Алгоритмы разделения и восстановления сигналов на основе многоканальной обратной фильтрации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский государственный университет путей сообщения

АЛГОРИТМЫ РАЗДЕЛЕНИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ МНОГОКАНАЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

В.А. Засов, М.А. Тарабардин, E.Н. Никоноров

Аннотация

алгоритм сигнал информационный канал

В работе рассматривается задача разделения сигналов из аддитивной смеси по принадлежности источникам и компенсации искажений, вносимых в них информационными каналами. Для решения этой задачи предложены три группы алгоритмов на основе нерекурсивной, рекурсивной и адаптивной многоканальной фильтрации.

Ключевые слова: информационный канал, разделение-восстановление сигналов, некорректная задача, многоканальный обратный фильтр, устойчивость, регуляризация.

Основная часть

Рассмотрим модель образования сигналов в объекте в виде линейной многомерной динамической системы с дискретным временем, имеющей k входов и d выходов. Входные сигналы , , (M - количество значений входного сигнала), генерируемые узлами объекта, будем считать независимыми. Выходные сигналы , этой системы являются сигналами различных датчиков. Положим, что каждый из d выходов такой многомерной системы связан со всеми k входами информационными каналами с динамическим характеристиками , , , или , , где N - количество значений импульсных характеристик (ИХ) объекта. Вектор показывает, что динамические характеристики объекта неизменны лишь на временных интервалах, сравнимых с длительностью ИХ.

Тогда для принятых допущений модель образования измеренных сигналов , описывается следующими системами уравнений:

(1)

где , и - Фурье-образы функций , и соответственно, , , , .

Определение сигналов по сигналам и ИХ , будем называть разделением-восстановлением, а устройства, реализующие его, - многоканальными обратными фильтрами (МОФ).

Таким образом, функцию МОФ можно определить как вычисление вектора входных сигналов , по известному вектору измеренных сигналов , и матрице ИХ:

, .

Для того чтобы матрица, обратная указанной, была невырожденной, положим . Тогда решение систем уравнений (1) можно представить следующим образом:

, , (2)

где спектральная матрица является обратной спектральной матрице

, .

Выражение (2) задает функцию МОФ для разделения-восстановления сигналов [1]. Выделим три вида МОФ - нерекурсивные, рекурсивные и адаптивные, отличающиеся методами решения систем (1) и показателями эффективности.

Для оценки эффективности вычислительных устройств (ВУ) для разделения-восстановления сигналов используем следующие основные показатели: сложность, быстродействие и точность. Сложность определяется объёмом вычислений и сложностью самой схемы устройства для разделения-восстановления. Точность удобно представить как среднеквадратичную ошибку вычисления входных сигналов, т.е.

.

Здесь - сигнал, полученный повторным искажением моделью объекта результатов разделения-восстановления, равный , где - результаты разделения-восстановления сигналов для s-ного узла объекта, а ,, - ИХ информационных каналов объекта. Символом * обозначена операция дискретной свёртки, E - оператор математического ожидания.

Решение систем (1) характеризуется неоднозначностью и неустойчивостью из-за некорректности задачи разделения-восстановления [2]. Для введения задачи в класс корректных и обеспечения устойчивости решения предлагается использовать регуляризирующие фильтры и регуляризирующие функционалы Тихонова [4]. Сложность выбора метода регуляризации связана с объёмом имеющейся априорной информации об объекте. Если объем априорной информации об объекте достаточен для введения задачи в класс корректных задач, предлагается использовать нерекурсивные и рекурсивные МОФ.

Функция и структура нерекурсивных МОФ определяется выражением (3), которое представляет результат решения системы (1) прямыми методами, т.е.

, (3)

где, - вычисленный сигнал-образ, являющийся некоторым приближением истинного сигнала , в точке его зарождения.

В (3) , , , причем спектральная матрица , а элементы спектральной матрицы определяются как .

Функция и структура рекурсивного МОФ определяется выражением (4), представляющим результат решения систем (1) итерационными методами. Для (+1)-го приближения сигнала s-ного источника получим:

, , , . (4)

Предел , последовательности итераций является решением системы. Сложность рекурсивного МОФ меньше, но для обеспечения устойчивости требуется вводить дополнительные априорные ограничения.

Когда объём априорной информации об объекте недостаточен для введения задачи в класс корректных, предлагается использовать адаптивные МОФ (МАОФ) с регуляризацией Тихонова, основанной на минимизации функционала

.

Данный функционал минимизирует на основе критерия наименьших квадратов норму невязки системы (2).

Упростить вычисление параметров фильтра можно путем реализации выражения, которое связывает векторы параметров перестраиваемого фильтра на последующих и предыдущих шагах адаптации, т.е.

, , .

Важнейшим, трудоемким и сложно автоматизируемым процессом является выбор параметра регуляризации , минимизирующего ошибку решения задачи. При изменении параметра методическая составляющая ошибки возрастает, а составляющая ошибки, связанная с неустойчивостью решения, убывает. Это дает основание для определения такого значения параметра , при котором ошибка будет минимальной. Для этого реализован быстро сходящийся итерационный метод, основой которого является метод половинного деления, позволяющий вычислить оптимальный параметр , минимизирующий .

На рис. 1-3 приведены результаты моделирования в среде MATLAB нерекурсивного алгоритма разделения-восстановления сигналов. В модели были использованы три источника сигналов: первые два (см. рис. 1 и рис. 2) - треугольные импульсы разной частоты и формы, а третий (см. рис. 3) - речевой сигнал.

Р и с. 1 Результаты моделирования разделения-восстановления треугольного сигнала с помощью нерекурсивного МОФ

Девять информационных каналов моделировались различными резонансными звеньями. В приемниках сигналов использовались 8-разрядные АЦП с частотой дискретизации 15 кГц. В верхней части каждого из рисунков показан исходный сигнал, в средней части - сигналы с датчиков, а в нижней части - результаты выделения каждого сигнала из смеси и восстановления его. Сравнительный анализ методом среднего квадратичного отклонения верхнего и нижнего сигналов на каждом из рисунков показал, что погрешность разделения-восстановления сигналов не превышает 8-10%, что вполне достаточно для многих инженерных приложений.

Р и с. 2 Результаты моделирования разделения-восстановления треугольного сигнала с помощью нерекурсивного МОФ

Р и с. 3 Результаты моделирования разделения-восстановления речевого сигнала с помощью нерекурсивного МОФ

Библиографический список

1. Архангельский С.В., Засов В.А. Многоканальные восстанавливающие фильтры в задачах контроля и диагностики // Вестник Самарской госуд. академии. путей сообщения. 2004. №2. С. 28-32.

2. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физике и технике. М.: Сов. радио, 1979. 272 с.

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. Глав. редакция физ.-мат. лит-ры, 1979. 234 с.

Размещено на Allbest.ru