Размещено на http://www.allbest.ru/

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

О классификации почти контактных метрических структур на распределениях с внутренней симплектической связностью

Букушева Алия Владимировна,

кандидат наук, доцент

Основное содержание исследования

На распределении контактной структуры с помощью внутренней симплектической связности определяется (продолженная) почти контактная метрическая структура. Находятся условия, при которых продолженная структура принадлежит заданному классу почти контактных метрических структур.

В работе [11] получены инвариантные характеристики классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур, определяемых на касательных расслоений почти симплектических многообразий. В работе [5] рассматривается нечетный аналог касательного расслоения почти симплектического многообразия - распределение контактной структуры. На распределении контактной структуры с помощью внутренней симплектической связности определяется почти контактная метрическая структура. Изучаются простейшие свойства полученной структуры. Настоящая работа является продолжением работы [5]. Используя классификацию Д. Чинья и С. Гонзалез [9], мы выделяем класс почти контактных метрических пространств, характеризующийся тождеством

.

Находятся условия, при которых продолженная структура принадлежит заданному классу.

Внутренняя симплектическая связность на многообразии с контактной структурой

Рассматривается гладкое многообразие M нечетной размерности n=2m+1 с заданной на нем контактной структурой , где и 1-форма и векторное поле, порождающие, соответственно, распределения D и таким образом, чтобы выполнялось равенство . При этом выполняется равенство: , где . Многообразие M будем называть контактным многообразием.

Пусть [1-4] внутренняя линейная связность на многообразии M, т.е. отображение , удовлетворяющее следующим условиям:

1. ;

2. ,

3. ,

где - модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Карту многообразия M называется адаптированной к распределению D, если [6]. Пусть - проектор, определяемый разложением , и - адаптированная карта. Векторные поля линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: .

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения . Из равенств , где , обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

.

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля [6, 7]:

,

,

где Q=1-P, . Тензор будем называть тензором кривизны контактного многообразия.

Известно [8], что на контактном многообразии существует внутренняя симплектическая связность без кручения, сохраняющая 2-форму . Такую связность будем называть внутренней симплектической связностью. Внутренних симплектических связностей бесконечно много. Зафиксируем одну из них и обозначим ее коэффициенты .

Продолженные почти контактные метрические структуры на распределениях контактных многообразий с внутренней симплектической связностью

Распределение D контактного многообразия является гладким многообразием размерности 2n-1. Векторные поля

определяют [10, 12] на распределении D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы

соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

,

,

,

где - компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [12]:

.

Имеет место

Предложение 1. [12]. Пусть - внутренняя симплектическая связность с тензором кривизны Схоутена . Тогда для всех и имеют место следующие равенства

, (1)

, (2)

, (3)

. (4)

Определим на многообразии D почти контактную метрическую структуру , полагая:

, ,

.

Предложение 2. Пусть - связность Леви-Чивита на почти контактном метрическом многообразии D, тогда ее ненулевые коэффициенты в адаптированных координатах получают следующее представление:

,

,

,

,

Здесь .

При доказательстве предложения 2 используются равенства (1) - (4), а также выражения для коэффициентов связности:

,

где , , , .

Говорят, что почти контактная метрическая структура принадлежит классу [11], если выполняется равенство

.

Теорема. Продолженная почти контактная метрическая структура принадлежит классу тогда и только тогда, когда выполняется равенство

.

Доказательство теоремы проводится в координатах и опирается на равенство

.

внутренняя симплексная связность метрическая контактная структура

Список литературы

1. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении почти контактной метрической структуры // Математика. Механика. 2015. №.17. С.6-8.

2. Букушева А.В. Использование систем компьютерной математики для решения геометрических задач сложного уровня // Информационные технологии в образовании: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции. - Саратов: ООО "Издательский центр "Наука"". 2014. С.76-77.

3. Букушева А.В. Связности с кручением и неголономная геометрия // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2016. Материалы научной конференции, 11-15 апреля 2016 г. - СПб.: Изд. РГПУ им.А.И. Герцена, 2016. С.146-150.

4. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2015. № 46. С.58-62.

5. Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые симплектической связностью над распределением // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т.15. №2. С.136-141.

6. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т.17. № 2. С.138-147.

7. Галаев С.В. Почти контактные метрические многообразия с распределением нулевой кривизны // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2017. №6 (225). С.36-43.

8. Галаев С.В. О распределениях со специальной квази-сасакиевой структурой // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2017. №2 (39). С.6-17.

9. Паньженский В.И., Сухова О.В. Почти эрмитовы структуры на касательном расслоении почти симплектического многообразия // Изв. Вузов, Математика. 2007. №11. С.75-78.

10. Bukusheva A.V., Galaev S.V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov Series III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Т.4. №2. С.13-22.

11. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica pura ed applicata (IV). V. CLVI. 1990. P.15-36.

12. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Т.31. №1. С.35-46.

Размещено на Allbest.ru