исключающих появление в системе колебаний с большой амплитудой. Приведена методика расчета и проектирования нелинейных виброизоляторов вязкого трения.

Для наиболее часто встречающихся типов виброизоляторов с нелинейными упругими характеристиками получены конкретные уравнения и формулы, позволяющие оценить эффективность виброизоляции, а при необходимости выбрать параметры виброизолятора из условия эффективности виброзащиты. На основе этих зависимостей построены графики, облегчающие расчет и проектирование нелинейных виброизоляторов вязкого трения.

Список литературы

[1] Вибрации в технике. Справочник в 6 томах. Том 2-М.: Машиностроение, 1979. - 351 с.

[2] Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М.: Наука, 1976. - 317 с.

Размещено на Allbest.ru

...