Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет»

Кафедра «Экономическая кибернетика»

Курсовая работа

на тему "Численные методы"

Выполнила студентка Шайдурова А.В.

Руководитель работы Матафонова А.Н.

Хабаровск 2018

Содержание

• Задание
• Реферат
• Введение
• Глава 1. Теоретическая часть
• 1.1 Аппроксимация данных. Метод наименьших квадратов

Глава 2. Практическая часть

2.1 Выбор методов аппроксимации функции

2.2 Построение интерполяционного многочлена Ньютона

Вывод

Заключение

Список используемых источников

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Задание

1. Выбрать аппроксимирующие функции в зависимости от условия задачи, обосновать выбор. В случае метода наименьших квадратов вид приближающей функции определите по характеру точечного графика.

2. Аппроксимировать данные выбранными методами, определить погрешности аппроксимаций.

3. Построить графики функций: исходной, полученных аппроксимирующих и зависимостей погрешностей.

4. Провести анализ полученных результатов и выбрать оптимальную аппроксимирующую функцию.

5. Построить интерполяционный многочлен в форме Ньютона.

При построении интерполяционных многочленов использовать только четные узлы.

Вариант курсовой работы №2

xi	7.5	16.3	0.2	8.5	16.8	18.9	7.7	11.1	9.6	10
yi	1.1	6.4	10.9	12.5	5.9	15	15.5	2.1	15.5	16.8

Реферат

Курсовая работа содержит пояснительную записку на 25 листах формата А4, включающую 10 рисунков, 4 таблицы и 3приложения.

АППРОКСИМАЦИЯ, НЬЮТОН, ГРАФИКИ, ПОГРЕШНОСТИ, ФОРМУЛЫ, EXCEL, ТАБЛИЦЫ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, MAPLE 7.

Целью курсовой работы является научиться аппроксимировать данные выбранными методами, определить погрешности аппроксимаций, построить графики функций: исходной, полученных аппроксимирующих и зависимостей погрешностей и провести анализ полученных результатов и выбрать оптимальную аппроксимирующую функцию.

В процессе выполнения курсовой работы необходимо разработать аппроксимацию и интерполяцию по форме Ньютона.

Численные методы основываются на построении конечной последовательности действий над числами. Применение численных методов сводится к замене математических операций и отношений соответствующими операциями над числами, например, к замене интегралов суммами, бесконечных сумм - конечными и т.п. Результатом применения численных методов являются таблицы и графики зависимостей, раскрывающих свойства объекта. Численные методы являются продолжением аналитических методов в тех случаях, когда результат не может быть получен в явном виде. Численные методы по сравнению с аналитическими методами позволяют решать значительно более широкий круг задач.

Пояснительная записка выполнена с использованием программных пакетов Microsoft Word.

Введение

аппроксимация функция график зависимость

Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию пауки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.

В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом.

Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного решения и (функции или функционала) некоторой задачи мы находим решение у другой задачи, близкое в некотором смысле (например, по норме) к искомому. Основная идея всех методов -- дискретизация или аппроксимация (замена, приближение) исходной задачи другой задачей, более удобной для решения на ЭВМ, причем решение аппроксимирующей задачи зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно определить решение с требуемой точностью. Например, в задаче численного интегрирования такими параметрами являются узлы и веса квадратурной формулы. Далее, решение дискретной задачи является элементом конечномерного пространства

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Аппроксимация данных. Метод наименьших квадратов

Аппроксимация опытных данных - это метод, основанный на замене экспериментально полученных данных аналитической функцией наиболее близко проходящей или совпадающей в узловых точках с исходными значениями (данными полученными в ходе опыта или эксперимента). В настоящее время существует два способа определения аналитической функции:

- с помощью построения интерполяционного многочлена n-степени, который проходит непосредственно через все точки заданного массива данных. В данном случае аппроксимирующая функция представляется в виде: интерполяционного многочлена в форме Лагранжа или интерполяционного многочлена в форме Ньютона.

- с помощью построения аппроксимирующего многочлена n - степени, который проходит в ближайшей близости от точек из заданного массива данных. Таким образом, аппроксимирующая функция сглаживает все случайные помехи (или погрешности), которые могут возникать при выполнении эксперимента: измеряемые значения в ходе опыта зависят от случайных факторов, которые колеблются по своим собственным случайным законам (погрешности измерений или приборов, неточность или ошибки опыта). В данном случае аппроксимирующая функция определяется по методу наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов - математический метод, основанный на определении аппроксимирующей функции, которая строится в ближайшей близости от точек из заданного массива экспериментальных данных. Близость исходной и аппроксимирующей функции F(x) определяется числовой мерой, а именно: сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой F(x) должна быть наименьшей.

Метод наименьших квадратов используется:

- для решения переопределенных систем уравнений, когда количество уравнений превышает количество неизвестных;

- для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений;

- для аппроксимации точечных значений некоторой аппроксимирующей функцией.

Задача приближения функции заданного вида y = f (x) к ряду из n точек (xi , yi ) сводится к выбору таких параметров функции f (x) , при которых значение функции f (x) в точках xi не слишком сильно отличается от заданных значений yi , т.е. разности yi - f (xi) должны быть малы. Для оценки указанных разностей используется метод наименьших квадратов, согласно которому наилучшее приближение функции достигается при минимуме суммы квадратов разностей (1):

(1)

Считая, что функция f (x) имеет n параметров a1, a2 , ..., an , т.е. f (x) = f (x, a1, a2 , ..., an), получаем задачу о нахождении минимума функции нескольких переменных. Такая задача решается путём приравнивания нулю всех частных производных искомой функции по переменным a1, a2 , ..., an (2),

(2)

Если приближающая линия представляет собой прямую f (x, a, b) = a x +b , то имеем систему двух линейных уравнений (3)

(3)

Для аппроксимирующей линии параболического типа f (x, a, b, c) = ax2 +bx +c. Получаем систему трёх линейных уравнений (4)

(4)

В ряде случаев, когда аппроксимирующая кривая не является многочленом первой или второй степени, можно при помощи замены переменных свести её к многочлену. Например, для показательной функции y = ab x после логарифмирования имеем lg y = lg a + x lg b и после замены переменных q = lg y , z = x , p = lg b , s = lg a получаем линейное уравнение q = pz + s . После пересчёта qi= lg yi и zi = xi находим параметры р и s и по ним определяем a и b по обратным преобразованиям a =10s , b =10 p . В таблице 1 приведены замены переменных, которые сводят различные зависимости к линейным.

Таблица 1 - Замена переменных

Глава 2. Практическая часть

2.1 Выбор методов аппроксимации функции

Аппроксимация - построение приближённой функции, наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции. Такая задача возникает, когда в исходных данных существует погрешность или желательно упростить сложную математическую зависимость. Для решения задач аппроксимации важно выбрать критерий близости.

Имея исходные данные, представленные в таблице 2. Построим различные графики и с помощью параметра линии тренда рассмотрим различные вида аппроксимации, тем самым выберем для себя те, что подойдут.

Таблица 2 - Исходные данные

xi	7.5	16.3	0.2	8.5	16.8	18.9	7.7	11.1	9.6	10
yi	1.1	6.4	10.9	12.5	5.9	15	15.5	2.1	15.5	16.8

При рассмотрении выбираем график квадратичной и логарифмической функции. Квадратичная функция представлена на рисунке 1, на рисунке 2 представлена логарифмическая функция.

Рисунок 1 - Точечный график и тренд полиномиального вида

Рисунок 2 - Точечный график и тренд логарифмического вида

Выбор упал на эти графики, потому как они имеют наименьшую погрешность друг у друга. Аппроксимируем данные выбранными методами, определяем погрешности аппроксимаций.

Первым аппроксимируем логарифмическую функцию (5)

y= a*lgx + b (5)

С помощью использования замены переменных (таблица 1) по данной функции получаем: переменные q = y , z = lg x, p = a, s = b.

Логарифмуем x, результат работы представлен на рисунке 3

Рисунок 3 - Логарифмирование x

С заменой переменных составляем систему уравнений (6)

(6)

В результате получается система уравнения следующего вида (7)

p У z^2 + s У z = У z * q

p У z + s У 1 = У q (7)

Проводим нужные расчеты неизвестных переменных в таблице 3.

Таблица 3 - Расчет неизвестных переменных

n	z	q	z^2	z*q
1	0.875061	1.1	0.765732	0.962567
2	1.212188	6.4	1.469399	7.758001
3	-0.69897	10.9	0.488559	-7.61877
4	0.929419	12.5	0.86382	11.61774
5	1.225309	5.9	1.501383	7.229325
6	1.276462	15	1.629355	19.14693
7	0.886491	15.5	0.785866	13.74061
8	1.045323	2.1	1.0927	2.195178
9	0.982271	15.5	0.964857	15.2252
10	1	16.8	1	16.8
У	8.733554	101.7	10.56167	87.05677
У/n	0.873355	10.17	1.056167	8.705677

Полученные данные теперь подставляем в имеющуюся систему уравнений (8)

1.056167*p+0.873355*s=8.705677

0.873355*p+s=10.17 (8)

Для решения представленной системы воспользуемся программой Maple 7 рисунок 4.

Рисунок 4 - Решение системы с помощью Maple 7

Отсюда получаем p = -0.600996; s = 10.694883. Переводим в a, b: a = -0.600996; b=10.694883. Логарифмическая функция имеет вид (9)

Y = -0.600996*lg x + 10.694883 (9)

Далее рассмотрим степенную функцию. Степенная функция y = ax^b. Логарифмуем x, y - рисунок 5.

Рисунок 5 - Логарифмирование x, y

Используя туже систему вида составляем систему, которая будет выглядеть, таким образом, и, подставив свои данные, получаем систему (10)



s У z^4 + p У z^3 + e У z^2 = У z^2*q

s У z^3 + p У z^2 + e У z = У z*q

s У z^2 + p У z + e У 1 = У q

(10)

Производим расчет неизвестных переменных в виде таблицы 4.

Таблица 4 - Расчет неизвестных переменных

n	х	q	z^2	z^3	z^4	z*q	z^2*q
1	7.5	1.1	56.25	421.88	3164.06	8.25	61.88
2	16.3	6.4	265.69	4330.75	70591.18	104.32	1700.42
3	0.2	10.9	0.04	0.01	0.00	2.18	0.44
4	8.5	12.5	72.25	614.13	5220.06	106.25	903.13
5	16.8	5.9	282.24	4741.63	79659.42	99.12	1665.22
6	18.9	15	357.21	6751.27	127598.98	283.50	5358.15
7	7.7	15.5	59.29	456.53	3515.30	119.35	919.00
8	11.1	2.1	123.21	1367.63	15180.70	23.31	258.74
9	9.6	15.5	92.16	884.74	8493.47	148.80	1428.48
10	10	16.8	100.00	1000.00	10000.00	168.00	1680.00
У	106.6	101.7	1408.34	20568.56	323423.18	1063.08	13975.43
У/n	10.66	10.17	140.83	2056.86	32342.32	106.31	1397.54

Найденные данные так же подставляем в систему уравнения, что бы найти p, s (11)

32342.3*s+2056.8*p+104.8*e=1397.5

2056.8*s+140.8*p+10.6*e=106.3

140.8*s+10.66*p+e=10.17 (11)

С помощью программы Maple 7 находим переменные p, s рисунок 6.

Рисунок 6 - Нахождение p, s в Maple 7

Отсюда записываем данные и меняем переменные p = 0.018; s = -0.0356, e = 10,476, т.е. a = -0.0356, b = 0.018, c = 10.476

Таким образом, квадратичная функция представляется нам в следующем виде (12):

Y1 = -0,0356x^2+0.018x+10.476 (12)

Сделав аппроксимации две выбранных функции следует посмотреть их погрешность между собой. Для этого проводим следующие вычисления рисунок 7.

Рисунок 7 - Расчет погрешности квадратичной и логарифмической функции

Как видно логарифмическая функция имеет относительно меньшую погрешность, следовательно, лучше выбрать ее.

2.2 Построение интерполяционного многочлена Ньютона

Интерполяция, интерполирование - в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Выборка экспериментальных данных представляет собой массив данных, который характеризует процесс изменения измеряемого сигнала в течение заданного времени (либо относительно другой переменной). Для выполнения теоретического анализа измеряемого сигнала необходимо найти аппроксимирующую функцию, которая свяжет дискретный набор экспериментальных данных с непрерывной функцией - интерполяционным полиномом n - степени. Данный интерполяционный полином n - степени может быть записан, например, в форме Ньютона (один из способов представления).

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона - это математическая функция позволяющая записать полином n - степени, который будет соединять все заданные точки из набора значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки с постоянным/переменным временным шагом измерений. Форма Ньютона является удобной формой представления интерполяционного полинома n - степени, так как при добавлении дополнительного узла все вычисленные ранее слагаемые остаются без изменения, а к выражению добавляется только одно новое слагаемое. Следует отметить, что интерполяционный полином в форме Ньютона только по форме отличается от интерполяционного полинома в форме Лагранжа, представляя собой на заданной сетке один и тот же интерполяционный полином. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона представлен формулой (13)

 (13)

где n - порядок полинома, h - шаг (расстояние между узлами).

Так как логарифмическая функция содержит наименьшую погрешность, то для построения многочлена Ньютона возьмем ее.

Построение многочлена представлено на рисунке 8.

Рисунок 8 - Построение многочлена Ньютона

Используя формулу Ньютона (13) подставляем свои данные из таблицы.

Записываем уравнение P4(x) = 1,1+5,3/3,74*(x-0.2)-0.8/1!3,74^1*(x-0.2)(x-3.94)-2.1/2!3,74^2*(x-0.2)(x-3.94)(x-7.68)-3.2/3!3,74^3*(x-0.2)(x-3.94)(x-7.68)(x-11.42)+32.4/4!3,74^4*(x-0.2)(x-3.94)(x-7.68)(x-11.42)(x-15.16) = 1.1+ 1,42*(x-0.2)-0,21(x-0.2)(x-3.94)-0,075(x-0.2)(x-3.94)(x-7.68)-0,01(x-0.2)(x-3.94)(x-7.68)(x-11.42)+0,007*(x-0.2)(x-3.94)(x-7.68)(x-11.42)(x-15.16)

Раскроем скобки и приведем подобные, что бы сократить данное уравнение в более понятный вид. Получаем уравнение P4(x) = -6,92+44,24x-21.429x^2+3.795x^3-0.278x^4+0.007x^5

Подставим значения xi в получившееся уравнение, тем самым рассчитав x, так же найдем погрешность рисунок 9.

Рисунок 9 - Расчет и нахождение P4(x)

И построим график многочлена Ньютона, представленный на рисунке 10.

Рисунок 10 - График многочлена Ньютона

Вывод

Проделав аппроксимацию данных двух функций логарифмической и степенной с помощью использования методов наименьших квадратов, мы рассмотрели два варианта и на полученных данных для лучшего использования выбрали логарифмическую функцию, условием выбора данной функции стало наличие наименьшей погрешности, чего мы добивались в начале работы.

Так же используя логарифмическую функцию, провели проверку с помощью построения интерполяционного многочлена Ньютона.

Результатом работы является график, который должен показать, что линия проходит через все точки, однако построив график, был сделан вывод, что логарифмическая функция проходит и задевает почти все точки на заданном графике.

Заключение

Недостаток аналитических методов - использование целого ряда допущений и предположений в процессе построения математических моделей и невозможность, в некоторых случаях, получить решение в явном виде из-за неразрешимости уравнений в аналитической форме, отсутствия первообразных для подынтегральных функций и т.п. В этих случаях широко применяются численные методы.

Численные методы основываются на построении конечной последовательности действий над числами. Применение численных методов сводится к замене математических операций и отношений соответствующими операциями над числами, например, к замене интегралов суммами, бесконечных сумм - конечными и т.п. Результатом применения численных методов являются таблицы и графики зависимостей, раскрывающих свойства объекта. Численные методы являются продолжением аналитических методов в тех случаях, когда результат не может быть получен в явном виде. Численные методы по сравнению с аналитическими методами позволяют решать значительно более широкий круг задач.

Использование коммерческих пакетов (например, системы математического моделирования Mathcad, Matlab, Maple и т.д.), позволяют решать очень широкий круг задач. Использование различных скриптов к этим коммерческим пакетам также позволяет еще сильнее расширить их функционал.

Целью курсовой работы является закрепление практических навыков самостоятельного решения задач, развитие исследовательских способностей и умение пользоваться нормативной и справочной литературой, а так же системой математического моделирования на примере программы Maple 7.

Список используемых источников

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. Т. 1./Н.С. Бахвалов Численные методы - М.: Наука, 2008, - 632с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы./ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы - М.: Наука, 2001. - 600с.

3. Белашов В.Ю., Чернова Н.М. Эффективные алгоритмы и программы вычислительной математики./ В.Ю. Белашов, Н.М. Чернова Эффективные алгоритмы и программы вычислительной математики - Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997, - 160с.

4. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2./ И.С. Березин, Н.П. Жидков Методы вычислений. - М.: Физматгиз, 1962, - 180 с.

5. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование./ Ю.П. Боглаев Вычислительная математика и программирование. -М.: Высшая школа, 1990, - 240 с.

6. Бородич Л.И. и др. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики. / Л.И. Бородич и др. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики. - Мн.: "Высшая школа", 1986, -188с.

7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач./ Ф.П. Васильев Численные методы решения экстремальных задач.- М.:Наука, 1988, -552с.

8. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. / В.М. Вержбицкий Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. - М.: Высшая школа, 2005, - 266с.

9. Волков Е.А. Численные методы. / Е.А. Численные методы.- М.: Наука, 1987. - 254с.

10. Демидович В.М., Марон Б.В. Численные методы вычислительной математики./ В.М. Демидович, Б.В. Марон. - М.: Высшая школа, 1962, -216с.

11. Дорот В.Л., Троицкий В.А., Шелест В.Д. Элементы вычислительной математики./ В.Л. Дорот, В.А. Троицкий, В.Д. Шелест Элементы вычислительной математике. - М.: Изд-воЛПИ им. Калинина, 1977, - 244с.

12. Жевняк Р.М., Карпович С.Е., Карпук А.А., Сорко С. Численные методы решения задач на ПЭВМ. Пособие в 2-хчастях. Ч.1./ Р.М. Жевняк, С.Е. Карпович, А.А. Карпук, С. Сорко Численные методы решения задач на ПЭВМ. - МН.:УП «Технопринт», 2004, -150с.

13. Жевняк Р.М., Карпович С.Е., Карпук А.А., Сорко С. Численные методы решения задач на ПЭВМ. Пособие в 2-хчастях. Ч.2./ Р.М. Жевняк, С.Е. Карпович, А.А. Карпук, С. Сорко Численные методы решения задач на ПЭВМ - МН.:УП «Технопринт», 2005, -235с.

14. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. ?Вычислительные методы?. /В.И. Крылов, В.В.Бобков, П.И. Монастырный. - М.:Наука,1976, - 321с.

15. Молчанов И.Н. Машинные методы решения прикладных задач. Алгебра, приближение функций. / И.Н. Молчанов Машинные методы решения прикладных задач. - Киев: Наукова думка, 1987. - 288с.

16. Пирумов У.Г. Численные методы . / У.Г. Пирумов Численные методы. - М.: Дрофа, 2003.- 224 с.

17. Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы и решение уравнений./ В.А .Буслов, С.Л. Яковлев Численные методы и решение уравнений. - Санкт-Петербург.:Фонд, 2001.- 44 с.

18. Тюканов, А.С. Основы численных методов./ А.С. Тюканов Основы численных методов. - Изд-во.: РГПУ им. А.И. Герцена, 2007. - 226с.

Приложение А

Расчет логарифмической функции

Расчет квадратичной функции

Приложение Б

Расчет погрешности между логарифмической и квадратичной функции

Построение интерполяционный многочлен Ньютона

Расчет x через форму Ньютона

Приложение В

Рис. График интерполяционный многочлен в форме Ньютона

Размещено на Allbest.ru

...