Разработка методики моделирования запутанных квантовых вычислений в области квантовых алгоритмов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Инженерно-технологическая академия Южного федерального университета

Разработка методики моделирования запутанных квантовых вычислений в области квантовых алгоритмов

Гушанский Сергей Михайлович,

кандидат наук, доцент, доцент

Потапов Виктор Сергеевич, магистр, аспирант

Аннотация

запутанность квантовый информация алгоритм

В статье предполагается описание основ квантовой теории информации, а также место в ней понятия квантовой запутанности. Разработана методика моделирования запутанных квантовых вычислений в области квантовых алгоритмов, являющаяся полным алгоритмом работы универсального квантового алгоритма в терминах квантового компьютинга, а также исследованием влияния уровня запутанности на работу квантовых алгоритмов.

Введение

Изучение запутанности [1] квантово-механических состояний систем является одним из важнейших направлений исследований в области теории квантовой информации и квантового компьютинга по причине важности понятия запутанности в прикладных алгоритмах и взаимосвязи этого понятия с другими разделами квантового компьютинга. Как демонстрирует история развития этого направления, углубление нашего понимания концепции запутанности приводит к улучшению понимания структуры и логики квантовой механики, к новому взгляду на само понятие физического состояния.

В настоящее время запутанность рассматривается как одно из основных отличий квантово-механических систем от классических, делающее первые интересными с точки зрения приложений в вопросах обработки информации и квантовых коммуникаций. Ряд авторов указывают на запутанность как на основную причину ускорения квантово-механических расчетов по сравнению с классическими. Несмотря на прилагаемые большие усилия, направленные на понимание этого физического явления, законченной теории запутанности в настоящее время не создано. Так, остаются нерешенными вопросы определения универсальных мер запутанности, приложимых не только к смешанным, но и к чистым состояниям; установление критериев запутанности квантового состояния; вопросы взаимосвязи различных мер запутанности; изучение общих свойств многокомпонентных квантовых систем.

Разработка методики моделирования запутанных квантовых вычислений в области квантовых алгоритмов

Критерий запутанности

Запутанность - это особая форма корреляции квантовых частиц, не имеющая классических аналогов. Для того чтобы создать максимальную запутанную пару необходимо на первый кубит воздействовать гейтом Адамара, а потом на оба гейтом CNOT [2]. Кубиты изначально берутся в чистом состоянии.

Пусть существует чистое квантовое состояние в пространстве , , , .

(1)

Отметим, что незапутанным называется состояние, представимое в виде , а все оставшиеся состояния являются запутанными.

Задача. Запутано ли состояние, а все оставшиеся состояния являются запутанными.

Задача. Запутано ли состояние ?

Решение. Матрица, соответствующая этому квантовому состоянию будет

.

rank(A)=2, следовательно, состояние является запутанным.

Сингулярное разложение матриц

Базис всех гейтов составляют четыре матрицы Паули, все остальные гейты получаются путем обычного и тензорного произведения матриц, а также умножением на коэффициент. Важную роль в запутанности квантовых состояний играет сингулярное разложение матриц [3] (или SVD-разложение, Singular Value Decomposition). Любая комплексная матрица A размера mЧn имеет разложение , где U - унитарная матрица порядка m, V - унитарная матрица порядка n, S - диагональная матрица m Ч n c неотрицательными действительными числами {{} на диагонали (эти числа называют сингулярными числами матрицы A).

Разложение Шмидта

Пусть имеется чистое квантовое состояние в гильбертовом пространстве и (1). Конечномерное гильбертово пространство изоморфно своему сопряжению, и по этой причине есть возможность рассмотрения одного вместо другого. Заменим пространство H_B на H^*_B.

Данная методика является моделированием запутанных квантовых вычислений в области квантовых алгоритмов, а также исследованием влияния уровня запутанности на работу квантовых алгоритмов.

Квантовый алгоритм Q [4] - это классический алгоритм A, который можно реализовать на классических вычислительных устройствах и, в соответствии с входом x, реализующий описание квантовой схемы C_x в универсальном конечном базисе, реализующей оператор U_x на n_x кубитах, и описание регистра результата S_x.

Если необходимо реализовать квантовый алгоритм Q, который будет вычислять f(x) с вероятностью ошибки е < Ѕ, то алгоритм Q_s^' будет работать следующим образом:

· S раз обособленно друг от друга повторить алгоритм Q;

· Выдать результатом то значение y, которое встретилось чаще всего.

Предложим следующий принцип построения методики: начиная с в = 0 (отсутствие запутанности) моделируется работа квантового алгоритма, после в увеличивается на некоторое значение и квантовый алгоритм моделируется снова. Для этого необходимо синтезировать матрицу оператора, в котором можно регулировать степень запутанности. Поэтому воспользуемся следующим оператором:

(2)

где в - параметр определяющий степень запутанности кубит, устанавливается в интервале [0; р/2]. А и - матрицы Паули.

Так повторяется до тех пор, пока запутанность не станет максимальной (в = р/2). Квантовый алгоритм предполагает воздействие на кубит или кубиты (квантовый регистр) унитарных операторов - гейтов. Эти операторы подготавливаются заранее: некоторые берутся как есть, другие синтезируются с помощью тензорного произведения и перемножения матриц. Тензорное произведение необходимо при составлении операторов, которые будет применяться к регистру. Все гейты и операторы (кроме запутывающего оператора (2)) будут одинаковые на всех циклах алгоритма, поэтому их необходимо подготовить до начала цикла, чтобы сократить время моделирования. Начало работы любого квантового алгоритма должно начинаться с выравнивания вероятности всех состояний и перевод их в базисные состояния |0> для дальнейшей реализации состояния суперпозиции в рамкам существующего квантового регистра.

Рисунок 1 Методика моделирования запутанных квантовых вычислений в области квантовых алгоритмов

Алгоритм включает цикл, для того, чтобы планомерно с небольшого значения до максимального наращивать степень запутанности и фиксировать, как реагирует на это тестируемый алгоритм. В начале каждого цикла необходимо создавать кубиты со степенью запутанности задаваемой в, либо строится оператор, с помощью которого кубиты в дальнейшем можно будет запутать со степенью в, о котором говорилось выше (2). Отметим, что данный цикл будет выполняться, по крайней мере, один раз, так как не существует изначально максимальной степени запутанности из-за декогерентности окружающей среды. Создав запутанные кубиты, измеряем их в терминах энтропии фон Неймана. Необходимо сделать это сразу после создания запутанных кубит, пока не произведены действия над вектором кубит в результате которых он изменится.

Далее создаются векторы кубит, либо регистр кубит над которыми в дальнейшем будут проводиться операции. На этом этапе подготовка закончена, имеются все необходимые гейты (матрицы) и регистр с необходимым количеством кубит (вектора).

После того, как квантовый алгоритм отработал, кубит или регистр кубитов измеряется с помощью специально синтезированной функции, которая раскрывалась выше. В результате декогеренции взамен суперпозиции мы получаем классическое двоичное значение, с вероятностью определенной в суперпозиции. Далее запоминаем или выводим степень запутанности измеренной энтропией фон Неймана. В конце цикла увеличиваем в, тем самым на следующем шаге алгоритм будет промоделирован с большей степенью запутанности. Если результат зависит от случайных величин, как, например, в модели квантовой телепортации, то квантовый алгоритм необходимо повторить достаточное количество раз с одним уровнем запутанности, используя среднестатистический результат, чтобы исключить фактор случайности, а только потом наращивать степень запутанности.

На следующем изображении (Рис. 2) представлена разработанная и описанная выше методика моделирования запутанных квантовых вычислений на примере реализации алгоритма факторизации Шора.

Рисунок 2 Методика моделирования запутанных квантовых вычислений на примере реализации алгоритма факторизации Шора

Заключение

Моделирование и реализация запутанных квантовых вычислений в области квантовых алгоритмов, основанное на данной методике позволяет:

· Прогнозировать и анализировать поведение квантового алгоритма при частичной запутанности, которая может возникнуть под влиянием окружающей среды на квантовую систему. Квантовую систему нельзя полностью оградить от окружающей среды, поэтому такое прогнозирование актуально в любом алгоритме с запутанностью.

· Наглядно описать универсальную методику реализации квантовых алгоритмов с учетом различной степени запутанности.

· Находить новые способы применения частичной запутанности для моделирования каких-либо параметров в исполняемой задаче.

В процессе написания данной работы была проанализирована схема взаимосвязей элементов квантовой теории информации, а также место в ней понятия квантовой запутанности. Разработана методика моделирования запутанных квантовых вычислений в области квантовых алгоритмов, являющаяся полным алгоритмом работы универсального квантового алгоритма в терминах квантового компьютинга, а также исследованием влияния уровня запутанности на работу квантовых алгоритмов.

Список литературы

1. Гузик В.Ф., Гушанский С.М., Потапов В.С. Количественные характеристики степени запутанности // Известия ЮФУ. Технические науки. Моделирование физических процессов и систем. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2016, № 3. С. 76-86.

2. Гушанский С.М., Потапов В.С. Определение и реализация операторов квантовых алгоритмов // Научный журнал "Juvenis scientia". 2016, № 2. С. 38 - 40.

3. Cингулярное разложение матрицы // URL: http://matlab.exponenta.ru /ml/book2/chapter7/svd.php (Дата обращения: 20.10.2016)

4. Гузик В.Ф., Гушанский С.М., Поленов М.Ю., Потапов В.С. Понятие и структура квантового алгоритма // Информатизация и связь. 2016, № 1. С. 13-18.

Размещено на Allbest.ru