Об автоматизированном проектировании системы программно-аппаратных средств на базе гиперкомплексных чисел для задач ориентации твердого тела. Часть 2

М. Ф. Будённый, Я. А. Калиновский, А. П. Панов,

А. И. Петренко,Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова

Размещено на http://www.allbest.ru//

78

Размещено на http://www.allbest.ru//

Об автоматизированном проектировании системы программно-аппаратных средств на базе гиперкомплексных чисел для задач ориентации твердого тела. Часть 2

М. Ф. Будённый

Рассмотрены алгоритмы вычислений промежуточных параметров ориентации при вычислениях кватернионов вращений в бесплатфор-менных инерциальных навигационных системах (БИНС). Приведены результаты численного моделирования основных характеристик алгоритмов -- точности и быстродействия для случаев конических и прецессионных колебаний подвижного объекта или блока гироскопов БИНС. Среди пяти рассматриваемых четырехшаговых алгоритмов четвертого порядка определен алгоритм, лучший по точности и быстродействию.

Ключевые слова: кватернионы ориентации, вычислительные алгоритмы, гироскопы, бесплатформенные инерциальные системы навигации и ориентации, конические и прецессионные колебания твердого тела.

численный моделирование алгоритм точность

Данная статья является продолжением и развитием статьи [1], в которой были рассмотрены гиперкомплексные числа [2-4] -- нормированные кватернионы Л вращения подвижного объекта как твердого тела. В качестве компонент кватернионов Л использовались параметры Родрига-Гамильтона (параметры Эйлера). Была показана возможность вычислений кватернионов в бортовых цифровых вычислительных машинах (БЦВМ) бесплатформенных инерциальных систем ориентации (БИСО) по угловым квазикоординатам -- сигналам интегрирующих гиро-скопов БИСО.

В [1] были приведены четырехшаговые алгоритмы четвертого порядка точности, обеспечивающие возможность рекуррентных вычислений кватернионов с временным шагом H = 4h. Здесь h -- постоянный и минимально возможный шаг дискретизации квазикоординат по времени t.

В этих алгоритмах использовались промежуточные параметры ориентации -- координаты (k = 1, 2, 3) малого вектора , характеризующего конечное эйлерово вращение объекта на некоторый малый угол за шаг H.

Рассмотренные в [1] и исследованные далее четырехшаговые алгоритмы вычислений кватернионов представляют особый интерес при создании системы автоматизированного проектирования (САПР) БИСО и систем управления ориентацией подвижных объектов.

М. Ф. Будённый, Я. А. Калиновский, А. П. Панов,

А. И. Петренко,Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова

Размещено на http://www.allbest.ru//

78

Размещено на http://www.allbest.ru//

Рис. 1. Блок-схема бесплатформенной инерциальной системы

управления ориентацией подвижного объекта

Блок-схема бесплатформенной инерциальной системы управления ориентацией некоторого подвижного объекта (например, космического аппарата) с испо-льзованием вычисляемых в БИСО кватернионов представлена на рис. 1. В этой блок-схеме (в соответствии с алгоритмами статьи [1]) основными являются: блок-программа вычислений промежуточных параметров малых конечных эйле-ровых вращений; блок-программа вычислений компонент кватер-нионов малых конечных эйлеровых вращений; блок-программа вычислений компонент кватернионов результирующих («больших») конечных эйлеровых вращений объекта относительно некоторого опорного (инерциального) координатного базиса I [2].

Пять приведенных в [1] четырехшаговых алгоритмов четвертого порядка точ-ности для вычислений на каждом шаге H = 4h матрицы (см. [1]) могут быть представлены одним обобщенным алгоритмом

(1)

где , -- столбцевые матрицы, составленные из приращений соответствующих угловых квазикоординат (сигналов гироско-пов), сформированных в БЦВМ на четырех последовательных «малых» шагах h [5], -- кососимметрические матрицы, удовлетворяющие условию [1, 5].

Значения постоянных коэффициентов (v = ) в (1), определяющие конк-ретный вид пяти алгоритмов из [1], представлены в табл. 1 в виде обыкновенных дробей. Отметим, что алгоритмы 1-3 приведены, например, в монографии [5], алгоритм 4 -- в статье [6], а алгоритм 5 -- в [7, 8].

Таблица 1. Значения постоянных коэффициентов четырехшаговых алгоритмов

Асимптотические оценки локальных погрешностей алгоритмов 1-5 имеют четвертый порядок с точности (с = 4) относительно шага h (в общем случае) и записываются в обобщенном виде [2]

(2)

где

, , , ,

;

;;

(i = 1, 2, 3 ) -- координаты вектора абсолютной угловой скорости вращения объекта относительно базиса I, (k = 1, 2, 3) -- производные по времени t от матриц , взятые в середине шага Н.

Значения постоянных коэффициентов в оценке (2) для алгоритмов 1-5 представлены в табл. 2. Методика получения этих коэффициентов приведена в [5]. При этом показано, что эти коэффициенты входят также в асимптотические оценки постоянной скорости вычислительного дрейфа любых алгоритмов 4-го порядка точности в случае прецессионного движения объекта. В общем случае скорость дрейфа ua определяется выражением [5]

(3)

где

(4)

;

Таблица 2. Значения коэффициентов в оценках локальных погрешностей алгоритмов и оценки количества арифметических операций в алгоритмах.

Здесь [5]м -- постоянная скорость прецессии объекта; -- постоянная скорость собственного вращения объекта (f -- частота вращения или колебаний объекта в герцах); -- угол нутации.

При этом координаты щi вектора угловой скорости определяются соотношениями

(5)

В табл. 3 приведены значения постоянной скорости вычислительного дрейфа алгоритмов 1-5 при е = -1 (когда м = -н) и е = 0,5, и при значениях параметров , f из работы [6]. Случай е = -1 при малых значениях соответствует так называемым коническим колебаниям объекта (как твердого тела с одной неподвижной точкой) [5-8], а случай е = 0,5 соответствует одному из возможных вариантов прецессионных колебаний объекта [5].

Таблица 3. Значения постоянной скорости вычислительного дрейфа (в град/ч) алгоритмов при = 1 град., f = 10 гц, H = 0,01 с.

В табл. 3 даны значения ua, полученные по асимптотическим оценкам, и значения u*, полученные методом параллельного счета [5]. В соответствии с этим методом моделируется на персональной ЭВМ точное решение кватернионных кинематических уравнений [1, 5] и параллельно моделируется на ЭВМ по специальным программам САПР БИСО работа кватернионных алгоритмов с использованием алгоритмов табл. 1.

Из табл. 3 видна достаточно высокая точность асимптотических оценок типа (3), что подтверждает возможность их эффективного использования при создании САПР БИСО, как отмечено в статье [1]. Табл. 3 также показывает, что алгоритмы под номерами 3 и 5 при конических колебаниях объекта (для е = -1) имеют фактически шестой порядок точности с (а не четвертый, как в случае е = 0,5), что следует из результатов работы [5]. Алгоритмы 3 и 5 существенно превосходят в точности алгоритмы 1, 2, 4 при е = -1 и являются, по существу, так называемыми коническими алгоритмами [7, 8].

В статье [1] отмечалось, что предварительный сравнительный анализ быстродействия алгоритмов 1-3 и алгоритмов 4, 5 показал, что на прецессионных движениях объекта (в отличие от конических движений) алгоритмы 1-3 более эффективны, чем 4, 5. Этот анализ подтверждают табл. 4, 5, где [u] -- заданная постоянная скорость вычислительного дрейфа; ва -- значения максимальной вычислительной загрузки БЦВМ, полученные по соответствующим асимптоти-ческим оценкам [5]; в* -- значения максимальной вычислительной загрузки БЦВМ, полученные по методике, приведенной в [5] и использующей метод парал-лельного счета.

Таблица 4. Значения максимальной вычислительной загрузки (в тыс.оп./с) БЦВМ при = 1 град., f = 10 гц, [u] = 10-3 град/ч, m = 5

Таблица 5. Значения максимальной вычислительной загрузки (в тыс.оп./с) БЦВМ при = 1 град., f = 10 гц, [u]=10-5 град/ч, m = 5

При вычислениях значений в*, ва использовались оценки sц, uц вычислительной сложности алгоритмов 1-5, приведенных в табл. 2 (здесь sц -- количество операций сложения в алгоритме, uц -- количество операций умножения). При этом общее количество уц операций типа сложения определялось по формуле [5]

уц = sц, + muц, (6)

где -- отношение времени выполнения операции умножения ко вре-мени выполнения операции сложения чисел в некоторой условной БЦВМ. По аналогии с (6) определялась вычислительная сложность полных алгоритмов вы-числений кватернионов результирующих вращений с учетом результатов работы [5].

Существенное отличие результатов, приведенных в табл. 4 и 5, заключается в различных требованиях к заданной точности вычислений кватернионов, а именно -- в значениях [u] -- заданной постоянной скорости вычислительного дрейфа. При задании значений [u] в табл. 4, 5 предполагалось также, как и в [5], что по-грешности алгоритмов должны быть на порядок (~ в 10 раз) меньше погрешнос-тей, используемых в БИСО или БИНС гироскопов.

Заданное в табл. 4 значение [u] = 10-3 град/ч соответствует, следуя работе [9], применению в БИНС кольцевых лазерных гироскопов и динамически настраивае-мых гироскопов, имеющих скорость дрейфа порядка 10-2 град/час. Область при-менения таких гироскопов -- автономная навигация подводных лодок, навигация крылатых ракет типа воздух/земля -- море [9], а также самолетная навигация [10, 11].

Как следует из табл. 4, наиболее эффективными (по быстродействию) алго-ритмами при заданных условиях вычислений являются: при конических колеба-ниях -- алгоритм 3, а в общем случае прецессионных колебаний -- алгоритм 1.

При оценках вычислительной загрузки БЦВМ необходимо учитывать, что все арифметические операции в ней должны выполняться с числами, имеющими не менее 32-х разрядов, чтобы обеспечить погрешности [u] вычислений кватернионов на уровне 10-2 град/час (ошибки округления чисел) [5].

Приведенное в табл. 5 значение [u] = 10-5 град/час соответствует перспективным БИНС и БИСО, в которых будут использоваться гироскопы, имеющие скорость дрейфа порядка град/час. Такие гироскопы необходимы, например, для построения БИНС стратегических ракет [9], а также для построения высокоточных авиационных БИНС.

Из табл. 5 видно, что наиболее эффективным по быстродействию при кони-ческих колебаниях остается алгоритм 3, а в общем случае прецессионных колеба-ний наиболее быстродействующим остается алгоритм 1.

Заметим, что значения вычислительной загрузки в табл. 5 могут быть обеспечены только при достаточно большой разрядности чисел в БЦВМ (существенно превышающей 32 разряда, необходимых для обеспечения значений загрузки БЦВМ в табл. 4).

Из табл. 3-5 следует вывод, что алгоритм 4 (четвертого порядка), полученный в [6] на основе полиномов Чебышева, уступает простейшим алгоритмам 1, 2 (тоже четвертого порядка) как в точности, так и в быстродействии, и особенно существенно уступает по этим характеристикам алгоритму 3, полученному по методике работы [5].

Алгоритм 3 при конических колебаниях, характеризуемых условиями при (или при ), является фактически алгоритмом 6-го порядка точности, поскольку из (3) следует при любых значениях н,и h.

Оценка локальной погрешности алгоритма 3 имеет при конических колебаниях порядок малости 0(h7) и следует из работы [5].

Для алгоритма 5 при конических колебаниях также имеем , но оценка локальной погрешности порядка 0(h7) имеет, как легко показать, другие числовые коэффициенты, не дающие преимуществ алгоритму 5 (также шестого порядка) перед алгоритмом 3 ни в точности, ни в быстродействии.

Заметим, что именно алгоритм 3 был реализован в инерциальной системе «БИНС-85», серийно выпускающейся в России с 2002 г. и предназначенной для использования на гражданских магистральных самолетах типа ИЛ-96-300, ТУ-204 и их модификаций, а также на самолетах ТУ-334 [11].

Результаты моделирования, приведенные в табл. 4, 5, показывают, что использование «оптимального» алгоритма 3 вместо, например, алгоритмов 1, 2, 4 (четвертого порядка) позволяет резко снизить загрузку БЦВМ при конических колебаниях объекта (или блока гироскопов) или существенно уменьшить требования к быстродействию БЦВМ, используемых в БИНС или БИСО.

Подчеркнем, что в табл. 3-5 значения параметров , f, являющихся основ-ными характеристиками конических колебаний блоков гироскопов в БИНС, взяты в качестве примера из работы [6]. Этим значениям ( = 10, f = 10 гц) однозначно соответствуют значения скорости вычислительного дрейфа (табл. 3) и значения вычислительной загрузки БЦВМ или требования к быстродействию БЦВМ (при заданных значениях [u] в табл. 4, 5). В работе [10], например, отмечается, что конические колебания могут возникать в местах крепления гироскопов (в амор-тизаторах) и частота f таких колебаний может достигать 4000 гц.

Это подчеркивает вопрос о том, каковы должны быть характеристики БЦВМ для обеспечения значений скоростей вычислительного дрейфа, указанных в табл. 4, 5, при f = 4000 гц. Предполагается [10], что для этих целей потребуются БЦВМ с быстродействием млн. коротких операций в секунду. В одной БИНС должны быть установлены две или три БЦВМ.

Важным является также вопрос о том, с какими частотами должны «опрашиваться» бортовой ЦВМ гироскопы для обеспечения заданной скорости вычислительного дрейфа алгоритмов БИНС или БИСО.

Литература

1.Будьонний М.Ф., Каліновський Я.О., Панов А.П., Петренко А.І., Постнікова Т.Г., Синьков М.В., Синькова Т.В. Про автоматизоване проектування системи програмно-апаратних засобів на базі гіперкомплексних чисел для задач орієнтації твердого тіла. Частина 1 // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 2001 -- Т. 3. -- № 4. -- С. 73-83.

2.Синьков М.В., Губарени Н.М. Непозиционные представления в многомерных числовых системах. -- К.: Наук. думка, 1979. -- 136 с.

3. Sinkov M.V., Kalinovsky Y.A., Roenko N.V. Building Nonlinear Functions in Quaternion and Other Hypercomplex Number Systems for the Solution of Applied Mecanics Problem // Proc. of the First Int. Conf. On parallel processing and appl. -- Poland. -- 1994, Math. --- Р.170-177.

4. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Роенко Н.В. Методы построения нелинейностей в расширениях комплексных чисел // Кибернетика и системный анализ.-- 1996 -- № 4 -- С. 178-181.

5. Панов А.П. Математические основы теории инерциальной ориентации. -- К.: Наук. думка, 1995. -- 279 с.

6. Gusinsky V.Z., Lesyuchevsky V.M., Litmanovich Yu.A., Musoff Howard and Schmidt George T. A New Procedure for Optimized Strapdown Attitude Algorithms // Journal of Guidance, Control and Dynamics. -- 1997. -- Vol. 20. -- N 4. -- Р. 673-680.

7. Ignagni M.B. Duality of Optimal Sculling and Coning Compensation Algorithms // Navigation: Journal of the Institute of Navigation. --1998, Summer. -- Vol. 45. -- N 2. -- Р. 85-95.

8. Марк Дж., Тазартес Д. Конические алгоритмы, учитывающие неидеальность частотной характеристики выходных сигналов гироскопов // Гироскопия и навигация. -- 2000. -- № 1 (28). -- С. 65-77.

9. Бабур Н., Шмидт Дж. Направления развития инерциальных датчиков // Гироскопия и навигация. -- 2000. -- № 1 (28). -- С. 3-15.

10. Златкiн Ю.М., Ігнатьєв В.Г., Калногуз А.М., Кириченко А.Ф., Черкашин В.Д. Стан розробки та тенденції розвитку авіаційних безкарданних інерціальних навігаційних систем // Механіка гіроскопічних систем. -- 1997. -- Вип. 14. -- С. 112-119.

11. Крюков С.П., Чесноков Г.И., Троицкий В.А. Опыт разработки и сертификации бесплатформенной инерциальной навигационной системы для гражданской авиации (БИНС - 85) и создания на ее основе модификаций для управления движением морских, наземных и аэрокосмических объектов и задач геодезии и гравометрии // Материалы IX Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам. -- 2002, 27-29 мая. -- С. 190-197 (доклады на русском языке).

Размещено на Allbest.ru