Представление и обработка нечеткой информации в многокритериальных моделях принятия решений для задач управления социальными и экономическими системами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Представление и обработка нечеткой информации в многокритериальных моделях принятия решений для задач управления социальными и экономическими системами

В.И. Аверченков, А.В. Лагерев, А.Г. Подвесовский

Аннотация

Рассмотрены причины и формы проявления нечеткости информации в многокритериальных задачах принятия решений. Предложены подходы к формализации и обработке различных типов нечеткой информации при моделировании таких задач, основанные на применении индексов сравнения нечетких множеств и операторов упорядоченного взвешенного усреднения.

Ключевые слова: принятие решений, многокритериальная задача, нечеткая цель, нечеткий критерий, индекс сравнения нечетких множеств, оператор упорядоченного взвешенного усреднения.

Характерной чертой многих экономических, социальных, управленческих и других проблем является наличие нескольких альтернативных вариантов их решения. Таким образом, задачу принятия решений (ЗПР) можно считать одной из самых распространенных в любой предметной области. Процесс анализа и решения ЗПР в большинстве случаев заключается в генерации возможных альтернатив, их оценке и выборе альтернативы, наиболее предпочтительной для лица, принимающего решение (ЛПР), в контексте имеющейся ситуации.

В общем случае ЗПР допускает следующее формализованное описание:

, (1)

где X - множество альтернатив; Y - множество исходов (последствий выбора той или иной альтернативы); E - структура внешней среды задачи (определяет характер взаимосвязи между альтернативами и исходами - детерминированный, случайный, неопределенный и др.); C - набор критериев оценки исходов; F - процедура критериального оценивания; P - система предпочтений ЛПР; D - решающее правило.

Система предпочтений P определяет стратегию сравнения критериальных оценок исходов и является основой для построения решающего правила D, которое задает процедуру (алгоритм) выполнения требуемого действия над множеством альтернатив. Указанное действие может состоять в упорядочении альтернатив по предпочтительности, распределении их по классам решений либо выборе оптимальной альтернативы.

Особенностью большинства ЗПР, возникающих при управлении социальными и экономическими системами, является их трудноформализуемость, обусловленная неполнотой и неопределенностью исходной информации, наличием большого числа критериев, имеющих сложную структуру взаимосвязи, а зачастую и противоречащих друг другу, необходимостью обработки и сопоставления качественных понятий. Многочисленные исследования процессов принятия решений в социальных и экономических предметных областях подтверждают, что ЛПР несвойственно мыслить и принимать решения только в количественных характеристиках. Поиск решений для него - это прежде всего поиск замысла решения, и здесь количественные оценки играют вспомогательную роль [1].

Изложенное позволяет сделать вывод о том, что одной из наиболее часто встречающихся форм неопределенности информации в ЗПР является нечеткость.

Нечеткость информации подразумевает наличие в описании задачи понятий и отношений с нестрогими границами, а также высказываний с многозначной шкалой истинности. Объект может принадлежать классу, описываемому данным понятием, отношением или высказыванием, может не принадлежать ему, но возможны также и промежуточные градации принадлежности. Понятия и отношения, описывающие такие классы, называются нечеткими.

Рассмотрим факторы, которые обусловливают нечеткость информации в ЗПР. Прежде всего отметим, что под предпочтительностью решения чаще всего понимается наличие у него заданного набора свойств, зависящего от предметной области задачи. Таким образом, основу предпочтений ЛПР составляют цели, выражающие заданные свойства, а средствами оценки этих свойств являются критерии. Нечеткость информации может иметь место как при описании целей, так и при задании критериальных оценок. Нечеткость целей обусловлена, с одной стороны, наличием свойств нечисловой природы, а с другой стороны, приближенностью и неоднозначностью определения желаемых значений числовых параметров (что, в свою очередь, может являться следствием их словесной формулировки). В качестве причин нечеткости критериальных оценок можно также указать их выражение в словесной форме, а кроме того, принципиальную сложность или невозможность точно и однозначно оценить значения соответствующих параметров.

Еще один аспект проявления нечеткости информации в многокритериальных ЗПР связан с неопределенностью предпочтений. Как известно из теории принятия решений, при наличии числовых оценок предпочтительности альтернатив по каждому критерию решением многокритериальной ЗПР является множество альтернатив, оптимальных по Парето [4], содержащее в общем случае более одного элемента. Для сужения данного множества с целью однозначного выбора альтернативы используется дополнительная информация о предпочтениях ЛПР. Эта информация касается, во-первых, степеней относительной важности (весов) критериев и, во-вторых, допустимой для ЛПР формы компромисса между оценками альтернатив по разным критериям, и она должна обеспечивать возможность построения обобщенного показателя оценки предпочтительности альтернатив. Анализ существующих моделей принятия решений показывает: если методы обработки информации об относительной важности критериев используются достаточно широко [4], то информации второго типа - о допустимой форме компромисса между оценками - зачастую не уделяется должного внимания, что может приводить к несоответствию результатов моделирования интуитивным представлениям ЛПР о предпочтительности решений.

Форма компромисса между оценками определяет допустимую, с точки зрения ЛПР, степень компенсации более низких оценок предпочтительности более высокими и чаще всего выражается словесно с помощью суждений вида «альтернатива должна иметь высокую оценку по большинству (почти всем, нескольким, не менее чем половине и т.п.) критериев». Легко видеть, что подобные суждения также имеют нечеткий характер.

Таким образом, актуальной является задача разработки и исследования методов представления и обработки в многокритериальных моделях принятия решений следующих видов нечеткой информации:

1) о критериальных оценках и целевых свойствах решений;

2) о допустимой форме компромисса между оценками предпочтительности альтернатив по разным критериям.

Основу указанных методов составляет математический аппарат теории нечетких множеств [3], базирующийся на обобщении классического понятия множества для более корректного и полного описания объектов с нечеткими границами. С этой целью вводится понятие нечеткого множества, которое определяют как совокупность пар:

A = {< _A(x), x >},

где X - произвольное множество; _A - функция, определенная на множестве X и принимающая значения на отрезке [0,1]. X называется областью определения, а _A - функцией принадлежности нечеткого множества A. Значение функции _A(x) для конкретного элемента xX называется степенью принадлежности этого элемента множеству A.

Нечеткие множества применяются для формализации неопределенных, качественных понятий, имеющих словесную форму выражения, для которых отсутствует точная граница между самим понятием и его отрицанием. На основе нечетких множеств формируются более сложные структуры - лингвистические переменные. Лингвистической называется переменная, значениями которой являются слова или фразы естественного языка, формализуемые в виде нечетких множеств на общей области определения.

Методы представления и обработки нечеткой информации о критериальных оценках и целевых свойствах решений. Рассмотрим многокритериальную ЗПР в следующей формализованной постановке, являющейся частным случаем описания (1):

, (2)

где X = {x₁, x₂, …, x_m} - конечное множество альтернатив; C = {C₁, C₂, …, C_n} - набор критериев, при этом объектами оценки по ним являются непосредственно альтернативы (тем самым мы предполагаем детерминированный характер взаимосвязи между альтернативами и исходами, позволяющий не делать различия между ними). Ограничимся ситуацией, когда все критерии из множества C являются измеримыми, т.е. связаны с характеристиками альтернатив, которые могут быть выражены в числовой форме. Тогда в общем виде критерий C_j допускает следующее формализованное представление:

C_j = < K_j, u_j, U_j, T_j >, (3)

где K_j - наименование критерия; u_j - фактор критерия (оцениваемая числовая характеристика альтернативы); U_j - область допустимых значений фактора u_j; T_j = {C_j(x_i)} - множество критериальных оценок альтернатив.

Система предпочтений ЛПР P включает в себя информацию о желаемых оценках альтернатив по каждому критерию. Множество G_j желаемых оценок по критерию C_j будем далее называть целевым множеством или целью.

С учетом изложенного считаем, что информация о целях G_j и критериальных оценках C_j(x_i) является нечеткой, поэтому для ее формализации следует использовать методы теории нечетких множеств.

Исследование ЗПР в социальных и экономических предметных областях показало, что наиболее распространенными являются два варианта проявления нечеткости критериальных оценок: нечеткая оценка может задавать одно недостаточно точно известное значение фактора либо нечеткое множество возможных значений фактора.

Поясним сказанное на примерах. Пусть для различных управленческих решений оценивается такой показатель, как степень распространенности. Фактором оценки здесь может являться удельная частота применения того или иного решения, выраженная в процентах. Очевидно, что в большинстве реальных ситуаций эксперт не может указать точное значение частоты (особенно если речь идет о широко распространенных решениях), однако он в состоянии определить некоторый нечеткий интервал, за пределы которого, по его мнению, это значение не выходит. Функцию принадлежности указанного нечеткого интервала можно рассматривать как распределение уверенности эксперта относительно значений фактора в том, что данное значение является именно тем, которое обеспечивает альтернатива. Подобную критериальную оценку будем называть недоопределенной или нечеткой оценкой 1-го типа. Данный тип оценки предполагает, что каждая альтернатива обеспечивает единственное значение фактора соответствующего критерия.

С другой стороны, альтернатива может допускать не одно, а множество значений оцениваемого фактора - простейшим примером является диапазон цен. В этом случае нечеткость оценки может быть интерпретирована как различная степень уверенности эксперта в принадлежности разных значений фактора данному множеству либо как различная степень характерности тех или иных значений для соответствующей альтернативы. Такую оценку будем называть неоднозначной или нечеткой оценкой 2-го типа.

Как и в случае критериальных оценок, нечеткость целевых множеств G_j может иметь различную интерпретацию. Так, в качестве цели может выступать нечеткий диапазон предпочтительных значений (будем называть такую цель нечеткой целью 1-го типа) либо желаемое нечеткое множество значений (назовем подобную цель нечеткой целью 2-го типа).

Альтернатива достигает цели 1-го типа, если она обеспечивает одно из значений фактора u_j, принадлежащих множеству G_j (нечеткость здесь проявляется в том, что различные значения u_j имеют разную степень предпочтительности). Примерами таких целей являются: «как можно меньшая себестоимость», «желаемая доходность ценных бумаг» и т.д. Альтернатива может обеспечивать как одно значение, так и некоторое множество значений параметра u_j - это зависит от специфики конкретной ЗПР, природы данного параметра и самих альтернатив. Цель 1-го типа может иметь место в обоих указанных случаях.

Альтернатива достигает цели 2-го типа, если она обеспечивает как можно большее число значений фактора u_j, принадлежащих множеству G_j. При этом степень предпочтительности альтернативы относительно данной цели тем выше, чем бульшая часть множества значений (с учетом его нечеткости) обеспечивается. Причиной нечеткости множества может быть различная важность обеспечения тех или иных значений. Таким образом, цель 2-го типа предполагает, что каждая альтернатива обеспечивает некоторое множество значений фактора. Примерами таких целей являются: «нацеленность на аудиторию молодого возраста», «возможность фотосъемки с очень близкого расстояния» (в обоих случаях подразумевается, что требуется обеспечить весь диапазон значений соответствующего параметра).

Во многих случаях альтернатива может обеспечивать не только множество значений фактора, задаваемое целью, но и более широкий спектр значений. С учетом этого цель 2-го типа может подразумевать разные варианты ее достижения с точки зрения значений, находящихся за пределами целевого множества. Поэтому будем выделять цели типа 2а, соответствующие безразличности дополнительных значений, и цели типа 2б, соответствующие их нежелательности.

Таким образом, для каждого критерия C_j необходимо задать набор нечетких множеств {C_j(x_i)i = 1, …, m} для представления оценок по нему, а также нечеткое множество G_j, соответствующее цели. Областью определения всех указанных нечетких множеств является область U_j допустимых значений фактора данного критерия.

На практике часто бывает удобным ставить в соответствие критерию C_j лингвистическую переменную, определяемую на области U_j, а критериальным оценкам - значения данной переменной (которые, в свою очередь, формализуются с помощью нечетких подмножеств данной области). Например, для критерия «риск» можно ввести одноименную лингвистическую переменную со значениями «низкий», «средний», «выше среднего», «высокий» и др., каждому из которых будет соответствовать нечеткое подмножество области допустимых значений длины оцениваемого объекта. На основе введенных таким образом базовых лингвистических значений можно порождать производные значения с использованием логических связок и модификаторов «и», «или» «не», «очень», «более или менее» и др. и соответствующих операций нечеткой логики. Тем самым исходный набор лингвистических оценок длины дополняется значениями «не высокий», «достаточно низкий», «низкий или средний», «не высокий и не очень низкий» и т.п., что расширяет диапазон возможных оценок и способствует повышению гибкости оценочной модели.

Для задания цели G_j можно также использовать значения лингвистической переменной, введенной для критерия C_j (например, целью может являться обеспечение очень малой длины). В этом случае будем говорить, что критерий и цель являются лингвистически согласованными.

Возвращаясь к модели (2-3), введем следующее решающее правило: для всех значений i, j требуется определить

G_j(x_i) = R(C_j(x_i), G_j), (4)

где G_j(x_i)[0,1] - оценка степени достижения альтернативой x_i цели G_j (предпочтительности альтернативы x_i по критерию C_j). Очевидно, данное решающее правило сводит рассматриваемую задачу к классической задаче многокритериальной оптимизации.

Фактически отображение R соответствует некоторой процедуре сравнения целевого множества (множества желаемых значений фактора) и критериальной оценки (множества фактических его значений, обеспечиваемых альтернативами). Конкретная форма процедуры зависит от сочетания типов оценки и цели. Для задания R будем использовать индексы сравнения нечетких множеств [2].

Рассмотрим понятие индекса сравнения более подробно. Пусть A, B - нечеткие множества с областью определения U. Индекс сравнения R(A,B) этих множеств принимает значения на отрезке [0, 1] и характеризует меру их частичного совпадения, включения либо сходства. В соответствии с этим выделяют три типа индексов сравнения:

1. Индекс частичного совпадения определяет степень истинности утверждения «пересечение множеств A и B не пусто» (поскольку множества A и B являются нечеткими, данное утверждение может не обладать абсолютной истинностью). Примером такого индекса является индекс

.

2. Индекс включения определяет степень истинности утверждения «любой элемент множества A принадлежит множеству B». Примером такого индекса является индекс

. (5)

3. Индекс сходства определяет степень истинности утверждения «любой элемент множества A принадлежит множеству B, и наоборот». Примером индекса сходства является индекс

. (6)

В выражениях (5) и (6) A B означает пересечение нечетких множеств A и B, задаваемое в виде

, (7)

либо

, (8)

а A B - их объединение, задаваемое в виде

, либо

(9)

(возможны и другие способы определения этих операций [3]). A - мера нечеткого множества A, определяемая по формуле

,

если область определения U - непрерывное множество, либо

,

если U = {u₀, u₁, …, u_N}.

Легко видеть, что индексы сходства и частичного совпадения являются симметричными относительно перестановки аргументов, а индекс включения указанным свойством не обладает.

Исследование свойств возможных сочетаний типов целевого множества и критериальной оценки позволяет сделать вывод о допустимости использования индексов сравнения, представленных в таблице.

Таблица 1 Индексы сравнения для разных сочетаний типов цели и критериальной оценки

Методы представления и обработки нечеткой информации о допустимой форме компромисса между оценками альтернатив по разным критериям. Обратимся к следующей формализованной постановке многокритериальной ЗПР:

< X, C, P; D >, (10)

где оценки альтернатив x_iX по каждому критерию C_jC выражены в числовой форме и принимают значения на отрезке [0,1]. Заметим, что к данной постановке сводится задача (2) в результате применения решающего правила (4).

Система предпочтений ЛПР P может быть представлена в виде

< C_j(x) > max, xX (j = 1,…, n); , Q >, (11)

где - информация об относительной важности критериев, обычно задаваемая в виде набора весов _j ? 0, в сумме дающих 1; Q - информация о допустимой форме компромисса между оценками по разным критериям. Для формализации информации Q воспользуемся понятием нечеткого квантификатора [5].

Нечеткие квантификаторы (НК) являются расширением классического набора логических квантификаторов, включающего в себя кванторы («существует») и («для всех»), за счет введения нечетких понятий «почти для всех», «примерно для половины» и др.

Пусть U - некоторое множество, S - заданное на нем логическое свойство (предикат), которое может быть выражено как в четкой, так и в нечеткой форме. Введем переменную r, интерпретируемую как доля элементов множества U, обладающих свойством S (например, r=0,4 означает, что свойством S обладают 40% элементов множества U). Областью значений данной переменной, очевидно, является единичный отрезок: R=[0, 1].

Нечеткое множество Q, заданное на единичном отрезке, называется пропорциональным нечетким квантификатором. Функцию принадлежности данного НК будем обозначать Q(r).

Примеры функций принадлежности различных НК, а также классических квантификаторов и представлены на рисунке.

Решающее правило D для задачи (10-11) основано на использовании операторов упорядоченного взвешенного усреднения (OWA-операторов OWA - распространенное в англоязычной литературе сокращение от Ordered Weighted Averaging (см., например, [5]).) [5].

Рис. 1 Примеры функций принадлежности нечетких квантификаторов

Пусть имеется вектор W = (w₁, w₂, …, w_n), где w_j ? 0, и Соответствующий данному вектору OWA-оператор задается в виде

,

где b_j (j = 1, …, n) - элементы вектора A = (a₁, a₂, …, a_n), упорядоченные по убыванию.

Заметим, что вес w_j связан не с конкретным элементом вектора A, а со степенью его «старшинства» (наибольший элемент получает вес w₁, следующий за ним - w₂ и т.д.)

Возвращаясь к модели (10-11), полагаем, что информация Q задана в форме пропорционального НК, функция принадлежности которого имеет следующую интерпретацию: Q(r) соответствует степени предпочтительности альтернативы, удовлетворяющей доле r всего множества критериев (например, для Q(0,4) указанная доля соответствует 40 %). С учетом этого на форму Q целесообразно наложить следующие требования:

1. Q(0) = 0 (альтернатива, имеющая наименьшие оценки по всем критериям, не является допустимой).

2. Q(1) = 1 (альтернатива, имеющая максимальную оценку предпочтительности по всем критериям, имеет максимальную оценку предпочтительности в целом).

3. (чем большему числу критериев удовлетворяет альтернатива, тем выше степень ее предпочтительности).

Предположим вначале, что в соответствии с информацией все критерии имеют одинаковую важность. Тогда решающее правило D в модели (10-11) будет иметь вид

,

где H_Q - OWA-оператор, параметры которого задаются следующим образом:

. (12)

Например, в случае использования НК «для большинства» (рисунок) при n = 4 получаем:

w₁ = 0, w₂ = 0,25, w₂ = 0,25, w₃ = 0,625, w₄ = 0,125,

степень предпочтительности альтернативы x с набором критериальных оценок C(x) = (0,6; 0,2; 0,9; 0,1) будет равна

D(x) = 00,9 + 0,250,6 + 0,6250,2 + 0,1250,1 = 0,2875.

Заметим, что для квантификатора («существует») в соответствии с формулой (12) w₁ = 1, w₂ = … = w_n = 0, тем самым

,

т.е. приходим к известному «оптимистическому» правилу выбора. Для квантификатора («для всех») получаем w₁ = … = w_n-1 = 0, w_n = 1, т.е.

,

что соответствует «пессимистическому» правилу. Использование квантификатора «для как можно большего числа» с функцией принадлежности, показанной на рисунке, приводит к набору весов w₁ = … = w_n = 1/n, в результате чего получаем правило, соответствующее принципу равномерного компромисса:

.

Возвращаясь к более общему случаю, когда критерии различаются по важности, т.е. задан набор весов = ( ₁, ₂, …, _n), приходим к следующей, более общей форме решающего правила:

,

где - OWA-оператор, вектор W весов которого задается в виде

.

Здесь - перестановка индексов, упорядочивающая компоненты C_j(x) по убыванию (следует отметить, что для каждой альтернативы x перестановка будет своей). Оператор называется взвешенным OWA-оператором.

Предложенные методы представления и обработки нечеткой информации позволяют более полно отразить особенности системы предпочтений ЛПР и тем самым повысить адекватность и обоснованность принимаемых решений. Благодаря своей инвариантности рассмотренные модели могут применяться для исследования многокритериальных ЗПР в любой предметной области.

нечеткость информация многокритериальный

Список литературы

1. Диев В.С. Нечеткость в принятии решений / В.С. Диев // Философия науки. - 1998. - № 1. - С. 45-52.

2. Дюбуа Д. Общий подход к определению индексов сравнения в теории нечетких множеств / Д. Дюбуа, А. Прад // Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения: [пер. с англ.]; под ред. Р.Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986. - С. 9-21.

3. Круглов В.В. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети / В.В. Круглов, М.И. Дли, Р.Ю. Голунов. - М.: Физматлит, 2001. - 224 с.

4. Подиновский В.В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач / В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2007. - 256 с.

5. Yager R.R. On ordered weighted averaging aggregation operators in multicriteria decision making / R.R. Yager // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. - 1988. - Vol. 18. - P. 183-190.

Размещено на Allbest.ru