Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВСТУП

Актуальність теми полягає у представленні роботи з похідними в Mathcad (градієнти, дивергенція, ротор, якобіани).

Мета роботи полягає в дослідженні роботи логічних виразів. Навчитися їх правильно використовувати, де це доцільно.

Для досягнення поставленої мети в курсовій роботі сформульовані та вирішені наступні задачі дослідження:

1. Ознайомитися з теорією роботи похідних та операцій для векторного аналізу функцій.

2. Обчислення градієнту, дивергенції, ротору та якобіану.

Об'єктом дослідження є похідні (градієнти, дивергенція, ротор, якобіани).

Предметом дослідження є векторний аналіз функцій, які представлені у СКМ Mathcad. диференціювання mathcad тейлор чисельний

Методи дослідження: Теоретичною базою для вирішення сформульованого завдання є роботи з вищої математики, чисельних методів розв'язання математичних задач, теорії алгоритмів. Поряд з аналітичними розрахунками у роботі використовуються розрахунки виконані за допомогою комп'ютерного програмного забезпечення.

Достовірність отриманих результатів підтверджується тим, що вони не суперечать відомим теоретичним положенням, а також перевіряються шляхом розв'язання поставленої задачі альтернативними методами з наступним порівнянням результатів.

Особистий внесок. Аналіз теоретичних матеріалів та практичні розрахунки було виконано автором самостійно, без сторонньої допомоги.

Обсяг та структура роботи. Курсова робота складається з вступу, двох розділів, висновків та додатку. Загальний обсяг курсової роботи становить 25 сторінок, 34 рисунків, список використаних джерел містить 1 найменування.



РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИЧНИЙ

1.1 Диференціювання MathCAD

Операція диференціювання реалізована в Mathcad як у чисельній, так і в аналітичній формі і позначається за допомогою традиційного оператора, тобто відповідними математичними символами (подібно додавання або множення). Якщо розрахунки виконуються за допомогою обчислювального процесора, необхідно добре уявляти собі особливості чисельного алгоритму, дія якого залишається для користувача "за кадром". За допомогою Mathcad можна обчислювати похідні скалярних функцій будь-якої кількості аргументів, причому як функції, так і аргументи можуть бути дійсними і комплексними.

1.1.2 Аналітичне диференціювання MathCAD

Поза всяким сумнівом, ви по достоїнству оціните можливості символьного процесора, що дозволяє з легкістю виконувати рутинні обчислення похідних громіздких функцій. На відміну від всіх інших операцій, символьне диференціювання виконується успішно для переважної більшості аналітично заданих функцій. Думаю, що багато читачів, яким іноді доводиться аналітично диференціювати функції, як і автор цих рядків, один раз спробувавши зробити це в середовищі Mathcad, вже ніколи не візьмуть в руки олівця для розрахунку похідних "вручну".

1.1.3 Аналітичне диференціювання функції MathCAD

Для того щоб аналітично знайти похідну функції f (х) в Mathcad:

1. Визначте функцію f (х).

2. Введіть оператор диференціювання натисканням кнопки Derivative (Похідна) на панелі Calculus (Обчислення) або введіть із клавіатури знак питання <?>.

3. В місцезаповнювачах оператора диференціювання (рисунок 1.1) введіть функцію, залежну від аргументу х, тобто f(х), і ім'я самого аргументу х.

4. Введіть оператор <->> символьного обчислення для отримання відповіді.

Рисунок 1.1 - Оператор диференціювання

Рисунок 1.2 - Графік похідної функції

1.2 Обчислення похідної функції в точці MathCAD

Для того щоб розрахувати похідну в точці, необхідно попередньо визначити значення аргументу в цій точці (рисунок 1.3, другий рядок). Результатом диференціювання в цьому випадку буде число -- значення похідної в цій точці. Якщо результат вдається відшукати аналітично, то він наводиться у вигляді числового виразу, а для того, щоб отримати його у формі числа, достатньо ввести після виданого вираження символ числового рівності <=> (останній рядок рисунку 3).

Рисунок 1.3 - Аналітичне диференціювання функції в точці

Для того щоб продиференціювати функцію, зовсім не обов'язково попередньо присвоювати їй яке-небудь ім'я, як це зроблено в рисунках 1.2, 1.3. Можна визначити функцію безпосередньо в оператора диференціювання (це демонструє перший рядок рисунку 1.4).

Рисунок 1.4 - Правильне і неправильне використання оператора диференціювання

Як ви помітили, оператор диференціювання, в основному, відповідає його загальноприйнятому математичного позначення, і тому його легко використовувати інтуїтивно. Проте в деяких випадках при введенні оператора диференціювання слід проявити обережність. Розглянемо один показовий приклад, наведений у другому рядку рисунку 4, який демонструє неправильне застосування оператора диференціювання для обчислення похідної в точці. Замість обчислення похідної sin(x) при х=2, як цього можна було очікувати, отримано нульове значення. Це сталося через те, що аргумент функції sin(x) введено у вигляді змінної х, а у вигляді числа. Тому Mathcad сприймає останній рядок обчислення спочатку значення синуса в точці х=2, а потім диференціювання цього значення (тобто константи) також в точці х=2, у відповідності з вимогою першого рядка лістингу. Тому відповідь, насправді, недивний -- якій точці ні дифференцируй константу, результатом буде нуль.

1.2.1 Визначення функцій користувача через оператор диференціювання MathCAD

Зрозуміло, оператор диференціювання, як і будь-який інший, можна застосовувати для визначення власних функцій користувача. У рисунку 1.5 через похідну від f (х) визначається ще одна користувацька функція f(х), і потім, за допомогою оператора символьного виводу, знаходиться її явний вигляд (передостанній рядок лістингу) і конкретне значення в точці х=1 (останній рядок).

Рисунок 1.5 - Визначення функції допомогою оператора диференціювання

Також, обчислювальний процесор Mathcad забезпечує чудову точність чисельного диференціювання.

1.2.2 Диференціювання в точці

Для того щоб чисельно продиференціювати функцію f (х) в деякій точці, слід використовувати оператор чисельного виводу (замість символьного):

1. Визначте точку х, в якій буде обчислена похідна, наприклад, х:=1.

2. Введіть оператор диференціювання і звичайним чином введіть імена функції і аргументу в рамки.

3. Введіть оператор = чисельного виведення результату.Приклад диференціювання функції f (x)=sin(x) ln(x) приведений в рисунку 1.6.

Рисунок 1.6 - Чисельне диференціювання функції в точці

1.2.3 Про алгоритм диференціювання MathCAD

Для чисельного диференціювання Mathcad застосовує досить складний алгоритм, який обчислює похідну з колосальною точністю до 7-- 8-го знака після коми. Похибка диференціювання не залежить від констант TOL або CTOL, на противагу більшості інших чисельних методів, а визначається безпосередньо алгоритмом. Цей алгоритм (метод Риддера) описаний під вбудованої довідкової системи Mathcad, доступної через меню Help (Довідка). Ми не будемо тут його описувати, однак зупинимося на важливих аспектах чисельного визначення похідної функції f (х) на більш простому прикладі. Незважаючи на те, що найпростіша різницева формула сильно відрізняється від методу Риддера, він все-таки допоможе нам розібратися в деяких питаннях, оскільки заснований на базовому принципі чисельного диференціювання, а саме на обчисленні похідної через значення функції f (х) в декількох точках, розташованих на близькій відстані один від одного.

Виходячи з визначення похідної функції, можна констатувати, що



Рисунок 1.7 - Розрахунок похибки різницевої формули

Основна проблема чисельного визначення похідної (як в цій простій формулі, так і в більш складних алгоритмах, в тому числі Риддера) пов'язана саме з процедурою вибору значення Д, яка є далеко не очевидною. На перший погляд може здатися, що слід вибирати дуже малі Д, щоб дотримати бажану точність, проте це не зовсім так. Щоб краще розібратися в суті проблеми, використовуємо Mathcad-програму, наведену в рисунку 1.8, яка розраховує (в залежності від кроку Д) похибка різницевої формули ( рисунок 1.7). Графік отриманої залежності зображено на (рисунку 1.9), причому для обох осей обраний логарифмічний масштаб, а сама похідна (для прикладу), відповідно до рисунку 1.8, вважається в одній точці х=1.

Рисунок 1.8 - Розрахунок залежності точності різницевої формули від кроку



Рисунок 1.9 - Графік точності формули (1.7) в залежності від кроку дельта (продовження рисунку 1.6)

Якщо збільшення помилки на правому кінці графіка є абсолютно очевидним, оскільки, згідно з формулою (1.7), А чим більше, тим більша похибка, то зростання помилки при дуже малих Д може на перший погляд здатися несподіваним. Однак вся справа в тому, що, застосовуючи різницеву формулу, ми неявно вважали, що вміємо точно обчислювати значення функції f (х) в будь-якій точці. Між тим, будь-які комп'ютерні обчислення пов'язані з непереборні похибками, зокрема, зумовленими дискретним представленням чисел. Тому в реальності ми можемо обчислити значення f (х) лише з деякою похибкою 8, зумовленої (принаймні) завідомим округленням чисел при розрахунках на комп'ютері.

В результаті, при дуже малому кроці різницеві формули означають віднімання один з одного близьких чисел. В цьому випадку помилки обчислення функції f (х) стають домінуючими і призводять до істотного зростання сумарної похибки обчислення різницевої похідної. Звідси якраз і випливає той висновок, що значення кроку слід вибирати "не дуже малим", інакше помилки обчислення f (х) неминуче зроблять результат диференціювання неправильним. Дивлячись на (рисунок 1.9), легко зміркувати, що в даному випадку слід вибирати проміжні значення Д, які забезпечать мінімальну (або майже мінімальну) похибка.

1.2.4 Похідні вищих порядків MathCAD

Mathcad дозволяє чисельно визначати похідні вищих порядків, від 3-го до 5-го включно. Щоб обчислити похідну функції f (х) N-го порядку в точці х, потрібно виконати ті ж самі дії, що і при взятті першої похідної, за тим винятком, що замість оператора похідної необхідно застосувати оператор м-ї похідної (Nth Derivative). Цей оператор вводиться з тієї ж панелі Calculus(Обчислення), або з клавіатури натисканням клавіш <Ctrl>+<?>, і містить ще два додаткових заповнювача (рисунок 1.10), які слід помістити число N. У повній відповідності з математичним змістом оператора, визначення порядку похідної в одному з рамок призводить до автоматичного появи того ж числа в іншому з них.

Рисунок 1.10 - Оператор похідної вищого порядку

Очевидно, що "похідна" при N=0 за визначенням дорівнює самій функції, при N=1 виходить звичайна перша похідна. Рисунок 1.11 демонструє чисельну і символьне обчислення другою похідною функції в заданій точці. Зверніть увагу, що, як і при обчисленні звичайної похідної, необхідно перед оператором диференціювання присвоїти аргументу функції значення, для якого обчислюватиметься похідна. А ось для аналітичного знаходження похідних вищих порядків за допомогою оператора символьного виводу, вводити значення аргументу не слід (Рисунок 1.12).



Рисунок 1.11 - Приклад обчислення другою похідною функції в точці

Рисунок 1.12 - Приклад аналітичного пошуку другої похідної функції

Рисунок 1.13 - Чисельне і символьне обчислення шостий похідної

Щоб обчислити похідну порядку вище 5-го чисельно, можна послідовно застосувати кілька разів оператор м-ї похідної (рисунок 1.14), подібно до того, як проводиться відшукання кратних інтегралів. Однак слід пам'ятати про те, що чисельне визначення похідних вищих порядків проводиться тим же обчислювальним методом Риддера, що і для перших похідних. Оскільки, як вже було сказано, для першої похідної цей метод забезпечує точність до 7-8 значущих розрядів числа, при підвищенні порядку похідної на кожну одиницю точність падає приблизно на один розряд.



помилка

Рисунок 1.14 - Спроба чисельного пошуку шостий похідної функції в точці дає неправильний результат

1.2.5 Приватні похідні MathCAD

З допомогою обох процесорів Mathcad можна обчислювати похідні функцій не тільки одного, але і будь-якої кількості аргументів. Як відомо, похідні функції декількох аргументів по одному з них називаються приватними. Щоб обчислити приватну похідну, необхідно, як зазвичай, ввести оператор похідної з панелі Calculus (Обчислення) та у відповідному местозаполнителе надрукувати ім'я змінної, по якій має бути здійснене диференціювання.

Приклади знаходження частинних похідних функції двох змінних наведено в рсиунках 1.15 і 1.16. У першій рядку обох лістингів визначається сама функція, а в наступних (символьним або чисельним чином) розраховуються її похідні за обома змінними -- х і k. Щоб визначити приватну похідну в точці, необхідно попередньо вказати значення всіх аргументів, що і зроблено в наступних рядках рсиунку 1.15. Зверніть увагу, що для символьного пошуку похідної функції немає необхідності задавати значення аргументів (третій рядок рисунку 1.15), а от для чисельного диференціювання (останній рядок лістингу) повинні бути попередньо визначені всі аргументи функції, інакше замість результату з'явиться повідомлення про помилку.



Рисунок 1.15 - Аналітичне обчислення частинних похідних

Рисунок 1.16 - Символьне і чисельне обчислення частинних похідних в точці

Частинні похідні вищих порядків розраховуються точно так само, як і звичайні похідні вищих порядків Рисунок 1.17 ілюструє розрахунок других похідних функції по змінних х і у, а також змішаної похідної.

Рисунок 1.17 - Обчислення другий приватної похідної

Можливо, ви звернули увагу, що у всіх трьох рисунках 1.15 - 1.17 оператор диференціювання записаний в традиційній формі приватної похідною (з округлими символами диференціала). Запис оператора не впливає на обчислення, а служить лише більш звичною формою представлення розрахунків.

Для того щоб змінити вигляд оператора диференціювання на подання частинної похідної, слід:

1. Викликати контекстне меню з області оператора диференціювання натисненням правої кнопки миші.

2. Вибрати в контекстному меню верхній пункт View Derivative As (Показувати як похідну).

3. З'явиться підменю вибрати пункт Partial Derivative (Приватна похідна).

Щоб повернути вигляд похідної, прийнятий за замовчуванням, виберіть у меню пункт Default (За замовчуванням) або, для подання її в звичайному вигляді, -- Derivative (Похідна).

1.2.6 Розкладання функції в ряд Тейлора MathCAD

Ще одна операція, тісно пов'язана з диференціюванням, являє собою розкладання функції в ряд Тейлора за будь змінної х в деякій точці. Якщо ця точка х=0, то ряд називають також рядом Маклорена, і він представимо в околі точки х=0 сумою вигляду a0+a1x+a2x2+a3x3+... Тут ai -- деякі коефіцієнти, які залежать від х, але, можливо, є функціями змінних, від яких залежить вихідна функція. Саме ці коефіцієнти виражаються через похідні функції. Якщо вона має в точці х=0 функція, то відповідне розкладання називають рядом Лорана. При пошуку розкладання в ряд Тейлора немає необхідності явно розраховувати всі його коефіцієнти, оскільки ця операція передбачена розробниками Mathcad і виконується за допомогою символьного процесора. При цьому можна використати для її здійснення як відповідні вбудовані функції, так і меню Symbolics (Символіка).



1.2.7 Розкладання в ряд за допомогою меню MathCAD

Щоб розкласти деякий вираз в ряд:

1. Введіть вираз.

2. Виберіть значення змінної, по якій потрібно отримати розкладання в ряд.

3. Виконайте команду Symbolics / Variable / to Expand Series (Символіка / Змінна / Розкласти в ряд) (рисунок 1.18).

4. У діалоговому вікні to Expand Series (Розкласти в ряд) введіть бажаний порядок апроксимації (Order of Approximation) і натисніть кнопку ОК.

Результат розкладання з'явиться під виразом (він показаний на рисунок 1.18, внизу).

1.2.7 Оператор розкладання в ряд MathCAD

Для розкладу в ряд альтернативним способом, за допомогою оператора символьного виводу, використовуйте ключове словоѕегіеѕ, вставляючи його однойменною кнопкою панелі Symbolic(Символіка). Після ключового слова series, через кому, указується ім'я змінної, по якій проводиться розкладання, і порядок апроксимації (рсиунки 1.20 і 1.21). Порівняти поведінку вихідної функції і декількох її розкладань в ряд Тейлора (з різними порядками апроксимації) можна за графіком, наведеним на рис. 1.19.

Рисунок 1.19 - Графік розкладань функцій в ряд залежно від порядку апроксимації (продовження рисунку 1.20)

Видно, що розкладання в ряд добре працює в околі точки х=0, а по мірі віддалення від неї все сильніше і сильніше відрізняється від функції. Природно, що чим вище порядок апроксимації, тим ближче до вихідної функції розташовується відповідне розкладання Тейлора.

Рисунок 1.20 - Розкладання функцій в ряд з різним порядком апроксимації

Рисунок 1.21 - Розкладання функції декількох змінних в ряд по різним змінним



РОЗДІЛ 2.

2.1 Приклади: градієнт, дивергенція і ротор MathCAD

Програмна реалізація першого з прикладів векторного аналізу, присвячена обчисленню градієнта функції двох змінних, наведена в рисунку 2.1. В якості прикладу взята функція f(x,y), визначається у першій рядку лістингу, графік якої зображений на рисунку 2.2, у вигляді ліній рівня. Як відомо, градієнт функції f(x,y) є векторною функцією тих же аргументів, що і f (х,у), визначеної через її приватні похідні, згідно другий рядку рсиунку 2.1. У його третьому рядку проводиться аналітичне обчислення градієнта, а у решти лістингу задаються ранжирувані змінні і матриці, необхідні для підготовки графіка ліній рівня самої функції і графіка векторного поля її градієнта (рис. 2.3).

Рисунок 2.1 - Обчислення градієнта функції двох змінних



Рисунок 2.2 - Модельна функція двох змінних (продовження рисунку 2.1)

Рисунок 2.3 - Векторне поле градієнта функції двох змінних (продовження рсиунку 2.1)

Як можна переконатися, порівнявши графіки на рис. 2.2 і 3.3, математичний зміст градієнта полягає в завданні в кожній точці (х,у) направлення на площині, в якій функція f (х,у)зростає найшвидше. Абсолютне значення градієнта (тобто довжина вектора в кожній точці) визначає локальну швидкість зміни f (x,y). Із зіставлення графи ков ясно, що в центрі показаної на них області (х,у) сама функція f (х,у) змінюється повільно (відповідно, значення її градієнта є малими), а в кутах -- швидко (там значення градієнта максимальні).

Дуже важливо помітити, що градієнт є не скалярної, а векторною функцією змінних х,у, оскільки фактично являє собою комбінацію двох функцій, що задають відповідні проекції (горизонтальну і вертикальну) вектора в кожній точці. Досі в даній главі ми розглядали диференціювання скалярних функцій, однак в математиці часто доводиться мати справу і з обчисленням похідних векторних функцій. Розглянемо ці дії на прикладі операції пошуку дивергенції (рисунок 2.4 і рис. 2.5), застосовною до векторного поля, тобто векторної функції, яка залежить від просторових координат на площині, як в нашому прикладі, або в тривимірному просторі).

Рисунок 2.4 - Обчислення дивергенції векторної функції

Якщо, як прийнято в математиці, позначити оператор взяття градієнта символом V, то дивергенцію вектор-функції можна формально визначити як скалярний добуток Vf, а ще одну поширену операцію векторного аналізу -- ротор (або, по-іншому, вихор або завихреність) -- як векторний добуток Vxf. Рис. 2.6 ілюструє приклад векторної функції f (х,у) (обумовленої в першому рядку рисунку) та обчислення її дивергенції (яке проводиться аналітично у третьому рядку). Зверніть увагу, що в якості вихідної вектор-функції взято результат попередніх розрахунків, показаний (у формі векторного поля) на рис. 2.3. Рядки коду в верхній частині рис.2.6 потрібні для підготовки графіка обчисленої дивергенції (у вигляді тривимірної поверхні і ліній рівня, відповідно зверху та знизу).

Точно таку ж структуру мають розрахунки ротора тієї ж векторної функції f (х,у) в рис. 2.6, причому визначення операції взяття ротора наводиться в його другому рядку (як і у випадку дивергенції для рисунку 2.4).

Рисунок 2.5 - Графік дивергенції векторної функції (продовження рис. 2.4)

Рисунок 2.6 - Обчислення ротора векторної функції

На закінчення розмови про векторному аналізі функцій підкреслимо, що приклади в рисунках 2.1 , 2.4 , 2.6 ставилися до функцій двох змінних, тобто описували двовимірний випадок. Ще два рисунку 2.7 і 2.8 - показують, як діють перераховані операції векторного аналізу в тривимірному (просторовому) випадку.

Рисунок 2.7 - Градієнт функції трьох змінних

Рисунок 2.8 - Дивергенція і ротор в тривимірному просторі

2.2 Приклад: якобіан MathCAD

Ще одна задача, пов'язана з перебуванням приватних похідних векторної функції, полягає в обчисленні якобіана (або визначника матриці Якобі) -- матриці, складеної з приватних похідних векторної функції за всіма її аргументів. Ця задача зустрічається в різних областях математики, наприклад, стосовно до жорстких диференціальних рівнянь. Прийоми обчислення якобіана векторної функції f (х) векторного аргументу х демонструються в рисунку 2.9. У ньому для визначення частинних похідних якобіана кожен i-й скалярний компонент f (x)i диференціюється символьним процесором Mathcad.

Рисунок 2.9 - Обчислення якобіана векторної функції векторного аргументу

Той же самий якобіан можна обчислити й по-іншому, якщо визначити функцію не одного векторного, а трьох скалярних аргументів f(x,y,z) (рисунок 2.10). Не забувайте, що для чисельного визначення якобіана необхідно спочатку визначити точку, в якій він буде розраховуватися, тобто вектор х у термінах рисунку 2.9 , або всі три змінних х, у, z у позначеннях.



Рисунок 2.10 - Обчислення якобіана векторної функції трьох аргументів скалярних



ВИСНОВОК

1)Система MathCad дозволяє обчислювати похідні будь- якого порядку при необмеженій кількості символьних змінних. При цьому використовуються два різних способи. Перший спосіб ґрунтується на символьних обчисленнях. Цей спосіб виконується за допомогою команд меню Символіка>Змінні>Диференціювати. Технологія реалізації цього методу базується на виконанні таких кроків:

· введення виразу, похідну якого необхідно знайти;

· виділення за допомогою подвійного клацання мишки змінної

· диференціювання; звернення до команд меню Символіка>Змінні>Диференціювати;

Після виконання команди Дифференціювати на екрані з'явиться значення похідної. Розглянемо на прикладі можливості цього методу.

2) Дивергемнція -- скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує продукується чи поглинається векторне поле в даній точці та визначає інтенсивність цих процесів. Так, наприклад, додатна дивергенція поля швидкостей сталого руху нестискуваної рідини характеризує інтенсивність джерел в даній точці, а від'ємна -- інтенсивність стоків.



СПИСОК ВИКОРИСТАННИХ ДЖЕРЕЛ

1)MathCad 12 Повне керівництво.

http://radiomaster.ru/cad/mc12/index.php

2) Mathcad 14 для студентів, інженерів та конструкторів -- СПб.: БХВ-

Петербург, 2007. -- 368 ст.[ Електронний ресурс].

http://static1.ozone.ru/multimedia/book_file/1005872105.pdf

Размещено на Allbest.ru

...