Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Математические модели оболочек с изломами срединной поверхности и алгоритмы их исследования

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,

Математические модели оболочек с изломами срединной поверхности и алгоритмы их исследования

Гамилов Дмитрий Владимирович

Санкт-Петербург

2007

Работа выполнена на кафедре прикладной математика и информатики ГОУ ВПО “Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет”

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Карпов Владимир Васильевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Кондратьева Лидия Никитовна

доктор физико-математических наук,

профессор Береславский Эдуард Наумович

Ведущая организация: ОАО "Санкт-Петербургский зональный

научно-исследовательский и проектный

институт жилищно-гражданских зданий"

Защита диссертации состоится 29 мая 2007 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета К 212.223.01 при ГОУ ВПО “Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет" по адресу: 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская уд., д.4, ауд.505 А.

Телефакс: (812) 316-58-72.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО “Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет”

Автореферат разослан ___ апреля 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

к. ф. - м. н., доц. В.А. Фролькис

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Тонкостенные пространственные конструкции широко применяются в строительстве. Они особенно целесообразны при возведении производственных и гражданских зданий, когда требуется покрывать площади больших размеров, порядка 3030 м и более, без промежуточных опор. Впрочем, они успешно применяются при покрытии и меньших площадей.

В пространственных покрытиях благодаря работе конструкции в плане в двух направлениях достигается большая экономия материалов. К тому же пространственные покрытия обладают лучшей архитектурной выразительностью.

Наряду с гладкой срединной поверхностью в строительстве встречаются и оболочки с изломами срединной поверхности. Частично это обусловлено простотой изготовления и возведения покрытий при индустриализации строительства. К таким конструкциям, в первую очередь, относятся покрытия с призматическими складами. Однако, кроме них встречаются конструкции с изломами срединной поверхности в двух направлениях. В оболочках вращения изломы поверхности имею место, как правило, в меридиальном направлении.

Оболочки с изломами поверхности рассматривались в работе И.Е. Милейковского и С.И. Трушина. При решении уравнений использовался метод Власова-Канторовича, так что задача сводилась к решению нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль той переменной, где заданы изломы поверхности. Аналогичный прием применялся в работе Е.И. Колчунова.

В геометрически линейной постановке многие задачи для складчатых оболочек решены Б.К. Михайловым.

Устойчивость пологих оболочек с изломами срединной поверхности рассматривается в работах Л.Н. Кондратьевой. Для решения уравнений в смешанной форме применялся метод Бубнова-Галеркина. В работах А.М. Масленникова для расчетов складчатых оболочек применяется метод конечных элементов.

Хотя имеется значительное число публикаций, относящейся к расчету оболочек с изломами срединной поверхности, но отсутствуют математические обоснования корректности соотношений и уравнений для таких оболочек. Разработка таких обоснований, а так же разработка методик решения задач для ребристых оболочек с изломами срединной поверхности является актуальной задачей.

Задачи диссертационного исследования:

1. Провести математическое обоснование появления в кривизнах оболочек с изломами срединной поверхности дельта-функций.

2. Разработать метод, позволяющий заменить оболочку с изломами срединной поверхности эквивалентной по жесткости оболочкой с гладкими кривизнами.

3. Для обоснования достоверности результатов провести сравнительный расчет оболочек при непрерывной аппроксимации искомых функций и методом конечных элементов.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Получены математические модели деформирования оболочек с изломами поверхности, которые заключаются в том, что в функционале полной энергии деформации появляются дополнительные члены, а не только кривизны оболочек имеют разрывные слагаемые. Проведено математическое обоснование появления дельта-функций в кривизнах оболочек.

2. Показано, что уравнения равновесия при дискретном введении изломов не вполне корректны, так как не выполняются условия Кодацци-Гаусса. Уравнения в смешанной форме, одно из которых вытекает из условий Кодацци-Гаусса, вполне корректны.

3. Разработан метод конструктивной анизотропии для "размазывания" жесткости изломов и показано, что в этом случае можно использовать для расчетов уравнение равновесия.

4. На основе метода конечных элементов проведены расчеты некоторых видов оболочек с изломами срединной поверхности и проведено сравнение результатов с решениями, полученными при непрерывной аппроксимации искомых функций. Тем самым проведено обоснование достоверности полученных результатов.

Основные научные положения, выносимые на защиту.

1. Предложен метод, позволяющий перейти от оболочки с изломом срединной поверхности к равносильной по жесткости гладкой оболочке.

2. Проведено математическое обоснование появления в кривизнах оболочки дельта-функций.

3. Показано, что уравнения равновесия для оболочек с изломами срединной поверхности, когда кривизны оболочки содержат разрывные параметры, не вполне корректны, так не выполняются условия Кодацци-Гаусса. Эти уравнения можно использовать только при "размазывании" жесткости изломов по всей оболочки.

4. Уравнения в смешанной форме для оболочек с изломами срединной поверхности, одно из которых вытекает из условий Кодацци-Гаусса, вполне корректны и могут быть использованы как при разрывных параметрах в выражениях кривизн, так и при "размазывании" жесткости изломов по всей оболочки.

5. Для обоснования достоверности результатов проводился сравнительный расчет методом конечных элементов.

Практическое значение работы состоит в том, что разработано математическое обоснование использования уравнений равновесия и в смешанной форме для расчета оболочек с изломами срединной поверхности. Для вычисления коэффициентов систем уравнений разработаны программы в объектно-ориентированной среде Visual Basic.

Достоверность научных положений подтверждается математически строгим выводом соотношений для оболочек с изломами срединной поверхности и сравнительных расчетов некоторых вариантов оболочек методом конечных элементов.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на 58-й и 59-й международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов СПбГАСУ (2005 г., 2006 г.), на 63_й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ, 2006 г.). Полностью работа докладывалась на расширенном научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики под руководством д. ф. - м. н., проф. Вагера Б.Г. (апрель, 2007 г.).

Публикации

По результатам исследования опубликованы три научных статьи. Публикаций по перечню ВАК - 1.

Структура и объем работы

Текст диссертации изложен на 136 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 205 наименований, приложений на 9 страницах. Работа содержит 24 рисунка и 6 таблиц.

Во введении приводится краткий обзор литературных источников по теме диссертации, актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, указана научная новизна, основные результаты, выносимые на защиту, их апробация и публикации.

В первой главе излагаются основы теории оболочек, необходимые в дальнейшем для разработки математической модели деформирования оболочек с изломами поверхности. Параметры Ляме и кривизны оболочки должны удовлетворять уравнениям Кодацци-Гаусса. Подробно рассмотрены пологие оболочки прямоугольного плана и торообразные оболочки, на примере которых показан вывод соотношений для параметров Ляме и кривизн оболочки.

Показывается, что математическая модель деформирования оболочки состоит из:

геометрических соотношений;

физических соотношений;

функционала полной энергии деформации, из условия минимума которого получаются уравнения равновесия в перемещениях.

Показана методика вывода уравнений в смешанной форме, одно из уравнений которых представляет собой уравнение неразрывности (сплошной) деформаций и вытекает из условий Кодацци-Гаусса.

Во второй главе выводится математическая модель деформирования оболочек с изломом срединной поверхности. Показано, каким образом в кривизнах оболочки появляются дельта-функции.

Будем рассматривать оболочечную конструкцию, состоящую из отдельных пластинчато-оболочечных элементов, как оболочку с изломом срединной поверхности (рис.1) и будем считать, что кривизна при переходе через линию излома меняется скачкообразно. Для получения закономерностей для таких оболочек рассмотрим оболочку с волнистой формой поверхности, а затем, используя метод вариационных предельных преобразований получим предельным переходом оболочку с изломом срединной поверхности.

модель оболочка излом срединная поверхность

Рис.1. Пологая оболочка с изломом срединной поверхности.

Итак, рассмотрим оболочку с гладкой волнистой формой срединной поверхности (рис.2), затем, устремляя к нулю в функционале полной энергии деформации, получим предельным переходом от единичных столбчатых функций к дельта-функциям оболочку с изломом срединной поверхности, для которой кривизна уже будет меняться дискретно в точках излома.

Зададим кривизны волнистой оболочки в виде

Здесь - радиус окружности, соединяющей две гладкие части оболочки в направлении оси , - радиус кривизны этих частей оболочки, - единичная столбчатая функция всюду равная нулю, кроме точек, принадлежащих отрезку , где она равна единице. Аналогичные значения имеют величины для направления оси .

Следует заметить, что в точках и кривизна оболочки будет равна нулю, так как эти точки являются точками перегиба координатной поверхности.

Рис.2. Переход от оболочки с волнистой формой поверхности к оболочке с изломом срединной поверхности.

В функционале полной энергии деформации для рассматриваемой пологой оболочки с волнистой формой в дополнение к

появится выражение

(2)

Здесь учтено свойство единичной функции

и то, что

если .

Аналогичный результат получается вдоль координаты .

Как известно, квадрат дельта-функции является неопределенной функцией и рассматриваемые здесь преобразования заключаются в том, чтобы в соотношениях не было квадрата дельта-функции.

Если , то (рис.3) т.е. и происходит предельный переход от единичных столбчатых функций к дельта функциям. При этом нужно учесть, что

(3)

так как кривизна по линии излома при равна нулю.

Рис. 3. К выводу скачка кривизны в точке излома оболочки.

Все эти преобразования основаны на свойствах дельта-функций и единичных функций.

Так имеем

,

где - единичная функция, - приращение единичной функции, а приращением её аргумента является отсюда

Аналогично, при

,

так как кривизна на линии излома при равна нулю.

Таким образом, для пологих оболочек с изломом срединной поверхности дополнение к функционалу полной энергии деформации будет иметь вид (индекс опущен)

(4)

Таким образом, получаем функционал полной энергии деформации пологой оболочки с изломами срединной поверхности, справедливый на всей области занимаемой оболочкой.

Если оболочка имеет изломы срединной поверхности, то не только её кривизны по линиям изломов меняются на величину угла излома, т.е.

и ,

но меняется и функционал полной энергии деформации.

Рассмотренная модель деформирования оболочки с изломом срединной поверхности не вполне корректна, так как по линиям изломов не будут выполняться условия Кодацци-Гаусса.

Поэтому для проверки адекватности этой модели необходимы сравнения результатов, полученных с использованием конечно-элементной модели.

Для оболочек, подкрепленных большим числом ребер, разработан метод перехода от дискретного задания параметра толщины к непрерывному путем "размазывания" жесткостных характеристик ребер по всей оболочке.

Эту идею можно применить и к оболочкам с изломами срединной поверхности, "размазав" дискретно заданные скачки в кривизне оболочки (жесткость оболочки зависит от ее кривизны) по всей оболочке и тем самым получить эквивалентную по жесткости гладкую оболочку.

Следуя идее метода конструктивной анизотропии, разработанного для ребристых оболочек, для определения кривизны гладкой оболочки, эквивалентной по жесткости оболочке с изломами срединной поверхности, нужно сумму углов изломов поверхности оболочки, отнесенную к линейному размеру оболочки прибавить (со своим знаком) к кривизне гладкой части оболочки.

Для обоснования этого метода и выявления погрешности замены проведем в функционале (под знаком интеграла) следующие преобразования, при этом учитывая свойства дельта, функции

При наличии изломов срединной поверхности оболочки под знаком интеграла будут содержаться выражения

Разобьем отрезок точками на части, так чтобы ₍места изломов) попали в каждый из частичных интервалов (рис.4).

Рис. 4

Обозначим ; среднее значение углов изломов обозначим

Тогда получим

( - это интегральная сумма, дающая в пределе )

=

Следовательно,

. (5)

При таком осредненном введении кривизны условия Кодацци-Гаусса будут выполняться на всей области оболочки. Точность такой замены совпадает с точностью формулы прямоугольников, т.е. имеет первый порядок точности.

Получена математическая модель деформирования торообразной оболочки с изломом срединной поверхности в направлении образующей (рис.5).

Рассматриваются оболочки толщиной h, срединная поверхность которых образована вращением ломаной линии вокруг оси (рис.5). Сектор с углом разворота х_k и радиусом r может быть повернут относительно оси mn на угол и ближайшая его точка к оси mn отстоять на расстоянии d₁. На рис.5 >0. Принята сферическая система координат.

Рассматривается упрощенный вариант торообразной оболочки, когда с помощью замены переменных можно перейти к полярной системе координат на плоскости основания конструкции. Для "размазывания" жесткости изломов применен ранее описанный прием.

Для поверхности (m)

.

Кривизну Ky можно записать в виде

Рис. 5. Тороидальная оболочка с изломом срединной поверхности ()

В третьей главе для расчетов оболочек с изломами срединной поверхности применен метод конечных элементов.

Так как в методе конечных элементов на каждом элементе все соотношения задаются в свой системе координат и затем производится переход к общей системе координат, то кривизны оболочки задаются непрерывными функциями на каждом элементе и достоверность результатов не вызывает сомнений. По сути дела решаются контактные задачи.

Проведен расчет торообразной оболочки с изломами срединной поверхности.

Результаты расчетов могут быть использованы для анализа достоверности результатов расчета при непрерывной аппроксимации искомых функций перемещений, а так же как самостоятельное исследование.

В четвертой главе на основе вариационных методов - метода Ритца для нахождения искомых функций перемещений и метода Бубнова-Галеркина для решения уравнений в смешанной форме проведен расчет складчатых пологих оболочек.

Показано путем сравнения решений, полученных методом конечных элементов, что уравнение равновесия в перемещениях можно применять только, когда жесткость изломов "размазана" по всей оболочки, а уравнения в смешанной форме корректны при учете дискретности изломов.

Рассмотрим оболочку с конкретными параметрами. В направлении осей и она состоит из 6 плит (всего 36 плит), т.е. (рис 6).

Рис.6. Сечение складчатой оболочки.

Углы изломов оболочки в радианах принимают значения

a угол .

В этом случае

Следовательно, приведенная кривизна гладкой оболочки с

размерами будет , а радиусы кривизны Безразмерные значения кривизны будут .

Теперь, используя уравнения равновесия, которые получаются после применения метода Ритца к функционалу полной энергии деформации

(6)

найдем при одночленной аппроксимации перемещений в методе Ритца .

Расчет методом конечных элементов дает тот же результат.

Если учитывать дискретное расположение изломов поверхности оболочки, то получим . Это говорит о том, что уравнения равновесия нельзя применять к расчету таких оболочек, когда кривизны содержат разрывные параметры.

Теперь проведем расчеты складчатой оболочки, используя уравнения в смешанной форме.

Рассматривается квадратная в плане оболочка со стороной и толщиной , состоящая из 36 ребристых плит размером (рис.7). Вдоль оси y расположено 3 плиты длиной 2 м каждая, а вдоль оси x - 12 плит длиной 0,5 м каждая. Размеры всех элементов плиты и конструкции в целом показаны на рис.7.

По контуру оболочка закреплена шарнирно-подвижно, поэтому для расчета её напряженно-деформированного состояния используются уравнения в смешанной форме, так как в этом случае легко подобрать аппроксимирующие функции в методе Бубнова-Галеркина, удовлетворяющие заданным краевым условиям.

Выпишем основные характеристики конструкции.

1. Вдоль оси x находится 11 изломов срединной поверхности с одинаковым углом излома радиан, а вдоль оси оси y - 2 излома с углом радиана.

2. Размеры ребер, приведенные к прямоугольному сечению, составляют: для окаймляющих плиту (больших) ребер высота равна 0,07 м, ширина - 0,045 м; для внутренних (малых) ребер высота равна 0,045 м, ширина - 0,0225 м.

3. Характеристики материала конструкции: железобетон с и .

4. Нагрузка равномерно-распределенная по площади оболочки, составляющая с собственным весом конструкции

Кривизну складчатой оболочки зададим в виде

(7)

где - дельта функции.

Рис.7. Общий вид складчатой оболочки и сечения отдельных панелей, образующих оболочку.

Уравнения в смешанной форме для пологих ребристых оболочек (линейный, упрощенный вариант) будут иметь вид

(8)

Где

Рассмотрим в начале упрощенный вариант решения поставленной задачи. Так как число ребер велико, то “размажем" их жесткость по всей оболочки, при этом

(9)

где имеют вид

Приведенная площадь 15 больших ребер (приходящаяся на единицу длины сечения) будет , а 9 малых ребер . Общая приведенная площадь ребер (за вычетом общей части при пересечении ребер) будет .

Статический момент одного ребра высотой и шириной будет равен

а момент инерции - .

Следовательно,

Приведенную кривизну оболочки возьмем в виде

(10)

Таким образом, рассматриваем гладкую пологую оболочку с приведенными параметрами жесткости и кривизны. При этом

Для решения системы (8) применим метод Бубнова-Галеркина. Так как считается, что оболочка имеет малые прогибы, то функции и возьмем в виде

При этом на контуре оболочки будут выполняться условия шарнирно-подвижного закрепления.

В соответствии с методом Бубнова-Галеркина для определения и имеем систему алгебраических уравнений

которая после вычисления интегралов от известных функций принимает вид

Окончательно получим

Вычислим напряжение в центре оболочки на её внешней стороне

Если учитывать дискретное задание изломов поверхности и кривизны , задавая в виде (7), то результат практически не изменится.

Решение исходной задачи (не упрощенной) методом конечных элементов, найденное А.М. Масленниковым и Р.А. Поповым, дает

м,

Таким образом, полученные результаты приближенных расчетов складчатой ребристой оболочки хорошо согласуются с расчетами, полученными методом конечных элементов.

По результатам диссертационной работы можно сделать следующие выводы:

1. Для оболочек с изломом срединной поверхности проанализирована корректность уравнений равновесия и уравнений в смешанной форме, когда изломы поверхности наличием дельта-функций в выражении кривизны оболочки и показано, что уравнения равновесия некорректны, так как не выполняются условия Кодацци-Гаусса, а уравнения в смешанной форме, одно из которых (уравнение неразрывности деформаций) вытекает из условий Кодацци-Гаусса, вполне корректны.

2. Проведено математическое обоснование появления в соотношениях кривизны дельта-функций на основе предельного перехода от оболочки с волнистой формой поверхности (непрерывно изменяющейся кривизны) к оболочке с изломом срединной поверхности.

3. На основе метода вариационных предельных преобразований разработан способ перехода от оболочки с изломом срединной поверхности к равновеликой по жесткости оболочки гладкой поверхности и получены соотношения для приведенных значений кривизн оболочки. Обоснованы порядок погрешности такого перехода и возможность использования уравнений равновесия в этом случае.

4. Для анализа достоверности получаемых результатов использован метод конечных элементов, который решение задач для оболочек с изломом срединной поверхности сводит к решению контактных задач. Проведен сравнительный анализ решений, полученных при непрерывной аппроксимации перемещений и с помощью метода конечных элементов.

Основное содержание диссертации изложено в публикациях

1. Гамилов Д.В., Карпов В.В. Математические модели деформирования оболочек с изломом срединной поверхности. / Доклады 63-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета. СПб.: СПбГАСУ, 2006, с.85-89.

2. Гамилов Д.В. Расчет складчатой ребристой пологой оболочки // Вестник гражданских инженеров. СПб., 2007. № 2 (11). - с.83-85.

3. Масленников А.М., Гамилов Д.В. Напряженно-деформированное состояние тороидальных оболочек с изломом срединной поверхности. // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета, Томск, ТГАСУ, 2007. № 1. - с 90-94.

Размещено на Allbest.ru

...