Построение когнитивной карты разделенных влияний для игры с несогласованными представлениями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построение когнитивной карты разделенных влияний для игры с несогласованными представлениями

Н.А. Коргин, С.Г. Куливец

Институт проблем управления РАН, Москва, Россия

Опишем теоретико-игровую модель взаимодействия агентов с несогласованными представлениями, формализованными в виде когнитивных карт.

Здесь N = {1, …, n} - множество агентов, Si - множество стратегий агента i, fi - функция полезности агента i, Ci - линейная когнитивная карта агента i (везде далее под когнитивной картой мы будем иметь в виду линейную когнитивную карту), Т - момент времени для измерения результата управления. Когнитивная карта Ci представлена совокупностью факторов М = {1, …, m}, с их начальными значениями, заданными вектором x(0) Rm, и матрицей взаимного влияния факторов друг на друга W(i). Множество всех управляемых i-м агентом факторов обозначим Mi. Для любых двух агентов i,j N: Mi?Mj = . Тогда множество стратегий i-го агента Si можно представить как декартово произведение mi отрезков:

Si = ? ? … ? .

Каждый из отрезков ограничивает управляющие воздействия по соответствующему управляемому для агента i фактору в Ci. Стратегией i-го агента si будем считать вектор, состоящий из упорядоченных компонентов вектора p(0) с номерами из множества {k1,k2,…,kmi} = Mi: . После оказания воздействия каждым агентом на соответствующие факторы, задаваемое вектором p(0), с точки зрения i-го агента будет иметь место автономный импульсный процесс [3] до момента времени Т. Значения факторов в момент Т с точки зрения агента i определяются по формуле:

x(i)(T) = x(0)+p(0)+p(0)•W(i)+…+p(0) (W(i))T-1 =

= x(0)+p(0)•(E+W(i)+…+(W(i))T-1) = x(0)+p(0)•TQ(i).

Функция полезности fi (x(Т)) для i-го агента задается на множестве значений всех факторов в момент Т следующим образом

.

Здесь xij* - желаемое i-м агентом значение для j-го фактора, который называется целевым; Подставляя (2) в (3) получим целевую функцию для i-го агента.

В этом случае для поиска равновесия Нэша в чистых стратегиях можно воспользоваться системой уравнений [2]:

,

, , .

Из [2] следует, что если решение системы уравнений (5) существует и принадлежит гиперкубу S1?…?Sn, то оно является равновесием Нэша в чистых стратегиях для игры (1). Кроме того, если точка равновесия Нэша в чистых стратегиях для игры (1) принадлежит внутренности гиперкуба S1?…?Sn, то она является решением системы уравнений (5). В этом равновесии каждый из агентов достигает своего максимально возможного выигрыша. Если ни одно из решений системы уравнений (5) не принадлежит гиперкубу S1?…?Sn, то точка равновесия Нэша в чистых стратегиях для модели с фиксированной целью управления, лежит на границе гиперкуба S1?…?Sn.

Определим порядок построения когнитивной карты разделенных влияний (ККРВ) С (с матрицей смежности W). Исходными данными являются когнитивные карты C1, C2,…, Cn (с матрицами смежности W(1), W(2),…, W(n)), отражающие системы убеждений агентов в игре с несогласованными представлениями (1) с фиксированным моментом времени Т. Процесс представлен тремя этапами.

1. Добавим в множество факторов когнитивной карты С те факторы, которые являются управляемыми в когнитивных картах всех агентов в игре (1): . Эти факторы сохраняют свое свойство управляемости. Множество всех управляемых факторов обозначим U (U ? = , где Uk?Mk с сохранением нумерации факторов в ), и будем называть множеством управляемых факторов. Для любых двух агентов i,j N: Ui?Uj = .

2. Выделим из множества факторов М такие факторы, которые являются целевыми факторами хотя бы для одного агента. Каждый из таких факторов продублируем столько раз в когнитивной карте С, какое количество агентов считают его для себя целевым. Сохраним в качестве целевого фактора за каждым из агентов ровно одну копию того фактора, который являлся для него целевым в исходной игре. Пусть xj - целевой фактор в игре (1) для одного или нескольких агентов, тогда для обозначения каждой его копии в когнитивной карте С будем использовать нотацию yj(i), где j - номер продублированного фактора в множестве факторов М, а i - номер агента, для которого полученная копия будет целевым фактором. В случае, если фактор являлся целевым лишь для одного агента, то добавляем его в С в единственном экземпляре. Для обозначения этого фактора для однообразия также будем использовать нотацию yj(i), где j - номер целевого фактора в множестве факторов М, а i - номер агента, для которого этот фактор был целевым фактором в игре (1). Множество всех целевых факторов в когнитивной карте С обозначим G, и будем называть множеством целевых факторов. Gi = {yj(i)}j - множество целевых факторов для i-го агента. Для когнитивной карты С для любых двух агентов i,j N: Gi?Gj = .

3. Построим дуги из множества факторов U в множество факторов G по следующему правилу. При фиксированных i,j N (быть может, совпадающих) от управляемого фактора xk Ui к целевому фактору yl(j) Gj идет дуга с весом равным элементу Tqkl(j) в матрице TQ(j).

Заметим что граф построенной когнитивной карты С является взвешенным двудольным орграфом. В нем содержатся только управляемые U и целевые G факторы для всех агентов, и все дуги идут из вершин-факторов множества U в вершины-факторы множества G. Веса дуг содержат интегральные влияния факторов множества U на факторы множества G, так как они были взяты из соответствующих матриц TQ(i). Отметим, что в силу того, что орграф двудольный, то после воздействий в начальный момент времени p(0) на управляемые факторы значения всех факторов в когнитивной карте С уже после момента времени 1 не будут меняться.

Рассмотрим игру на когнитивной карте С [1]:

.

При этом множество агентов N в игре (6) полностью совпадает с множеством агентов в игре (1). Если для каждого управляемого фактора из множества U сохранить ограничения на управляющие воздействия в виде отрезка допустимых значений, как в игре (1), то множество стратегий каждого агента в игре (6) и в игре (1) полностью совпадают. Начальные значения всех факторов в когнитивной карте С для игры (6) совпадают с начальными значениями соответствующих факторов в игре (1), так в частности имеет место равенство yj(i)(0) = xj(0) для всех целевых факторов в игре (6). Будем считать игры (1) и (6) эквивалентными, если множество равновесий Нэша в игре (1) совпадает с множеством равновесий Нэша в игре (6), при условии полного совпадения множеств агентов N, их стратегий и целевых функций. Тогда справедливо

Утверждение 1. Для любого набора когнитивных карт C1, C2,…, Cn несогласованных представлений существует единственная когнитивная карта разделенных влияний С такая, что игра (1) с несогласованными представлениями на C1, C2,…, Cn эквивалентна игре (6) на когнитивной карте С.

Преобразование игры (1) в игру (6) оказывается полезным при решении задачи поиска информационного управления осуществляемого одним из агентов [4].

игровой модель когнитивный несогласованный

Список литературы

1. Новиков Д.А. "Когнитивные игры": линейная импульсная модель // Проблемы управления. - 2008. - № 3 - c.14 - 22.

2. Куливец С.Г. Моделирование конфликтных ситуаций с несогласованными представлениями у агентов на основе игр на линейных когнитивных картах // Проблемы управления. - 2010 _ № 4 - с.42 _ 48.

3. Робертс Ф. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. - М.: Наука, 1986. - 325 с.

4. КУЛИВЕЦ С.Г., КОРГИН Н.А., Поиск информационного управления в игре на когнитивной карте разделенных влияний / Сборник трудов УБС-2011 (в данном сборнике)

Размещено на Allbest.ru