Методы обработки экспертной информации, заданной в виде отношений предпочтения



где и ; - вектор, полученный из упорядочиванием по невозрастанию.

Отметим, что различные OWG операторы отличает их вектор весов. Есть три важных специальных случая OWG агрегирования:

1. при

2. при

3. при

Рассмотрим свойства OWG оператора:

1. OWG - оператор является оператором соединения, то есть

2.

3. OWG - коммутативный оператор, поскольку в любом случае компоненты (a₁,…,a_n) упорядочены перед агрегированием по невозрастанию.

4. OWG - идемпотентный оператор. Если все компоненты векторной оценки равны, т.е. , то в силу условия

.



5. OWG - монотонно возрастающий по каждому аргументу оператор. Пусть и - две векторные оценки, такие что , тогда упорядочивая соответствующие векторы по невозрастанию, получим такие векторные оценки и , что .

Тогда ,

откуда следует, что .

Рассмотрим взаимосвязь арифметического и геометрического порядковых операторов.

Утверждение 2. OWG оператор для набора мультипликативных отношений предпочтения действует точно так же как и OWA оператор для набора нечетких отношений предпочтения , где

Доказательство: Агрегируя мультипликативные отношения предпочтения с помощью OWG оператора, получаем групповые мультипликативные отношения предпочтения:

, где

Полученное мультипликативное отношение предпочтения можно преобразовать в аддитивное, по правилу



С другой стороны, функцию преобразования можно применить к каждому из индивидуальных мультипликативных отношений предпочтения, тогда для каждого

Агрегируя полученные аддитивные нечеткие отношения предпочтения с помощью OWA оператора, получим коллективное аддитивное нечеткое отношение , где , - коллективное нечеткое отношение предпочтения.

Так как - неубывающая функция, то порядок элементов в наборе , точно такой же, как и в наборе . Учитывая этот факт, получим

Практический результат данного утверждения заключается в следующем: коллективное предпочтение отношения, полученное с использованием OWA и OWG - технологий совпадают. OWG - технология агрегирования имеет то преимущество, что позволяет обрабатывать экспертную информацию в шкале Саати

3.2.3 Лингвистические кванторы

Заметим, что вектор весов w может быть получен, с помощью нечеткого лингвистического квантора Q, который формализует понятие нечеткого большинства. Если для OWG оператора используется нечеткий квантор Q(x) то, он обозначается как .

Рассмотрим более подробно понятие лингвистическиго квандтора. Являясь математической моделью лингвистических термов, (таких как, например, несколько, почти все, приблизительно половина, немногим больше 5) кванторы задаются соответствующими функциями принадлежности, так и принимать значения в некоторой заранее заданной лингвистической шкале.

Под лингвистическим квантором Q(r) будем понимать нечеткое подмножество отрезка [,1] или множества Z⁺, которое формализует свойство, заложенное в концепцию лингвистического квантора. Для каждого r Q(r) есть степень, с которой пропорция (соотношение, часть) является подходящей для представления квантора. Определим лингвистический квантор как отображение , для которого и .

Лингвистический квантор называется неубывающим, если

невозрастающим, если

,

унимодальным, если и



Легко заметить, что кванторы всеобщности и существования определяется соответственно в виде

, .

На рис. 3.1 представлены кванторы всеобщности (а) и существования (б).

Рис. 3.1.

Различают абсолютный и пропорциональный кванторы. Абсолютный квантор используется для представления оценки, имеющей отношение к некоторому числу (больше 5, приблизительно равно 3 и т.п.), а пропорциональный - для описания отношения части к целому (большинство, по крайней мере половина, несколько, мало).

Примером абсолютного квантора является квантор по крайней мере m (m Z⁺), функция принадлежности которого задается в виде

.



Функция принадлежности пропорционального квантора может быть задана, например, в виде

.

Лингвистические кванторы используются для определения весовых коэффициентов OWA-операторов. Если квантор определяется с помощью отображения б) и является неубывающим, то используются формулы

.

Рис. 3.2.

Легко показать, что если Q(r) - неубывающий квантор на [0,1], генерирующий набор весов , тогда и .

Пример. Рассмотрим квантор большинство, задаваемый функцией принадлежности



график которой представлен на рис.3.3.

Рис. 3.3.

Определим веса

3.3 Алгоритм выбора лучшей альтернативы на основе мультипликативных отношений предпочтения

Определение 5. Степень доминирования альтернативы над нечётким большинством других альтернатив определяется следующим образом:



(3.1)

(3.2)

образуют альтернативы, доминирующие в смысле нечеткого большинства над остальными альтернативами множества X.

Определение6. Степенью недоминирования альтернативы над нечётким большинством других альтернатив из X определяется следующим образом:

(3.3)

где

Элементы множества

(3.4)

образуют альтернативы максимально недоминируемые элементами нечеткого большинства остальных альтернатив из множества X.

При доминировании результирующего выборочного множества часто используется последовательная стратегия выбора, которая заключается в последовательном формировании выборочного множества, использующая вначале одну степень, а затем - другую.

На основе введенных выше степеней доминирования-недоминирования определяются следующие множества:



(3.5)

(3.6)

Выпишем алгоритм:

S1. Используя OWG оператор , для каждой альтернативы () определим степени доминирования и недоминирования:

S2. Применение каждой степени выбора альтернатив по X позволяет нам получать следующие выборочные множества:

Определение этих наборов дано в пункте 3.2.

S3. a) Применение конъюнктивного процесса выбора дает следующий набор альтернатив:

Если , то конец. Иначе продолжить.

b). Применение одной из двух последовательной политики выбора, основанной на степени доминирования или недоминирования:

Последовательный процесс выбора, основанный на доминировании MQG-DD-NDD

1) получить ;

2) если , тогда - искомое множество

3) иначе продолжаем процесс поиска

Данное множество - выборочное множество альтернатив.

Последовательный процесс выбора, основанный на доминировании MQG-NDD-DD

1) получить ;

2) если , тогда - искомое множество

3) иначе продолжаем процесс поиска

Данное множество - выборочное множество альтернатив.

Пример:

Рассмотрим следующий иллюстративный пример метода классификации альтернатив. Пусть задано множество альтернатив . Предположим, что группа состоит из трех экспертов и на основе экспертного опроса получим мультипликативные отношения предпочтения:



, , ,

При формировании коллективного отношения предпочтения будем использовать квантор «по крайней мере, половина». Будем считать, что групповое решение является согласованным, если его поддерживают «по крайней мере, половина» экспертов. На основе лингвистического квантора получим вектор весов .

Для вычисления степеней доминирования и недоминирования будем использовать тот же квантор, получим:

	x1	x2	x3
	0.75	0.6	0.37
	1	0.95	0.74

Эти значения говорят о том, что данная альтернатива доминирует «по крайней мере над половиной» остальных согласно «по крайней мере половине» экспертов, и степень, с которой альтернатива недоминируема «по крайней мере половиной» альтернатив согласно «по крайней мере половине» экспертов, соответственно.

и ,

поэтому x₁ - лучшая альтернатива.



Глава 4. Описание программы группового выбора лучшей альтернативы на нечетном отношении предпочтения

Практическим результатом данной работы является программная реализация алгоритма выбора на основе отношений предпочтений. Программа реализована в среде визуального программирования Delphi на языке Object Pascal.

При запуске программы открывается начальная форма 1 программы.

Рисунок 4.1

Для начала работы необходимо задать исходную информацию. Это можно сделать двумя способами:

1. Загрузить данные из файла. Для этого нужно нажать кнопку «Загрузить данные из файла» и выбрать нужный файл.

2. Вводить вручную с клавиатуры. Для чего сначала необходимо определить число альтернатив, количество экспертов, тип группы экспертов (гетерогенная или гомогенная) и нажать кнопку «Запомнить».

После чего появится форма 2: Здесь в Edit.1 вводится элемент матрицы отношения для каждого эксперта. Для того, чтобы ввести новый элемент, нужно нажать кнопку «Записать».

После того, как ввод данных закончится, форма 2 закроется и появится форма 1. Чтобы запустить алгоритм выбора наилучшей альтернативы, необходимо нажать на кнопку «Выбрать наилучшую альтернативу».

Как только программа закончит обработку исходной информации, появится сообщение «Файл - «Ответ»».

Далее нужно нажать кнопку «Результат» и выбрать файл «Ответ». После чего откроется форма, содержащая ответ.

Рисунок 4.2



Глава 5. Расчетный пример: обновление автопарка ОАО «Транссервис»

Условие задачи:

Предприятие ОАО «Транссервис», осуществляющее грузоперевозки по Росси и странам Европы проводит обновление автопарка.

На рынке грузовых автомобилей представлены следующие шесть марок, интересующих компанию:

Х1- автомобиль марки VOLVO,

Х2- автомобиль марки RENO,

Х3- автомобиль марки МАЗ,

Х4- автомобиль марки SCANIA,

Х5- автомобиль марки MAN,

Х6- автомобиль марки КАМАЗ.

Для выбора наиболее подходящей для компании марки автомобиля создается комиссия, состоящая из четырех экспертов, представителей каждого отдела компании.

Е1 - экономический отдел, определяющий приемлемость цены автомобиля и рентабельность его приобретения.

Е2 - маркетинговый отдел, определяющий свойства автомобиля важные для достижения результата, необходимого заказчику (комплектация автомобиля специальными дополнительными прицепами, наличие спальных мест для отдыха, расход топлива и т.д.).

Е3 - технический отдел, определяющий стоимость эксплуатации автомобиля, ремонт, амортизацию и т.д.

E4 - общий отдел, определяющий страховку автомобиля, вредные выбросы, престижность марки и т.д.

Каждый эксперт имеет весовой коэффициент учитывающий значимость мнения эксперта.

Путем консультации с руководством компании установлены следующие веса: c1=0.3, c2=0.2, c3=0.4, c4=0.1.

Каждый эксперт представил свое мнение относительно данного множества альтернатив в виде матрицы отношения предпочтения:

Решение:

1.a) Строим нечеткое отношение Q₁ по формуле:

Согласно исходным данным получаем следующие минимумы:

В матричном виде получаем следующее:

1.b. Определим нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив на множестве (x, ) по формуле:

Согласно исходным данным получаем следующие результаты:



Множество недоминирующих альтернатив на множестве (X, ):

	0.98	0.96	0.94	0.98	1	0.98

2.a. Построим нечеткое отношение Q₂:

Подставляя исходные данные задачи, получаем:

В матричном виде получаем следующее:

1	0,68	0,61	0,65	0,51	0,43
0,32	1	0,51	0,37	0,36	0,45
0,39	0,49	1	0,48	0,29	0,29
0,35	0,63	0,52	1	0,44	0,32
0,49	0,64	0,71	0,56	1	0,73
0,57	0,55	0,71	0,68	0,27	1



2.b. Определим нечеткое подмножество недоминирующих альтернатив на множестве (x, ) по формуле:

Множество недоминирующих альтернатив на множестве (x, )

	0.86	0.64	0.58	0.64	0.98	0.54

3) Результирующее множество недоминирующих альтернатив есть пересечение множеств и

Таким образом,

	0.86	0.64	0.58	0.64	0.98	0.54



4) Рациональными считаются выборы альтернатив из множества:

В рассмотренной задаче это множество состоит из одной альтернативы x₅.

Теперь можно сделать вывод, что альтернатива x₅ является лучшей.

Т.е. для компании «Транссервис» по мнению ее собственных экспертов наиболее приемлемой является машина марки MAN.



Заключение

В данной работе был изучен и реализован алгоритм выбора лучшей альтернативы на основе нечетких отношений предпочтения. Особенностью задачи являлось то, что рассматривалось нечеткое отношение предпочтения в паре заданной числом из отрезка [0,1], отражающем степень уверенности эксперта в истинности отношения. Был систематизирован теоретический материал по основам представлений о нечетких множествах и отношениях, сформулирована задача выбора лучшей альтернативы, а также представлен сам алгоритм выбора лучшей альтернативы. В подтверждение правильности алгоритма был решен ряд практических примеров и реальная прикладная задача. Результатом работы можно считать реализацию представленного алгоритма, а также наметившиеся перспективы его дальнейшего усовершенствования и модернизации, например: применение различных стратегий для формирования выборочного множества и применения различных операторов агрегирования на этапе определения степеней доминирования и/или недоминирования.



Список литературы

1. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений/ А. Н. Борисов, А. В. Алексеев, Г.В. Меркурьева и др. М.: Радио и связь, 1989. - 304 с.

2. Моделирвоание принятия решений на основе лингвистической переменной / А. Н. Борисов, А. В. Алексеев, О.А. Крумберг и др. Рига: Зинатне, 1982 - 256 с.

3. Борисов А. Н., Крумберг О. А., Федоров И. П. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. Рига: Зинатне, 1990 - 184 с.

4. Саати Т. Л., Принятие решений: метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993.

5. Орловский С. А.

6. Yager RR. On ordered weighted averaging aggregation operators inmulticritaria decisions making. IEEE Trans Syst Man Cybern 1998; 18:183-190.

7. Yager RR. Families of OWA operators. Fuzzy Sets Syst 1993; 59:125-148.

8. Chiclana F, Herrera F, Herrera-Viedma E. Integrating multiplicative preference relations in a multipurpose decision making model based on fuzzy preference relations. Fuzzy Sets Syst 2001; 112:227-291.



Приложение

Листинг программы

unit LINUn1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Buttons;

type

Tmas=array of real;

Tmatr=array of Tmas;

Tmat=array of Tmatr;

TForm1 = class(TForm)

Edit1: TEdit;

Label1: TLabel;

Edit2: TEdit;

Label2: TLabel;

RadioButton1: TRadioButton;

RadioButton2: TRadioButton;

Label3: TLabel;

BitBtn1: TBitBtn;

BitBtn2: TBitBtn;

BitBtn3: TBitBtn;

BitBtn4: TBitBtn;

OpenDialog1: TOpenDialog;

BitBtn5: TBitBtn;

OpenDialog2: TOpenDialog;

procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

procedure BitBtn3Click(Sender: TObject);

procedure BitBtn4Click(Sender: TObject);

procedure BitBtn5Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

c:Tmas;

mat:Tmat;

n,m,i,j,k,l:integer;

implementation

uses Linun2,Linun4;

{$R *.dfm}

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

begin

if (Edit1.Text='')or(Edit2.Text='')or(strtoint(Edit2.Text)<=1) then Showmessage('Повторите ввод')

else

begin

n:=strtoint(Edit1.Text);

m:=strtoint(Edit2.Text);

i:=1;

j:=2;

k:=1;

SetLength(mat,n+1,n+1,m+1);

SetLength(c,m+1); l:=1;

Form2.Label1.Caption:='Введите элемент p12 матрицы отношения предпочтения 1 эксперта';

Form2.Edit1.Text:='';

Form2.Show;

end;

end;

//Процедура построения нечеткое отношение Q1

procedure OT_Q1(var mq1:Tmatr);

var i,j,k:integer;

min:real;

begin

SetLength(mq1,n+1,n+1);

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

min:=c[1]*mat[i,j,1];

for k:=2 to m do

if c[k]*mat[i,j,k]<min

then min:=c[k]*mat[i,j,k];

mq1[i,j]:=min;

end;

end;

//Определение нечеткого подмножества недоминируемых альтернатив в мн-ве (X,mq1)

procedure NED_Q1(mq1:Tmatr;var nq1:Tmas);

var i,j:integer;

max:real;

begin

SetLength(mq1,n+1,n+1);

SetLength(nq1,n+1);

for i:=1 to n do

begin

max:=mq1[1,i]-mq1[i,1];

for j:=2 to n do

if (mq1[j,i]-mq1[i,j])>max

then max:=mq1[j,i]-mq1[i,j];

nq1[i]:=1-max;

end;

end;

//Процедура построения нечеткое отношение Q2

procedure OT_Q2(var mq2:Tmatr);

var i,j,k:integer;

sum:real;

begin

SetLength(mq2,n+1,n+1);

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

sum:=0;

for k:=1 to m do

sum:=sum+c[k]*mat[i,j,k];

mq2[i,j]:=sum;

end;

end;

//Определение нечеткого подмножества недоминируемых альтернатив в мн-ве (X,mq2)

procedure NED_Q2(mq2:Tmatr;var nq2:Tmas);

var i,j:integer;

max:real;

begin

SetLength(mq2,n+1,n+1);

SetLength(nq2,n+1);

for i:=1 to n do

begin

max:=mq2[1,i]-mq2[i,1];

for j:=2 to n do

if (mq2[j,i]-mq2[i,j])>max

then max:=mq2[j,i]-mq2[i,j];

nq2[i]:=1-max;

end;

end;

//Пересечение множеств

Procedure Per_q1_q2(nq1,nq2:Tmas;var nq:Tmas);

var i:integer;

begin

SetLength(nq1,n+1);

SetLength(nq2,n+1);

SetLength(nq,n+1);

For i:=1 to n do

if nq1[i]<nq2[i] then nq[i]:=nq1[i]

else nq[i]:=nq2[i];

end;

//Процедура выбора

procedure Select(var nq:Tmas;var k:integer);

var max:real;

i:integer;

begin

SetLength(nq,n+1);

max:=nq[1];

for i:=2 to n do

if max<nq[i] then max:=nq[i];

k:=0;

for i:=1 to n do

if nq[i]=max then

begin

k:=k+1;

nq[k]:=i;

end;

SetLength(nq,k+1);

end;

procedure TForm1.BitBtn3Click(Sender: TObject);

var mq1,mq2:Tmatr;

nq1,nq2,nq:Tmas;

ff:textfile;

i,j:integer;

begin

SetLength(mq1,n+1,n+1);

//Строим нечеткое отношение Q1

Ot_Q1(mq1);

SetLength(nq1,n+1);

//Определение нечеткого подмножества недоминируемых альтернатив в мн-ве (X,mq1)

Ned_Q1(mq1,nq1);

assignfile(ff,'D:\Universitet\Диссертация\Алексей\Ответ');

rewrite(ff);

writeln(ff,'Нечеткое отношение q1');

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

write(ff,mq1[i,j]:3:2,' ');

writeln(ff);

end;

writeln(ff,'Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в мн-ве (X,q1)');

for i:=1 to n do

write(ff,nq1[i]:3:2,' ');

writeln(ff);

SetLength(mq1,0,0);

SetLength(mq2,n+1,n+1);

//Строим нечеткое отношение Q2

Ot_Q2(mq2);

SetLength(nq2,n+1);

//Определение нечеткого подмножества недоминируемых альтернатив в мн-ве (X,mq2)

Ned_Q2(mq2,nq2);

writeln(ff,'Нечеткое отношение q2');

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

write(ff,mq2[i,j]:3:2,' ');

writeln(ff);

end;

writeln(ff,'Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в мн-ве (X,q2)');

for i:=1 to n do

write(ff,nq2[i]:3:2,' ');

writeln(ff);

SetLength(mq2,0,0);

SetLength(nq,n+1);

//Пересечение множеств

Per_q1_q2(nq1,nq2,nq);

writeln(ff,'Пересечение');

for i:=1 to n do

write(ff,nq[i]:3:2,' ');

writeln(ff);

SetLength(nq1,0);

SetLength(nq2,0);

//Выбор наилучшей альтернативы

Select(nq,j);

writeln(ff,'Наилучшая альтернатива');

for i:=1 to j do

write(ff,nq[i]:2:0,' ');

closefile(ff);

showmessage('Файл-"Ответ"');

end;

procedure TForm1.BitBtn4Click(Sender: TObject);

var ff:textfile;

i,j,k:integer;

s:string;

begin

if opendialog1.Execute

then

begin

assignfile(ff,opendialog1.filename);

reset(ff);

readln(ff,s);

readln(ff,s);

n:=strtoint(s);

readln(ff,s);

readln(ff,s);

m:=strtoint(s);

SetLength(mat,n+1,n+1,m+1);

SetLength(c,m+1);

readln(ff,s);

for k:=1 to m do

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

readln(ff,s);

mat[i,j,k]:=strtofloat(s);

end;

readln(ff,s);

end;

for k:=1 to m do

begin

readln(ff,s);

c[k]:=strtofloat(s);

end;

closefile(ff);

assignfile(ff,'Условие');

rewrite(ff);

for k:=1 to m do

begin

writeln(ff,'Эксперт',k);

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

write(ff,mat[i,j,k]:3:2,' ');

writeln(ff);

end;

end;

closefile(ff);

end;

end;

procedure TForm1.BitBtn5Click(Sender: TObject);

begin

if opendialog2.Execute then form4.memo1.lines.loadfromfile('D:\Universitet\Диссертация\Алексей\Ответ');

form4.caption:='Ответ';

form4.show;

end;

end.

Размещено на Allbest.ru

...