Математичне моделювання магнітного підвісу у термоядерному реакторі

, (5)

де коли .

Відмінними від нуля виявляються наступні компоненти гессіана і . Відповідно до критерію Сильвестра умови позитивної визначеності зводять до системи нерівностей:

(6)

Приведемо також вираження магнітної сили на осі :

, (7)

де , і .

З 2-ї і 3-ї умови (3.100) випливає, що і , тоді з

4-ї випливає, що , а перша умова є наслідком 3-ї і 4-ї. Таким чином, є три незалежних умови:

; ; . (8)

Через те, що достатні умови парні по , а необхідна умова непарна по , тобто можливим є тільки “підвіс”, тобто в рівновазі магніт знаходиться під кільцем. Графічно рішення системи нерівностей (8) має вид зони стійкості, утвореної перетинанням трьох відповідних графіків і показаної на рис.1. З умов (8) випливає, що рішення маємо тільки для , у такий спосіб величини і завжди мають один знак. Реалізація підвісу є можливою в широкому діапазоні по , причому . Для рішення системи нерівностей (8) були написані розрахункові процедури, що дозволяють обчислювати з великою точністю ліву і праву границі зони стійкості, тобто і . Для знаходження точки стійкої рівноваги при різних значеннях параметра скористаємося наступною процедурою: задаємо значення у зазначеному діапазоні і знаходимо граничні значення і ; потім вибираємо значення , яке попадає в отриманий інтервал; для даного значення обчислюємо величину магнітної сили за формулою (7). Виходячи з отриманої магнітної сили, підбираємо масу магніту такою, щоб .

Рисунок 2.1 - Область стійкості магнітного підвісу під надпровідним кільцем

2.2 Модель магнітної левітації з використанням двох надпровідних кілець

Розглянемо систему, що складається з двох надпровідних кілець, у присутності однорідного поля ваги паралельного осі . Одне з кілець зафіксовано таким чином, що його центр збігається з початком координат, а нормаль є спрямованою по осі ; друге кільце - вільне[80].

Потенційна енергія такої системи складається з магнітної енергії (3.52) і енергії однорідного поля ваги:

, (9)

де - власні і взаємні індуктивності; - магнітні потоки; - вага вільного кільця, а знак відповідає напрямку сили ваги, протилежному осі ; - координата центра ваги вільного кільця, що збігається з його геометричним центром.

Через те, що досліджується можливість стійкої рівноваги такої системи, досить знати градієнт і гессіан від потенційної енергії системи у заданій точці. Основні труднощі пов'язані з обчисленням градієнта і гессіана від взаємної індуктивності такої системи. Для рішення цієї задачі в зазначеній роботі проводять досить громіздкі викладення, в результаті чого повторний інтеграл удається звести до алгебраїчних комбінацій повних еліптичних інтегралів. Таким чином, в окремому випадку квазиспіввісного розташування кілець вдається одержати шукані вираження градієнта і гессіана потенційної енергії в спеціальних функціях. Проте, через надзвичайну громіздкість отриманих виражень, подальше аналітичне дослідження достатніх умов рівноваги авторами не проводилося. На основі отриманих виражень, у разі конкретних значень параметрів, чисельно знаходили точку рівноваги і перевіряли умови стійкості.

Отримані аналітичні вираження придатні тільки для випадку квазиспіввісного розташування кілець, тобто вони не забезпечують достатнього апарату для дослідження довільної конфігурації кілець.

У цій главі пропонується альтернативний підхід до рішення зазначеної задачі, який заснований на чисельному моделюванні фізичних характеристик системи. Треба відмітити, що власне чисельні методи застосовувалися тільки до обчислення однократного інтеграла. Всі інші операції (наприклад, знаходження гессіанових підінтегральних функцій) виконували аналітично, з використанням символьних можливостей системи Maple V, у якій реалізовано механізм автоматичного диференціювання. Така послідовність обчислень забезпечує повний контроль точності виражень, що обчислюють, у тому числі градієнтів і гессіанов. Ще однією перевагою даного підходу є універсальність, тобто його застосовують для дослідження багатокільцевих конфігурацій з довільним розташуванням кілець. У цій главі приведено базову процедуру такого підходу, а саме, підінтегральну функцію взаємної індуктивності[80].

Потенційна енергія системи, її градієнти і гессіани були приведені до безрозмірного виду за допомогою безрозмірних змінних такого виду:

; , (10)

де - відповідно безрозмірна взаємна індуктивність і параметр, що характеризує відношення магнітних потоків.

Недоліком такого вибору безрозмірних параметрів є залежність безрозмірної взаємної індуктивності від магнітних параметрів, тоді як насправді її цілком визначаєть геометричні параметри. Через те, що основні труднощі обчислення пов'язані саме з обчисленням взаємної індуктивності, її градієнта і гессіана, необхідно прагнути до мінімального набору аргументів у цих функціях. Тому, як безрозмірні параметри, зручно вибрати наступні величини:

; ; ; (11)

, (12)

де - відношення радіусів кілець; - власна індуктивність у безрозмірній формі; - “заморожені” у кільцях магнітні потоки; - радіуси кілець;

- взаємна індуктивність двох кілець; - координати, що задають просторове положення вільного кільця. Безрозмірна енергія має вид:

. (13)

Встановимо відповідність між безрозмірними параметрами:

; ; . (14)

Крім згаданих помилок у вираженнях компонентів гессіана взаємної індуктивності, в зазначеній роботі є суперечне твердження: “стійка рівновага можлива лише в системі магнітно-притягувальних кілець однакових радіусів”. Точніше, сумнів викликає твердження про необхідність близькості радіусів кілець для забезпечення стійкості в конфігурації “магнітного підвісу”.

Досліджуємо необхідні і достатні умови магнітної левітації.

Істинний мінімум потенційної енергії можливий тільки на осі , тому що в противному випадку в точці рівноваги градієнт і гессіан магнітної енергії будуть залежати від , а, як відомо, зміна не приводить до зміни відповідних компонентів гессіана, тобто існує не одна, а нескінченна кількість точок рівноваги, які відповідають різним ; це також випливає з розумінь симетрії. У будь-якій точці осі залежність від вироджується, і тому необхідно аналізувати позитивну визначеність урізаної матриці гессіана розміром , а не . Аналогічні висновки були зроблені в роботі [18, с.164] на підставі теореми Румянцева[80].

Для знаходження зон стійкої рівноваги і точок магнітної левітації скористаємося наступною процедурою:

- шукаємо одномірний мінімум магнітної енергії по осі , щоб переконатися в тому, що при заданих параметрах магнітна енергія має мінімум у точці, відмінній від центра нерухомого кільця;

- знаходимо максимум і мінімум градієнта магнітної енергії по осі , щоб визначити точку , яка є лівою границею інтервалу з передбачуваним нулем сили;

- на інтервалі знаходимо точку , у якій магнітна сила дорівнює нулю;

- на інтервалі шукаємо точку максимуму сили , у якій

3-я умова системи

(15)

вже не виконується;

- для визначення лівої границі діапазону стійкості розв'язуємо рівняння:

. (16)

Рівняння (16) виводять з 3-ї умови системи (15) з урахуванням формул:

- будуємо дві криві, що обмежують діапазон стійкості по , а саме, компоненти гессіана і як функції (позначені 1 і 2 відповідно);

- область, що обмежена кривими 1 і 2, знайденими в попередньому пункті і яка попадає до діапазону , і є областю стійкості;

- нуль магнітної сили (ефект МПЯ Козоріза), як правило, знаходиться на інтервалі , але ніколи не попадає до області, яка обмежена кривими 1 і 2;

- для забезпечення достатніх умов стійкості точку рівноваги необхідно змістити в область, обмежену кривими 1 і 2. Гравітаційну силу, наявність якої не змінює достатні умови існування мінімуму потенційної енергії, але змінює необхідну умову рівноваги, використовують для досягнення цієї мети. Варіюючи масою підвісу, можна змістити точку нуля сили в область стійкості.

2.3 Потенційна енергія модельованих систем

Потенційна енергія двох диполів має вид:

, (17)

. (18)

Потенційну енергію системи, що складається з надпровідного кільця і постійного магніту. Параметри такої системи відповідно мають вид:

;

;;; ; ;

.

Після підстановки маємо:

(19)

Через те, що величина є константою (тобто не залежить від механічних координат ), потенційну енергію в даному випадку можна записати у виді:

, (20)

дорівнює нулю, якщо задовольняє рівнянню

; (21)

через те, що при великих відстанях між елементами прагне до нуля, то за умови, що , рівняння завжди має рішення. Така поведінка потенційної енергії означає, що в даній системі має місце ефект МПЯ Козоріза, тобто в разі зміни відстані між елементами маємо мінімум потенційної енергії як функції . У загальному випадку рівняння задає поверхню в просторі узагальнених механічних координат, тому істинна МПЯ в системі з двох елементів не спостерігається.

Розглянемо окремий випадок такої системи, коли надпровідний контур є тонким кільцем, а постійний магніт моделюється диполем. У цьому випадку за формулою (3.32) маємо

, (22)

де - магнітне поле кільця зі струмом одиничної величини.

В циліндричній системі координат компоненти мають вид [34, c.164-165]:

де - радіус кільця зі струмом;

і - повні еліптичні інтеграли I і II роду модуля .

Тому маємо

, (23)

де , а і - кути, які описують напрямок у сферичній системі координат.

Потенційній енергії системи двох надпровідних контурів у формулі відповідають наступні параметри:

;

, причому ; ; ; ,

де .

Після підстановки параметрів у формулу потенційна енергія системи має вид:

. (24)

Виявляється, що при певних співвідношеннях між індуктивностями і потоками , як і у випадку надпровідного кільця і магніту, є мінімум за відстанню. Саме на основі дослідження цього вираження Козоріз сформулював ефект МПЯ. Як і в попередньому випадку, є поверхня мінімуму, а не точка.

2.4 Результати чисельних експериментів

Характерні результати чисельних експериментів по знаходженню областей стійкості представлено на рис.3.4 за різних значень параметрів і .

Рисунок 2.2 - Залежність області стійкості від д

Рисунок 2.3 - Залежність області стійкості від д

На рисунку 2.2 та 2.3 побудовано криві 1-3 за значень , і , відповідно.

Рисунок 2.4 - Залежність області стійкості від p

Рисунок 2.5 - Залежність області стійкості від p

На рисинку 2.4 та 2.5 побудовано криві 1-3 за значень , і , відповідно.

Аналіз результатів чисельного дослідження показує, що в розглянутій системі є можливою магнітна левітація у вигляді підвісу. Величину області стійкості визначають двома безрозмірними параметрами системи і . Характер залежності величини області стійкості від зміни параметра показано на рисунку 2.2, а вплив параметра на величину області стійкості - на рисунку 2.3.

Висновок: найбільша область стійкості спостерігається для параметра

3. Розробка алгоритму розв'язання задачі

3.1 Математична постановка задачі

Призначенням задачі є моделювання зон стійкості магнітного підвісу.

Дано:

- власні індуктивності надпровідних кілець - ;

- магнітні потоки - ;

- координати кільця у 3-х вимірному просторі - x, y, z;

- кут між нормалями кільць - и

- кут повороту площини нормалі кілець по відношенню до вибраного початку - ц.

Додаткові дані дані:

- безрозмірна величина - д;

- безрозмірна величина - p;

Вихідні дані: графік зон стійкості магнітного підвісу LDX в якіх він працює нормально та енергоресурси на його утримання є мінімальними.

3.2 Вибір методів розв'язання

3.2.1 Метод скінчених елементів

Метод скінчених елементів (МСЕ) -- числова техніка знаходження розв'язків інтегральних та диференціальних рівнянь у частинних похідних (ДРЧП). Процес розв'язання побудований або на повному усуненні диференціального рівняння для стаціонарних задач, або на розкладі ДРЧП в апроксимуючу систему звичайних диференціальних рівнянь, які потім розв'язуються використанням якої-небудь стандартної техніки, такої як метод Ейлера, Рунге-Кутти тощо.

При розв'язанні часткових диференціальних рівнянь головною метою є створення рівності, що апроксимує досліджувану рівність, і є числово стабільною, тобто помилки у вхідних даних і проміжних обчисленнях не акумулюються і не спричиняють беззмістовних результатів. Для реалізації цього є багато способів, кожен зі своїми плюсами і мінусами. Метод скінчених елементів є добрим вибором при розв'язуванні ДРЧП, які описують складні середовища (такі як машини, чи нафтогони); при змінності цих середовищ; коли бажана точність змінюється у різних ділянках середовища; чи коли розв'язку не вистачає гладкості. Наприклад, при моделювання фронтального розбиття машини є можливість збільшити точність моделювання у важливіших зонах, таких, як передня частина машини, і зменшити її при обрахунку того, що відбудеться із задньою частиною машини (тим самим зменшивши ресурсоємність моделювання). Іншим прикладом може служити моделювання погоди на Землі, при якому важливішою є погода над сушею, ніж над безкраїми морськими просторами.

Метод скінченних елементів (МСЕ) виник з потребою розв'язування складних задач еластичності та структурного аналізу в цивільній, морській та авіаінженерії. Його розвиток можна відслідкувати ще в роботах Олександра Хренікова (1941) та Річарда Куранта (1942). При тому, що бачення двох науковців були неймовірно різними, вони усе ж таки сходились на найважливішому: розподілення великої неперервної області на менші домени, які як правило називаються елементами.

У своїй роботі Хреніков розподіляв домен, використовуючи принцип решітки. В той самий час Курант розділяв область на скінченну кількість трикутних підобластей, які відповідають розв'язкам еліптичних ДРЧП другого порядку, які постають від проблеми скручення циліндра. Внесок Куранта був еволюційним, тобто спирався на великий багаж знань про такі ДРЧП, який накопичили Рейліг, Рітц та Гальоркін.

Розвиток методу скінченних елементів почався в середині 1950-х років для потреб аеротруби та структурного аналізу і дістав свого найбільшого розвитку в Штутгартському університеті в роботі Джона Аргеріса та в університеті Берклі, а точніше в роботі Рея В. Клафа в 1960-х для використання у цивільній інженерії. До кінця 1950-х ключові концепції матриці жорсткості та збір елементів вже існували практично в таких само формах, в яких вони застосовуються і зараз. В 1965 році на замовлення НАСА була написана програма НАСТРАН, як програмне забезпечення побудоване для реалізації МСЕ. Сам метод був строго доведений в 1973 році в публікації Стренга та Фікса -- «Аналіз методу скінченних елементів», і з того часу був узагальнений в окрему галузь прикладної математики та математичного моделювання фізичних систем в великій кількості інженерних дисциплін, таких як електромагнетизм чи рідинна динаміка.

Метод скінченних елементів, зазвичай на стадії дизайну та розробки продуктів, використовує багато дисциплін здебільшого з сім'ї механічної інженерії (таких як аеро-, морська, біометрична та автомобільна індустрії). Декілька сучасних МСЕ-пакетів включають спеціальні елементи, такі як термальні, електромагнітні, рідинні та структурні робочі середовища. В структурному моделюванні МСЕ дуже допомагає у генерації жорсткісних і силових візуалізацій у місцях зсувів та згинів, та відображання розповсюдження сил та зміщень.

МСЕ-програми забезпечують широкий спектр моделювальних можливостей контролю складності і модельовальної і аналітичної систем. За потреби в більшості інженерних програм можна змінювати бажаний рівень точності, час, потрібний для необхідних та асоційованих обчислень.

МСЕ дозволяє проектувати, відлагоджувати та оптимізовувати продукцію перед її випуском. Цей могутній засіб проектування відчутно покращив стандарти інженерних проектів та методологію цього процесу у багатьох сферах. Використання МСЕ зменшило час, за який продукт проходив від концепції до конвеєра. Його головною ідеєю було покращення початкових прототипів використовуючи МСЕ, що сприяло прискоренню їхнього тестування та розробки. В цілому, перевагами МСЕ є збільшення точності, покращення дизайну і краще бачення його критичних параметрів, створення віртуальних прототипів, зменшення кількості реальних прототипів, пришвидшення та здешевлення проектування, збільшення продуктивності та прибутковості.

Найважливішими перевагами методу скінченних елементів є:

- властивості матеріалів суміжних елементів можуть бути різними, це дозволяє застосовувати метод до тіл, складених з декількох матеріалів;

- скінченними елементами є прості області (прямі лінії, трикутники, прямокутники, піраміди, призми), таким чином, даним методом можна апроксимувати тіла із складною формою країв;

- розміри елементів можуть бути змінними, це дозволяє збільшувати чи зменшувати елементи сітки;

- за допомогою МСЕ легко розглянути граничні умови з розривним поверхневим навантаженням, а також змішані граничні умови;

- алгоритм методу скінченних елементів дозволяє створити загальні програми для розв'язку завдань різного класу;

- завдання зводиться до розв'язку системи рівнянь алгебри великої розмірності, проте хороша обумовленість системи розв'язних рівнянь алгебри дозволяє отримувати досить точні розв'язки для систем рівнянь розмірністю 5-10 мільйонів і більше;

3.2.2 Метод скінчених різниць у часовій області

Метод скінчених різниць у часовій області (англ. Finite Difference Time Domain, FDTD) -- один з найпопулярніших методів числової електродинаміки, який базується на дискретизації рівнянь Максвелла, записаних у диференціальній формі.

FDTD відноситься до загального класу сіткових методів розв'язку диференціальних рівнянь. Базовий алгоритм методу був впереше запропонований Кейном Йі (Каліфорнійський університет) в 1966 р. в статті «Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media» журналу «IEEE Transactions on Antennas and Propagation»[1]. однак, назва «Finite-difference time-domain» та абревіатура FDTD були дані методу Аленом Тафловим (Північно-західний університет, штат Іллійнойс).

В первісному вузькому сенсі під FDTD малось на увазі використання базового алгоритму Йі для числового розв'язку рівнянь Максвела. В сучасному більш широкому сенсі FDTD включає в себе безліч найрізноманітніших можливостей: моделювання середовищ з дисперсійними і нелінійними властивостями, застосування різних типів сіток (окрім, первинно запропонованої прямокутної сітки Йі), використання методів постпроцесорної обробки результатів і т.д.

Приблизно з 1990 р. метод скінченних різниць став основним для моделювання найрзноманітніших оптичних застосунків. Він можу з успіхом бути затсосованим для розв'язку широкого спектру задач: від моделювання наддовгих електромагнітних хвиль в геофізиці (включно з процесами в іоносфера) та мікрохвиль (наприклад, для вивчення сигнатурної радіолокації, розрахунку характеристик антен, розробки безпровідних пристроїв зв'язку, в тому числі цифрових) до розв'язку задач в оптичному діапазоні. До 2006 р. кількість публікацій, присвячених FDTD, досягло двох тисяч.

На даний момент існує близько 30 комерціних програм FDTD, а також проекти з відкритим вихідним кодом.

В рівняннях Максвела зміна електричного поля E (часткова похідна) залежить від розподілу в просторі магнітного поля H (ротор). Аналогічно, зміна поля H залежить від розподілу в просторі поля E.

Рисунок 3.1 - Напрями магнітних потоків

Поля в комірці сітки FDTD. Такі комірки становлять просторову тривимірну сітку Йі.

На цьому спостереженні базується алгоритм Йі. Сітки полів E та H по відношенню один до одного на половину кроку дискретизації часу і по кожній з просторових змінних. Кінцево-різницеві рівняння дозволяють визначити поля E та H на даному часовому кроці на основі відомих значень полів на попередньому.

При заданих початкових умовах алгритм Йі дає еволюційний розв'язок в часі від початку відліку зі заданим часовим кроком.

Аналогічна сітка використовується при розв'язку задач гідродинаміки (для тиску і поля швидкості)

Як в будь-якому іншому різницевому методі, в FDTD існує проблема неточного відображення границі тіла на обчислювальну сітку. Будь-яка крива поверхня, яка розділяє з'єднані середовища і геометрично неузгоджені з сіткою, буде спотворюватись ефектом "ступінчастого наближення". Для розширення даної проблеми можна використовувати додаткову сітку з великим з великим розширенням в тих областях простору, де розташовані тіла зі складною геометричною струтурою[2]. Також можна видозмінювати різницеві рівняння у вузлах сітки, які знаходяться поблизу границі між сусідніми тілами[3]. Менш затратним методом є введення ефективної діелектричної проникності поблизу границі між тілами(subpixel smoothing) [4][5].

Чисельна схема FDTD не передбачає можливості табличного задання залежності діелектричної проникності від частоти. Однак, її можна представити у вигляді апроксимації членами Дебая, Друде, Лоренца чи Лоренца з поглинанням. Така апроксимація не обов"язково має фізичний зміст, і може бути отримана чисельно, наприклад за допомогою, програми[6].

Як і будь-який інший чисельний метод, FDTD має свої переваги і недоліки.

Переваги:

- FDTD - це простий і інтуїтивно зрозумілий метод;

- оскільки FDTD працює в тимчасовій області, він дозволяє отримати результат для широкого діапазону довжин хвиль за один розрахунок, це може бути корисно при вирішенні завдань, в яких невідомі резонансні частоти або в разі моделювання широкосмугових сигналів;

- FDTD дозволяє створювати анімовані зображення поширення хвилі в моделюючому об'ємі;

- FDTD зручний при описі анізотропних, дисперсних і нелінійних середовищ;

- Метод дозволяє безпосередньо моделювати крайові ефекти і ефекти екранування, причому поля всередині і поза екраном можуть бути розраховані як напряму, так і ні;

Недоліки:

- величина кроку дискретизації по простору повинна бути значно менше досліджуваних довжин хвиль і типових розмірів досліджуваної структури, у деяких випадках (інверсні опали з маленькими перегородками між кульками) це може потребувати сіток з маленьким кроком, що означає великі витрати пам'яті і великий час розрахунку;

3.2.3 Метод моментів

Метод моделювання MoM (часто званий "Планарним 3D" методом) - один з найбільш складних, оскільки вимагає ретельного розрахунку функцій Гріна [2].

Головним практичним перевагою цього методу є те, що доводиться дискретізіровать (розбивати на осередки) тільки металеві з'єднання моделюється структури, так як в якості невідомої величини виступає розподіл струму на металевих поверхнях (в інших методах головні - зазвичай електричні / магнітні поля, присутні у всіх місцях простору рішень). В результаті "планарная" сітка MoM виявляється значно простіше і менше, ніж еквівалентна "об'ємна" сітка, необхідна для моделювання із застосуванням методів FEM і FDTD. Сітка виходить однорідною (осередки сітки створюються тільки на металевих з'єднаннях) і складається зазвичай з прямокутних, трикутніх або квадратних осередків.

Зменшене число осередків сітки підвищує ефективність моделювання. Тому MoM добре підходить для аналізу складних (багатошарових) структур. Ще одна його перевага в тому, що він використовує лише одну матрицю для всіх вхідних портів. Іншими словами, моделювання схем з великим числом портів не вимагає істотно більшого часу.

Але у методу MoM є і недоліки. Він не підходить для довільних тривимірних структур.

Моделюються структури повинні бути "планарними "по своїй суті і утворювати многослойову структуру (розташовану в площині x-y) або бути планарнимі об'єктами, розташованими в площині x-y, але витягнутими по вертикалі (уздовж осі z) через кілька накладених один на одного шарів. Для багатьох ВЧ / НВЧ-пристроїв це обмеження не грає особливої ??ролі, оскільки вони часто мають саме планарную структуру. Уявіть собі багатошарову друковану плату або монолітну СВЧ ІС, яка зазвичай складається з накладених один на одного шарів (діелектричних верств підкладки) і сполучних провідників (металевих доріжок). Ці сполучні провідники прокладені в площині x-y в різних місцях підкладки, а перехідні отвори між металевими шарами можна вважати плоскими об'єктами (в поперечному перерізі), що проходять вертикально через кілька шарів підкладки.

Типовим застосуванням методу MoM може бути отримання детальної Багатопортовий моделі S-параметрів, що представляє всі з'єднання друкованої плати. Наприклад, порівняно просту топологію (рис.5) можна охартеризувати за допомогою методу MoM і застосувати напівскіеченную модель S-параметрів в поєднанні з моделлю, що представляє дискретні компоненти, для моделювання всієї друкованої плати.

3.2.4 Порівняння методів

Щоб оцінити придатність того чи іншого методу ЕМ-аналізу, потрібно взяти до уваги множину факторів. Звичайно, деякі з них виходять за рамки простого порівняння алгоритмів і можуть включати інші показники, що визначають ефективність процесу проектування.

Наскільки просто створюється геометрична Модель?

- наскільки просто середовище ЕМ-моделювання сполучаеться із засобами схемотехнічного моделювання;

- чи потрібно бути експертом в області ЕМ-моделювання, щоб скористатися цими засобами ?

Зосередимося на деяких ключових факторах, які потрібно враховувати при виборі методу моделювання (MoM, FEM або FDTD), найкращим чином підходить для конконкретного додатка.

По-перше, треба вирішити, чи можна вважати геометрію "планарной" за своєю природою або вона істинно "Об'ємна". Для "планарних" структур краще всього підходить метод MoM, і тому саме його рекомендується використовувати для аналізу друкованих плат, пасивних елементів і з'єднань ІС і планарних антен. Для істинно "Об'ємних" структур, таких як перехідні з'єднань (коаксіальна лінія, коаксіальна лінія-хвилевід і т.п.), корпуса, об'ємні резонатори, хвильоводи або об'ємні антени, більше підходять методи FEM або FDTD. Інший важливий фактор, який потрібно враховувати, тип амплітудно-частотної характеристики досліджуваної ланцюга. Методи MoM і FEM добре працюють в частотній області, що робить їх більш придатними, ніж метод FDTD, для аналізу ланцюгів з великою добротністю. Приклади ланцюгів, що потрапляють в цю категорію, можуть включати фільтри, об'ємні резонатори, генератори і т.п. З іншого боку, метод FDTD добре працює в тимчасовій області, а це значить, що його зручно застосовувати для рефлектометрии у тимчасової області (Time Domain Reflectometry - TDR) на роз'ємах і перехідних з'єднаннях. У разі істинно "об'ємної" геометрії потрібно також враховувати складність схеми (розмір сітки і число портів). Метод FEM найбільш ефективний для моделювання схем з великим числом портів. Як приклад таких структур можна привести корпусу ІС і багатокристальні модулі. З іншого боку, якщо геометрія містить лише невелике число портів, то найбільш ефективним з точки зору використання пам'яті буде метод FDTD. Додатки, які підходять для застосування методу FDTD, включають аналіз стану антен на автомобілях і повітряних судах, а також дослідження характеристик антен в безпосередній близькості від людського тіла.

Отже, показано, що з ростом ступеня інтеграції і зменшенням розмірів корпусів ІС застосування замкнутих аналітичних моделей окремих модулів не завжди забезпечує достатню ефективність моделювання. Практичний підхід до рішення цієї проблеми полягає в застосуванні ЕМ-моделювання. Сьогодні не існує універсальная методу розрахунку ЕМ-полів, придатного "На всі випадки життя", однак знання особливостей різних методів допоможе вибрати з них найкращий для вирішення конкретного завдання.

3.3 Математичне моделювання

Математичне моделювання (рос. моделирование математическое; англ. mathematical simulation, нім. mathematische Modellierung f) -- метод дослідження процесів або явищ шляхом створення їхніх математичних моделей і дослідження цих моделей.[15]

Модель (від лат. modulus - міра, зразок, норма) - це об'єкт-замінник, створений з метою відтворення при певних умовах суттєвих властивостей об'єкта-оригіналу. Модель може бути представлена фізичним об'єктом, подібним до оригіналу, або описом об'єкта у вигляді математичних формул, тексту, комп'ютерної програми.

Метою моделювання є здобуття, обробка, представлення і використання інформації про об'єкти, які взаємодіють між собою і зовнішнім середовищем; а модель тут виступає як засіб пізнання властивостей і закономірностей поведінки об'єкту. Основним призначенням моделі в задачах управління є прогноз реакції об'єкту на керуючі впливи. Крім того, моделі використовуються для дослідження об'єкта, аналізу його чутливості.

Основні властивості моделей:

- цілеспрямованість;

- скінченність;

- спрощеність;

- повнота;

- адекватність.

Цілеспрямованість моделі полягає в тому, що вона завжди будується з певною метою. Ця мета має вплив на те, які властивості об'єктивного явища вважаються істотними, а які - ні. Модель є, як би мовити, проекцією об'єктивної реальності під певним кутом зору. Наприклад, моделі вищого навчального закладу як інформаційної, фінансової, енергетичної та соціальної системи будуть зовсім різними. Інколи, залежно від мети, можна отримати ряд проекцій об'єктивної реальності, що вступають у протиріччя. Це характерно, як правило, для складних систем, в яких кожна проекція виділяє суттєве для певної мети з безлічі несуттєвого. Задача моделювання полягає в тому, що для заданого об'єкта потрібно підібрати такий опис, який у повній мірі відображав би оригінал з точки зору заданої мети моделювання.[16]

Скінченність моделі визначає те, що модель відтворює лише скінчену кількість властивостей та відношень, і через це модель завжди є більш простою, ніж оригінал.

Повнота моделі полягає в тому, що вона має відображати всі істотні з точки зору мети моделювання властивості оригіналу.

Необхідною умовою для переходу від дослідження об'єкта до дослідження моделі і подальшого перенесення результатів на об'єкт дослідження - вимога адекватності моделі і об'єкта. Адекватність - це відтворення моделлю з необхідною повнотою всіх властивостей об'єкта, важливих для цілей даного дослідження Це, мабуть, найголовніша властивість моделі, яка визначає можливість її використання. Оскільки будь-яка модель простіша за оригінал, ніколи не можна говорити про абсолютну адекватність, при якій модель за всіма характеристиками відповідає оригіналу. Модель називається ізоморфною (однаковою по формі), якщо між нею і реальною системою існує повна поелементна відповідність, і гомеоморфною, якщо існує відповідність лише між найбільш значними складовими частинами об'єкту і моделі.[17]

Моделювання (Modeling) включає створення, дослідження та використання моделей об'єктів. Методи моделювання широко використовуються в різних сферах людської діяльності, особливо в сферах проектування і управління, де основними є процеси ухвалення ефективних рішень на основі інформації, що отримується. Метою моделювання є здобуття, обробка, представлення і використання інформації про об'єкти, які взаємодіють між собою і зовнішнім середовищем; а модель тут виступає як засіб пізнання властивостей і закономірностей поведінки об'єкту.

Теорія моделювання є розділом науки, що вивчає способи дослідження властивостей об'єктів (оригіналів) на основі заміщення їх іншими об'єктами (моделями). Вирізняють натурні, фізичні, мовні та математичні моделі.

Зупинимося на одному з найбільш універсальних видів моделювання - математичному, що ставить у відповідність модельованому фізичному процесу систему математичних співвідношень, вирішення якої дозволяє отримати відповідь на питання про поведінку об'єкту без створення фізичної моделі, яка часто є дорогою і малоефективною. Отже, математичною моделлю називається сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, об'єкту або системі.

На підставі різних критеріїв класифікації, виділяють наступні види моделей:

- динамічні або статичні;

- детерміновані або стохастичні;

- неперервні, дискретні або дискретно-неперервні;

- лінійні чи нелінійні;

- з розподіленими або зосередженими параметрами;

- аналітичні, імітаційні чи комп'ютерні.

Динамічні моделі (dynamic models) відтворюють поведінку нестаціонарних об'єктів, що змінюються у часі. Статичні моделі описують стан об'єкта у деякий момент часу. Такі моделі розробляються для стаціонарних об'єктів, зміни яких у часі не є істотними стосовно періоду розробки та використання моделі.

Детерміновані моделі (deterministic models) використовують для опису процесів, що не містять істотної випадковості. Наприклад, поведінку більшості технічних систем можна охарактеризувати за допомогою так званих фазових змінних - фізичних величин типу потоку і потенціалу. При цьому доцільно виділити в об'єктах моделювання досить великі елементи, що розглядаються як неділимі одиниці. Закони функціонування елементів системи задаються компонентними рівняннями, що зв'язують різнорідні фазові змінні. Загальність опису процесів, що відбуваються в різних технічних системах, дозволяє виділити декілька типів елементів: R - елемент розсіювання енергії; С і L - елементи накопичення енергії. Поєднанням цих простих елементів і джерел фазових змінних отримують еквівалентну схему технічної системи будь-якої складності і її математичну модель. Конкретний зміст фазових змінних і простих елементів фізичних систем наведений на рисунку 1.[18-20]



Рисунок 3.2 - Зміст фазових змінних і простих елементів фізичних систем

Для моделювання нестаціонарних імовірнісних процесів використовують стохастичні моделі (stochastic models). Якщо об'єкт моделювання стаціонарний і піддається випадковим впливам, то модель називають статистичною. Наприклад, для моделювання функцій перетворення вимірювальних пристроїв досить скористатися детермінованим способом опису, тоді як для аналізу похибок, оцінки інформаційних характеристик необхідно застосувати ймовірнісно-статистичні методи.

Неперервні моделі (continuous model) представляють системи з неперервними процесами, а дискретні моделі відображають поведінку систем з дискретними станами. Дискретно-неперевні моделі використовуються, коли на об'єкті виділяються обидва типи процесів.

Якщо при описі моделі використовуються лише лінійні математичні конструкції (наприклад, лінійні алгебраїчні рівняння), то модель називають лінійною, інакше - нелінійною.

Моделі з розподіленими параметрами (models with distributed parameters) описують просторове поширення явищ, а моделі з зосередженими параметрами нехтують просторовою складовою. Динамічні неперервні детерміновані моделі з розподіленими параметрами використовують апарат диференціальних рівнянь у частинних похідних, а з зосередженими параметрами - звичайних диференціальних рівнянь.

Для аналітичних моделей (analytical models) властиво те, що процеси функціонування об'єкта представляються у вигляді аналітичних математичних залежностей: алгебраїчних, диференціальних, інтегральних рівнянь або їх систем, логічних умов. Наприклад, закон Ома чи рівняння Максвелла. Дослідження аналітичних моделей можливе за допомогою методів:

- аналітичних;

- чисельних;

- якісних.

Аналітичні методи полягають у пошуку явних залежностей між характеристиками. Однак такі залежності можливо отримати лише для невеликої кількості простих моделей, як правило, лінійних. Інколи виконують спрощення моделей для отримання можливості вивчити хоча б загальні властивості об'єкта.[21]

Чисельні методи (numerical methods) дозволяють отримати розв'язок аналітичних моделей, для котрих застосування аналітичних методів неможливо або недоцільно. Розв'язок чисельними методами здійснюється для конкретних вихідних даних і має додаткову похибку. Детальніше питання похибок чисельних методів розглядається у підрозділі1.5.

Якісні методи дозволяють зробити певні висновки по моделі, не маючи розв'язку у явному вигляді. Наприклад, такі методи використовуються у теорії автоматичного управління для оцінки ефективності різних варіантів систем управління.

Імітаційне моделювання (simulation) передбачає представлення моделі у вигляді алгоритму та комп'ютерної програми, яка дозволяє відтворити поведінку об'єкту. Імітаційні моделі розглядаються як експерименти, що проводяться на комп'ютерах, з математичними моделями, що імітують поведінку реальних об'єктів. При цьому імітуються елементарні явища, що складають процес, зі збереженням їх логічної структури та послідовності у часі, що дозволяє отримати відомості про стан системи у певний момент часу та оцінити характеристики системи. Імітаційні моделі дозволяють вирішувати більш складні задачі, ніж аналітичні. Наприклад, вони дозволяють досить легко враховувати вплив випадкових факторів.[22]

Традиційно під моделюванням на ЕОМ розумілося лише імітаційне моделювання. Але завдяки розвитку графічного інтерфейсу та графічних пакетів значного поширення набуло комп'ютерне структурно-функціональне моделювання, а також розпочалося використання комп'ютера з метою концептуального моделювання, наприклад для побудови систем штучного інтелекту.

Під комп'ютерною моделлю (computer model) найчастіше розуміють:

- умовний образ об'єкта чи деякої системи об'єктів (або процесів), описаних за допомогою взаємозалежних комп'ютерних таблиць, схем, діаграм, графіків, малюнків, анімаційних фрагментів, гіпертекстів і т. ін., що відбивають структуру та взаємозв'язки між елементами об'єкта чи системи. Комп'ютерні моделі такого типу називають структурно-функціональними;

Окрему програму, сукупність програм чи програмний комплекс, що дає змогу виконанням послідовності обчислень з подальшим графічним відображенням їх результатів відтворювати (імітувати) процеси функціонування об'єкта (системи об'єктів), що функціонує під впливом різних, як правило випадкових, факторів (імітаційну модель).

Інколи застосовується комбіноване (аналітико-імітаційне) моделювання, яке полягає в тому, що об'єкт декомпозується на окремі підсистеми. Для тих підсистем, для яких це можливе, використовуються аналітичні моделі, а для інших розробляються імітаційні моделі.

Розробка моделей поєднує в собі науку і мистецтво. На жаль, немає чіткого формального алгоритму, який би дозволив побудувати модель для будь-якого об'єкту. Тому далі розглядаються лише певні методичні рекомендації щодо розробки моделей.

Математичне моделювання можна розглядати як засіб вивчення реальної системи шляхом її заміни зручнішою для експериментального дослідження системою (моделлю), що зберігає істотні риси оригінала. При моделюванні здійснюється апроксимація функції опису більш простою і зручною для практичного аналізу функцією - моделлю.

Математичні моделі, особливо ті, що використовують чисельні методи, потребують для свого створення значних інтелектуальних, фінансових та часових затрат. Тому рішення про створення нової моделі приймається лише в разі відсутності більш простих шляхів вирішення поставленої проблеми (наприклад, модифікації однієї з існуючих моделей).

Дослідження об'єкту моделювання і складання його математичного опису полягають у встановленні зв'язків між характеристиками процесу, виявленні його граничних і початкових умов та формалізації процесу у вигляді системи математичних співвідношень.[23]

Процес побудови будь-якої математичної моделі можна представити послідовністю етапів, зображених на рис. 3.3.

Рисунок 3.3 - Послідовність етапів побудови математичної моделі

На етапі дослідження об'єкта моделювання потрібно виконати наступні дії:

- аналіз взаємодії об'єкта з зовнішнім середовищем, виділення характеристик вхідних впливів та реакції об'єкту, класифікація їх на вимірні та невимірні, керуючі та перешкоди;

- проведення декомпозиції та дослідження внутрішньої структури об'єкту;

- дослідження порядку функціонування об'єкту, виявлення зв'язку між входом та виходом, формування множини станів об'єкту;

- збір та перевірка існуючих експериментальних даних про об'єкти-аналоги, проведення, при необхідності, додаткових експериментів;

- класифікація об'єкта моделювання на стаціонарний чи нестаціонарний, визначення міри впливу випадкових факторів на об'єкт та порядку нелінійності зв'язків між характеристиками об'єкту;

- аналітичний огляд літературних джерел, аналіз та порівняння побудованих раніше моделей подібних об'єктів;

- аналіз та узагальнення всього накопиченого матеріалу, розроблення загального плану створення математичної моделі.

В деяких випадках дослідження внутрішньої будови та порядку функціонування об'єкта моделювання неможливе або економічно недоцільне. Тому можливо розглядати об'єкт як „чорний ящик”, стосовно якого нам відомі лише його входи та виходи.

На підставі аналізу об'єкту моделювання формується змістовна постановка моделювання, в якій мають бути зазначені:

- мета моделювання;

- тип моделі;

- вимоги до адекватності моделі та якості розв'язку.

Тип моделі має відповідати результатам класифікації об'єкта моделювання, інакше модель навряд чи буде адекватною.

Весь накопичений в результаті дослідження матеріал, змістовна постановка задачі моделювання, додаткові вимоги до реалізації моделі, оформлюються у вигляді технічного завдання на проектування та розробку моделі.

Концептуальна постановка задачі моделювання - це сформульований в термінах конкретних дисциплін (фізики, хімії, біології тощо) список основних питань, а також сукупність гіпотез відносно особливостей та поведінки об'єкта моделювання. Розробник моделі на підставі результатів аналізу об'єкта моделювання формує своє бачення стосовно процесів на об'єкті і формулює його на природній мові в термінах предметної області. При цьому з метою спрощення моделі він приймає низку припущень та обмежень. Припущення можуть містити нехтування певними процесами або зміну характеру їх протікання. Концептуальна модель має пройти погодження з експертами по даній предметній області з метою перевірки на адекватність. Адекватність концептуальної моделі визначає адекватність математичної моделі, яка формується на її основі[24].

Математична постановка задачі моделювання - це сукупність математичних співвідношень, які описують поведінку та характеристики об'єкта моделювання. Необхідно формалізувати змінні моделі та зв'язки між ними. Математичний опис моделі складається на основі законів фізики, хімії тощо, які характеризують динаміку і статику процесів в досліджуваному об'єкті, і виражається на мові будь-яких розділів математики. Найбільше поширення при побудові детермінованих моделей набули алгебраїчні рівняння та системи, звичайні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння в частинних похідних, матрична алгебра, а при стохастичному моделюванні і методи теорії імовірності, математичної статистики та теорії випадкових процесів. Якщо апріорні відомості про об'єкт недостатні, вигляд математичних моделей уточнюється за допомогою методів багатовимірної статистики: регресійного, кореляційного, багатофакторного і інших аналізів, а також проведення пасивного або планування активного експериментів. Для більшості складних об'єктів структура моделі містить параметри, які відображають особливості конкретних об'єктів. Пошук значень цих параметрів відбувається за допомогою методів параметричної ідентифікації на основі проведення пасивного або активного експериментів.

Поняття коректності задачі має важливе значення в процесі моделювання. Адже, наприклад, чисельні методи розв'язку задач доцільно застосовувати лише до коректно поставлених задач. При цьому, не всі практичні задачі можна вважати коректними. Математична модель є коректною, якщо для неї отримано позитивний результат по всіх контрольних перевірках: розмірності, порядку, характеру залежностей, граничних умов, фізичного сенсу тощо.

Для математичної моделі обирається один з методів розв'язку, який дозволяє при заданих значеннях вхідних змінних отримати значення вихідних змінних. Вибір методу обгрунтовується на підставі властивостей моделі, даних про точність вимірювання значень змінних, вимог до точності та швидкості отримання розв'язку[25]

4. Опис програмного забезпечення системи

4.1 Засоби розробки

При створенні програмного продукту були використані такі засоби для програмування на мові C#, як Microsoft Visual Studio 2015 Enterprise Edition з розширеннями ASP.NET MVC 4, Entity Framework 6, а також база даних Microsoft SQL. Також на клієнтській стороні (веб-браузер) використовується мова програмування JQuery для динаміки веб-сторінки.

C# проста у використанні, та водночас повноцінна мова програмування, що надає багато засобів для структурування і підтримки великих програм та рішень. Вона краще за С/С++ обробляє помилки, і, будучи мовою високого рівня, має вбудовані типи даних високого рівня, такі як гнучкі масиви, списки і словники, ефективна реалізація яких на C/С++ потребує значних витрат часу. Також для розширення функціональності можна використовувати готові бібліотеки, які отримуються напряму у середу розробки через вбудований у Visual Studio 2015 менеджер пакетів NuGet Package Manager.

C# дозволяє розбивати програми на модулі, що потім можуть бути використані в інших програмах. C# поставляється з великою бібліотекою стандартних модулів, які можна використовувати як основу для нових програм або як приклади при вивченні мови. Стандартні модулі надають засоби для роботи з файлами, системними викликами, мережними з'єднаннями і навіть інтерфейсами до різних графічних бібліотек.

C# - інтерпретована мова, що дозволяє заощадити значну кількість часу, що зазвичай витрачається на компіляцію. Інтерпретатор можна використовувати інтерактивно, що дозволяє експериментувати з можливостями мови. Він також зручний як настільний калькулятор. C# дозволяє писати зручні для читання програми. Програми, написані мовою C#, звичайно значно коротші еквівалента на C або C++ з декількох причин:

– типи даних високого рівня дозволять Вам виразити складні операції однією інструкцією;

– наявність новіших методів;

– широкий вибір методів

Синтаксис C# близький до С++ і Java. Мова має строгу статичну типізацію, підтримує поліморфізм, перевантаження операторів, вказівники на функції-члени класів, атрибути, події, властивості, винятки, коментарі у форматі XML. Перейнявши багато що від своїх попередників -- мов С++, Delphi, Модула і Smalltalk -- С#, спираючись на практику їхньоговикористання, виключає деякі моделі, що зарекомендували себе як проблематичні при розробці програмних систем, наприклад множинне спадкування класів (на відміну від C++) [5].

Windows Forms - це технологія інтелектуальних клієнтів для.NET Framework. Вона являє собою набір керованих бібліотек, що спрощують виконання стандартних завдань, таких як читання з файлової системи і запис в неї. При використанні середовища розробки, як Visual Studio, можна створювати інтелектуальні клієнтські програми Windows Forms, які відображають відомості, запитують введення від користувачів і обмінюються даними з віддаленими комп'ютерами по мережі.

У Windows Forms форма - це візуальна поверхню, на якій виводиться інформація для користувача. Зазвичай додаток Windows Forms будується шляхом приміщення елементів управління на форму і написання коду для реагування на дії користувача, такі як клацання миші або натискання клавіш. Елемент управління - це окремий елемент призначеного для користувача інтерфейсу, призначений для відображення або введення даних.

При виконанні користувачем якої-небудь дії з формою або одним з її елементів управління створюється подія. Додаток реагує на ці події за допомогою коду і обробляє події при їх виникненні. Детальніше див. У розділі Створення обробників подій в Windows Forms.

Windows Forms включає широкий набір елементів управління, які можна додавати на форми: текстові поля, кнопки, списки, що розкриваються, перемикачі та навіть веб-сторінки. Список всіх елементів управління, які можна використовувати в формі, представлені в розділі Елементи керування для використання в формах Windows Forms. Якщо існуючий елемент управління не задовольняє потребам, в Windows Forms можна створювати власні елементи управління за допомогою класу UserControl.

До складу Windows Forms входять багатофункціональні елементи призначеного для користувача інтерфейсу, що дозволяють відтворювати можливості таких складних додатків, як Microsoft Office. Використовуючи елементи управління ToolStrip і MenuStrip, можна створювати панелі інструментів і меню, що містять текст і малюнки, підміню і інші елементи управління, такі як текстові поля і поля зі списками.

За допомогою Visual Studio і перетягніть конструкторі Windows Forms можна легко створювати додатки Windows Forms. Досить виділити елемент керування курсором і помістити його в потрібне місце на формі. Для подолання труднощів, пов'язаних з вирівнюванням елементів управління, конструктор надає такі кошти, як лінії сітки і лінії прив'язки. За допомогою Visual Studio або компіляції з командного рядка, можна використовувати FlowLayoutPanel, TableLayoutPanel і SplitContainer елементи управління для створення складних макетів форм за менший час.

Нарешті, якщо потрібно створити свої власні елементи призначеного для користувача інтерфейсу, простір імен System.Drawing містить широкий набір класів, необхідних для відтворення ліній, кіл та інших фігур безпосередньо на формі.

4.2 Вимоги до технічного забезпечення

Структура технічних засобів визначається виходячи із можливості їх забезпечити виконання встановлених операцій процесу технічного обслуговування, можливості інтегрування до існуючих систем, захищеності від несанкціонованого доступу, можливості здійснення операцій контролю уповноваженою персоною.

Для правильної роботи даного програмного продукту до складу технічних засобів повинні входити:

- комп'ютер з такою конфігурацією:

1) процесор з тактовою частотою не нижче 1,5 ГГц;

2) достатній об'єм оперативної пам'яті (не менше 600 МБ);

3) інші складові можуть мати будь-які параметри, тому що вони не значним чином впливають на роботу програми;

- додатково має бути встановлене таке програмне забезпечення:

1) операційна система Windows XP/Vista/Windows7/Windows 10;

2) Microsoft Office 2003/2007/2010;

3) Net Framework 4.0 і вище;

- комп'ютерна периферія, до складу якої входить:

1) монітор;

2) мишка;

3) клавіатура;

4) принтер.

4.3 Архітектура програмного забезпечення

4.3.1 Діаграма варіантів використання

Схема структурна варіантів використання наведена в додатку А.

Далі наведено виявлені вимоги з варіантів використань.

Таблиця 4.1 - Вимоги з варіантів використання

Актор	Варіант використання	Функціональна вимога	Пріоритет
Користувач	Проходження авторизації	RQ 001. Система надає форму для входження у програму за індивідуальним логіном та паролем	Високий
	Введення параметрів системи	RQ 002. Система надає форму для введення досліджувальних параметрів системи	Високий
	Введення безрозмірних параметрів	RQ 003. Система надає форму для введення безрозмірних параметрів.	Високий
	Виведення графіку	RQ 004. Система надає форму для введення графіку зон стійкості магнітного підвісу.	Високий

4.3.2 Діаграма компонентів

...