О перемещении груза автокраном вдоль заданной траектории при ограничении количества одновременно управляемых координат

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ),644080, г. Омск, просп. Мира, 5

О перемещении груза автокраном вдоль заданной траектории при ограничении количества одновременно управляемых координат

М.С. Корытов

Аннотация

Предложена методика выбора оптимального набора управляемых координат стрелового автокрана - угла поворота поворотной платформы, угла подъема стрелы, величины выдвижения телескопического звена, длины каната грузовой лебедки - и определения их текущих значений в зависимости от требуемых координат точки закрепления груза при ограничении количества одновременно управляемых координат.

Ключевые слова: автокран, управляемые координаты, траектория.

Введение

При необходимости перемещения автокраном груза по заданной траектории (в процессе совместной работы двумя кранами с общим грузом, в стесненных условиях работы, при наличии преград) необходимо решить задачу определения значений управляемых координат крана по известным значениям координат точки груза. То есть решение траекторной задачи может быть получено как совокупность решений задачи позиционирования.

1. Основная часть

Поскольку управляемых координат автокрана четыре (угол поворота поворотной колонки, угол подъема стрелы, величина выдвижения телескопического звена, длина каната грузовой лебедки), и они независимы друг от друга, а независимых координат точки подвеса груза всего три, поставленная задача может иметь бесконечное множество численных решений.

Однако если зафиксировать одну из четырех управляемых координат в некотором ее начальном (исходном) значении, тогда остальные три управляемые координаты могут быть вычислены однозначно.

Более сложной является задача выбора оптимального набора управляемых координат стрелового автокрана при ограничении количества одновременно управляемых координат, например, с трех до двух.

Очевидно, что в общем случае две независимые управляемые координаты автокрана не смогут обеспечить равенства трех независимых координат точки подвеса груза требуемым в данный момент времени произвольным значениям. В данной ситуации возможен лишь выбор оптимального парного набора управляемых координат.

При необходимости оптимизировать траекторию перемещения груза автокраном в зависимости от решаемой задачи критерий оптимизации траектории может быть различным: минимум расстояния; минимум времени; минимум энергозатрат (работы); минимум числа переключений и др.

В случае необходимости ограничения числа одновременно управляемых координат, что актуально для автокранов, рассмотрим решение данной задачи (выбора оптимального парного набора управляемых координат) по наиболее важному критерию точности, т.е. достижению минимума отклонения действительной координаты груза от заданной.

Динамическая система автокрана представлена четырьмя звеньями. Это базовое шасси, поворотная платформа, стрела, телескопическое звено. Базовому шасси соответствует локальная система координат X1Z1Y1.

Рис. 1 Координатная схема автокрана

Имеется точка, связанная с грузом, с координатами xG0(0), zG0(0), yG0(0), определяющими начальное положение груза и заданными в инерциальной системе координат X0Z0Y0, ось Z0 которой направлена вдоль гравитационной вертикали (рис. 1). Этой точке соответствуют начальные значения четырех управляемых координат автокрана q7_0, q8_0, q9_0, q10_0 - угла поворота поворотной платформы, угла подъема стрелы, величины выдвижения телескопического звена и длины каната грузовой лебедки соответственно. Первые шесть обобщенных координат автокрана q1…q6 не являются управляемыми, в рабочем режиме постоянны (принято в качестве допущения) и задают положение базового шасси в инерциальной системе координат.

Пусть задана требуемая траектория характерной точки груза в виде набора непрерывных функций

X=X(s), Z=Z(s), Y=Y(s),

где X, Z, Y - координаты характерной точки груза в инерциальной системе координат; s - некоторый параметр.

Траекторная задача состоит в том, чтобы найти набор управляемых обобщенных координат автокрана q7, q8, q9, q10, соответствующих каждой точке траектории, т.е. каждому значению параметра s.

Практически для решения траекторной задачи в условиях ограничения на число одновременно управляемых координат (не более двух) необходимо провести решение обратной позиционной задачи для большого количества значений параметра s, взятых с достаточно малым шагом.

В качестве допущения принято, что скорость каждой из четырех управляемых координат может непрерывно изменяться от нуля до максимального предельного значения ±Vq7_max, ±Vq8_max, ±Vq9_max, ±Vq10_max.

Для автокрана возможны следующие шесть сочетаний из двух управляемых координат: q7-q8, q7-q9, q7-q10, q8-q9, q8-q10, q9-q10.

Если рассматривать точку требуемой траектории груза на первом шаге изменения параметра s, необходимо выбрать из шести пар управляемых координат ту пару, которая при «замороженных» значениях прочих управляемых координат обеспечит наименьшее расстояние lmin между точкой с действительными координатами груза и точкой с заданными (требуемыми) координатами груза.

Геометрический смысл сказанного следующий: необходимо найти расстояния между точкой с заданными координатами X(i), Z(i), Y(i) и поверхностями, на которых может располагаться точка с действительными координатами груза при варьировании двух из четырех управляемых координат.

В качестве примера на рис. 2 изображены поверхности, образованные парами варьируемых координат q7-q8, q7-q9, q7-q10, q8-q9, q8-q10, q9-q10, для всех шести возможных сочетаний из двух управляемых координат. Поверхности проходят через точку с действительными координатами груза на предыдущем шаге xG0(i-1), zG0(i-1), yG0(i-1).

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Рис. 2 К определению действительных координат точки груза на текущем шаге

Пусть расстояние lmin79 будет наименьшим, тогда набор координат q7-q9 будет выбран в качестве оптимального и действительная точка груза для текущего шага xG0(i), zG0(i), yG0(i) будет располагаться на поверхности q7-q9.

Для нахождения расстояния lmin воспользуемся методом однородных координат [1, 2, 3]. Пусть матрица вида

выражает переход от системы координат X1Z1Y1 базового шасси автокрана к инерциальной системе координат X0Z0Y0.

В элементах a11…a34 данной матрицы заложены постоянные (на время перемещения груза) обобщенные координаты q1…q6 базового шасси. Остановимся на данном уровне детализации, чтобы излишне не увеличивать объем дальнейших выражений. Каждый из коэффициентов a11…a34 может быть расписан как тригонометрическая функция координат q1…q6 [1].

Координаты характерной точки груза в инерциальной системе определятся как компоненты вектора

,

где - вектор точки оголовка стрелы в системе координат телескопического звена, имеющий постоянные координаты, заданные конструкцией;

T4 - матрица перехода из системы координат телескопического звена в инерциальную, элементы которой представляют собой тригонометрические функции координат q7…q9.

Данная формула получена исходя из допущения, что расположение грузового каната в процессе перемещения груза должно оставаться вертикальным, что регламентируется «Правилами техники безопасности при эксплуатации стреловых самоходных кранов ВСН 274-88» [4].

Тогда координаты характерной точки груза в инерциальной системе:

где x2, z2, x3, z3, x4, z4 - конструктивно заданные постоянные размеры.

Известно, что расстояние между двумя точками с координатами x1z1y1 и x2z2y2 в трехмерной декартовой системе координат определяется по формуле

.

Если обозначить координаты текущей точки требуемой траектории на шаге i как X(i), Z(i), Y(i), то расстояние l между текущей требуемой точкой и действительной характерной точкой груза в инерциальной системе составит величину

. (1)

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Рис. 3 Блок-схема алгоритма построения траектории

Обозначим минимальные расстояния, достигнутые на шаге i посредством изменения пар управляемых координат q7-q8, q7-q9, q7-q10, q8-q9, q8-q10 и q9-q10 как lmin78, lmin79, lmin710, lmin89, lmin81, lmin910 соответственно.

Для нахождения lmin78…lmin910 потребуется использование численных методов оптимизации: вычисление локального минимума расстояния как функции двух переменных (двух варьируемых управляемых координат при «замороженных» значениях остальных управляемых координат) при начальных значениях координат, взятых из предыдущего шага i-1.

Из полученных шести значений lmin78…lmin910 выбирается минимальное, и для соответствующих ему двух управляемых координат на последующих шагах параметра s решается аналогичная задача поиска локального минимума - уже для новых значений текущей точки требуемой траектории.

Процесс поиска минимального расстояния для выбранной пары управляемых координат продолжается до тех пор, пока значение расстояния между текущей точкой требуемой траектории и действительной точкой груза не достигнет предельного допустимого значения LP.

Рис. 4 Временные зависимости требуемых и действительных координат точки груза

После этого необходимо вновь определить для текущих условий значения lmin78…lmin910, выбрать из них минимальное, и уже для нового набора двух управляемых координат на последующих шагах решать задачу поиска минимума расстояния.

Рассмотренный алгоритм построения траектории приведен на рис. 3.

Для того чтобы исключить разрывы функций управляемых координат в точках возможной смены их пар, в вычислительный алгоритм могут быть добавлены ограничения на производную (максимально допустимую скорость изменения) каждой управляемой координаты.

Вычислительные эксперименты показали, что это не приводит к превышению предельного допустимого значения расстояния LP, т.е. абсолютная точность траектории выдерживается. Однако незначительно возрастают интегральные показатели отклонения действительной траектории от требуемой - такие как среднеквадратичное отклонение и т.п.

В качестве примера на рис. 4 приведены временные зависимости требуемых и действительных координат точки груза при ограничении числа одновременно управляемых координат до двух для случая прямолинейного поступательного движения. Предельно допустимое значение расстояния между текущей точкой требуемой траектории и действительной точкой груза LP принималось равным 0,5 м.

Поскольку для оптимального управления положением груза в пространстве используются метод перебора пар управляемых координат и численные методы поиска локального минимума функции, то при достаточно малом шаге и большом числе возможных сочетаний (в рассматриваемом случае - шесть) координат управления использование представленного алгоритма может оказаться трудоемкой и длительной процедурой.

Проведем оценку трудоемкости предлагаемого алгоритма по времени вычисления в зависимости от количества возможных пар управляемых координат и шага параметра (времени) при параметрической форме задания требуемой траектории характерной точки груза.

В качестве среды моделирования, в которой происходила реализация алгоритма, использовался пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений MATLAB. На встроенном языке программирования MATLAB по приведенному выше алгоритму была написана программа-скрипт. Это позволило использовать возможности профилировщика MATLAB для точного измерения затрат времени на выполнение программы в целом и ее отдельных строк.

Для поиска локального минимума использовались возможности MATLAB по минимизации функции ряда переменных вида (1) симплекс-методом Нелдера-Мида.

стреловой автокран груз координата

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Рис. 5 Зависимость затрат вычислительного времени алгоритма от числа пар управляемых координат (а) и шага дискретности изменения параметра ?s (б): T - общее время вычислений; TS - время вызова функций минимизации

Для определения влияния на полные временные вычислительные затраты T количества возможных пар управляемых координат n значение последних было проварьировано от 2 до 6. На рис. 5, а представлены зависимости общего времени вычислений (T) и времени, затраченного на поиск локального минимума функций (TS), от количества пар управляемых координат n. Шаг дискретности параметра в данной серии экспериментов принимался фиксированным: ?s=0,1 с. Вычисления проводились для заданной траектории, приведенной на рис. 4, с постоянным рассматриваемым интервалом параметра s в 40 с.

На рис. 5, б представлены зависимости T и TS от шага дискретности параметра ?s, который варьировался от 0,025 до 0,2 с. Количество возможных пар управляемых координат принималось фиксированным: n=6.

Вычисления производились на персональном компьютере, имеющем следующие характеристики: процессор: AMD Athlon 64 X2 Dual Core Processor 5600+ 2.90 GHz; память (RAM): 4,00 ГБ; тип системы: 32-разрядная операционная система.

Выводы

Анализ зависимостей на рис. 5 позволяет сделать вывод о том, что временные вычислительные затраты на реализацию алгоритма относительно невелики, и он может использоваться практически. Влияние количества возможных пар управляемых координат n на временные вычислительные затраты незначительно, поскольку одновременное нахождение всех n локальных минимумов во время выполнения алгоритма происходит сравнительно редко, при выполнении условия lmin>LP (см. рис. 3). В случае же lmin<LP локальный минимум находится лишь для одной, оптимальной пары управляемых координат.

Влияние шага дискретности параметра ?s на временные вычислительные затраты более существенно, однако в наиболее широко используемом диапазоне ?s общее время вычислений остается в приемлемых пределах.

Моделирование описанной методики с использованием ПК подтвердило ее адекватность. Направление дальнейших исследований - усовершенствование алгоритма получения траектории по показателям плавности изменения действительных координат груза.

Библиографический список

1. Щербаков В.С., Корытов М.С. Статическая и динамическая устойчивость фронтальных погрузчиков: монография. - Омск: Изд-во СибАДИ, 1998. - 100 с.

2. Байкалов В.А. Расчет манипуляционных систем роботов: учеб. пособие. - Красноярск: КрПИ, 1989. - 76 с.

3. Коловский М.З., Слоущ А.В. Основы динамики промышленных роботов. - М.: Наука, 1988. - 240 с.

4. Правила техники безопасности при эксплуатации стреловых самоходных кранов: ВСН 274-88. - М.: СтройИнфо, 2007. - 22 с.

Размещено на Allbest.ru