Изучение построений сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах
Изучение методов построения сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах. Предложен метод разложения выражения для нормы гиперкомплексного числа на исходное число и произведение всех сопряженных к нему. Построение итоговых систем уравнений.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.01.2019 |
| Размер файла | 30,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, Т. В. Синькова
Размещено на http://www.allbest.ru/
14
Математичні методи обробки даних
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2002, Т. 4, № 2 11
Изучение построений сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах
М.В. Синьков, Я.А. Калиновский, Т.Г. Постникова, Т.В. Синькова
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
Продолжено изучение методов построения сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах. Предложен метод разложения выражения для нормы гиперкомплексного числа на исходное число и произведение всех сопряженных к нему.
Ключевые слова: гиперкомплексная числовая система, сопряженный элемент, норма, мнимая единица.
В первой части статьи [1] рассматривались методы построения сопряженных элементов, основанные на симметриях гиперкомплексного пространства. Как показано, этот подход не всегда эффективен.
Более общий подход основан на использовании выражения для нормы гиперкомплексного числа, которая, как показано в работе [2], определятся:
, (1)
где -- структурные константы рассматриваемой гиперкомплексной числовой системы (ГЧС). Для сопряженных элементов a, ac1, …, ac, n-1 должно выполняться равенство:
, (2)
где Е -- единичный элемент рассматриваемой ГЧС. Пусть
k = 1, …, n - 1. (3)
Подставляя (3) в (2) и приравнивая выражения при одинаковых базисных элементах, получим систему из (n - 1)-го алгебраического уравнения от n(n - 1) неизвестного. Решение такой системы может оказаться весьма затруднительным. В принципе она может не иметь ни одного вещественного решения. Добиться упрощения этой системы и уменьшения числа неизвестных можно, используя особенности структуры конкретной ГЧС. Рассмотрим пример.
Пусть, задана ГЧС вида R C. Ее таблица умножения:
|
e1 |
e2 |
e3 |
||
|
e1 |
e1 |
0 |
0 |
|
|
e2 |
0 |
e2 |
e3 |
|
|
e3 |
0 |
e3 |
-e2 |
Единичный элемент этой системы
Е = е1 + е2 (4)
не содержится в базисе {е1, е2, е3}. Норма числа в этой ГЧС, вычисленная по (1), будет:
.
сопряженный гиперкомплексный числовой уравнение
Так как в этой ГЧС содержится система комплексных чисел, то следует ожидать, что одним из сопряженных элементов есть сопряжение, аналогичное сопряжению в системе комплексных чисел: если
,
.
Относительно сопряженного элемента никаких предположений нет. Поэтому
.
Вычисляем уравнение (2) при помощи (3) с учетом (4):
.
Приравнивая выражения при одинаковых базисных элементах, получаем систему:
Решение существует и оно единственное:
Таким образом, совокупность сопряженных имеет вид:
;
;
.
Следует отметить, что их сумма не есть вещественное число или его аналог, а это является важным свойством операции сопряжения [1].
И, наконец, если относительно вида сопряженных нет никаких предварительных соображений и уравнение (2) не имеет вещественных решений, то можно найти не сами сопряженные элементы, а их произведение, то есть, положив в (2) произведение
(5)
Так как (2) превратится в линейную систему, то можно определить . Это даст возможность записать вид произведения всех сопряженных элементов, что достаточно для выполнения операции деления:
. (6)
Как видно из (6) деление возможно, так как в знаменателе -- вещественное число или его аналог в данной ГЧС. При этом напомним, что перед операцией деления необходимо проверить, не является ли число а делителем нуля, так как в этом случае N(a) = 0 и деление на а невозможно.
Рассмотрим пример. Пусть дана ГЧС с таблицей умножения
|
e1 |
e2 |
e3 |
е4 |
||
|
e1 |
e1 |
e2 |
e3 |
е4 |
|
|
e2 |
е2 |
-e1 |
е4 |
-e3 |
|
|
e3 |
е3 |
е4 |
0 |
0 |
|
|
е4 |
е4 |
-е3 |
0 |
0 |
Норма по (1) имеет вид:
С учетом (5) уравнение (2) превратится в систему:
Ее решение даст вид произведения сопряженных элементов:
Выводы
При рассмотрении вопроса о построении сопряженных для произвольных ГЧС могут встретиться два случая:
а) вариант, когда можно определить вид всех сопряженных данному гиперкомплексному числу;
б) вариант, когда можно определить только некоторую величину, равную произведению всех сопряженных.
В любой ГЧС произведение всех сопряженных (по п. а и б) и исходного гиперкомплексного числа равно норме, умноженной на единичный элемент этой ГЧС.
Существуют ГЧС, для которых сумма всех сопряженных и исходного числа не равна вещественному числу или его аналогу.
Литература
Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Изучение построений сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах. Часть1 // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 2002. -- Т. 4. -- № 1. -- С. 38-42.
Развитие и исследование методов гиперкомплексных числовых систем применительно к моделированию систем уравнений для широкого класса задач: Отчет о НИР (заключ.) / Институт проблем регистрации информации НАН Украины; № ГР 0193V002037. -- К., 1993. -- 192 с.
Catoni F. Hypercomplex numbers, Functions of hypercomplex variable and Physical Fields (RT/ERG/94/18). Online:http//www.studi131.casaccia.enea.it/enea/it/rt/exg9418.html (1994).
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Реализация алгоритма метода сопряженных градиентов с матрично-векторным произведением по строкам в модели обмена сообщениями на языке программирования С++ с применением MPI для нахождения приближенного решения системы линейных алгебраических уравнений.
курсовая работа [107,7 K], добавлен 01.12.2010Применение методов минимальных невязок, минимальных поправок, скорейшего спуска, сопряженных градиентов. Алгоритмы и блок-схемы решения. Выбор размерности матрицы системы и требуемой точности. Зависимость количества итераций от размерности матрицы.
курсовая работа [582,8 K], добавлен 21.01.2014Изучение численных методов решения нелинейных уравнений. Построение годографа АФЧХ, графиков АЧХ и ФЧХ с указанием частот. Практическое изучение численных методов интегрирования дифференциальных уравнений высокого порядка, метод Рунге-Кутта 5-го порядка.
курсовая работа [398,3 K], добавлен 16.06.2009Сравнение правой и центральной разностной производной на примере минимизации функции нескольких аргументов методом сопряженных градиентов. Проведение ряда расчетов с целью определения отличий центральной разностной производной. Таблица количеств итерации.
лабораторная работа [977,8 K], добавлен 19.04.2015Промышленные ЭВМ как нерезервированные восстанавливаемые объекты. Расчетно-логическая схема нерезервированного устройства - цепочка последовательных элементов, отказ любого из которых приводит к отказу устройства. Анализ числовых показателей надежности.
реферат [896,6 K], добавлен 06.02.2011Нахождение стационарной точки. Расчет безусловного экстремума функции методами прямого поиска. Графическое пояснение метода равномерного симплекса. Метод поиска Хука-Дживса. Метод сопряженных направлений Пауэлла. Разработка программного модуля расчетов.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 16.09.2012Определения "ряд" и "сумма ряда". Свойства и сходимость сумм числового ряда. Основные методики приближенного нахождения суммы бесконечных рядов. Методы расчета сумм числовых рядов и формулы суммирования. Особенности разложения по специальным функциям.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 09.01.2017Построение математической модели динамической системы, на которую воздействует возмущающая сила, сила жесткости пружины и сила сопротивления демпфера. Применение числовых методов в математическом моделировании. Решение систем уравнений и неравенств.
курсовая работа [723,0 K], добавлен 28.10.2013Эвристические и теоретические методы прямого поиска. Алгоритм поиска значения по симплексу и по образцу. Основная идея метода сопряженных направлений Пауэлла. Ознакомление с преимуществами и недостатками методов безусловной многопараметровой оптимизации.
презентация [862,9 K], добавлен 30.10.2013Построение математической модели, описывающей процесс распространения пассивных загрязняющих веществ от сосредоточенных источников. Использование аппарата сопряженных задач для определения безопасных зон размещения объектов, загрязняющих атмосферу.
дипломная работа [711,0 K], добавлен 18.07.2014Инструментальные средства и технологии. Разработка интерактивных решений. Преимущества WPF, как языка программирования. Разработка автоматизированной информационной системы. Метод сопряженных градиентов. Переход между шаблонами в ходе презентации.
отчет по практике [493,0 K], добавлен 10.06.2013Разработка программы обработки числовых последовательностей с кодом на языке Pascal, которая должна выполнять функции ввода количества чисел с клавиатуры, перебора всех возможных сочетаний элементов, определения их сумм и вывода информации на экран.
практическая работа [432,0 K], добавлен 09.04.2010Минимизация квадратической функции на всей числовой оси методами Ньютона, наискорейшего спуска и сопряженных направлений. Нахождение градиента матрицы. Решение задачи линейного программирования в каноническом виде графическим способом и симплекс-методом.
контрольная работа [473,1 K], добавлен 23.09.2010Задачи обработки и хранения информации при помощи ЭВМ. Сжатие и кодирование информации в информационно-вычислительных комплексах. Метод Лавинского как простейший метод сжатия информации (числовых массивов) путем уменьшения разрядности исходного числа.
курсовая работа [66,0 K], добавлен 09.03.2009Методика и основные этапы построения ранжированных переменных, сферы и особенности их практического применения. Порядок построения графиков в декартовой системе. Приведение примеров решение нелинейных уравнений и их систем при помощи решающего блока.
контрольная работа [364,4 K], добавлен 27.03.2011Изучение методов решения нелинейных уравнений таких как: метод Ньютона, модифицированный метод Ньютона, метод Хорд, метод простых Итераций. Реализация программы для персонального компьютера, которая находит решение нелинейного уравнения разными способами.
практическая работа [321,9 K], добавлен 24.06.2012Изучение характеристик, классификации, функций и основных элементов экспертных систем. Исследование их структуры и отличительных особенностей от другого программного обеспечения. Описания методов проектирования и области применения экспертных систем.
реферат [38,1 K], добавлен 18.09.2013Заполнение массива из целых чисел с присвоением элементам разных значений. Варианты программы с использованием различных операторов организации циклов. Определение квадрата максимального из четных элементов массива и общего числа нулевых элементов.
лабораторная работа [259,3 K], добавлен 14.05.2011Характеристика методов представления заданных чисел в двоичной, шестнадцатеричной, восьмеричной системе счисления. Представление указанного числа в четырехбайтовом IEEE формате. Разработка алгоритма обработки одномерных и двумерных числовых массивов.
контрольная работа [138,9 K], добавлен 05.06.2010Расчет трансформатора питания по приближенным зависимостям. Численное решение нелинейных уравнений с заданной точностью. Расчет числовых значений и построение графиков амплитудно-частотной характеристики колебательного контура по координатам точек.
курсовая работа [120,2 K], добавлен 08.01.2016
