Повышение эффективности вычислений при реконструкции изображений для томографов с веерной геометрией сканирования

А. И. Закидальский, М. В. Синьков, А. А. Чапор, Т. В. Синькова

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 519.68, 620.179.15, 681.3

Институт проблем регистрации информации НАН Украины

Повышение эффективности вычислений при реконструкции изображений для томографов с веерной геометрией сканирования

А.И. Закидальский

М.В. Синьков

В статье «Перспективы развития алгоритмической базы компьютерной томографии» настоящего журнала № 1 было показано, что среди методов получения 3D реконструкционных изображений заметное место занимает метод, основанный на получении последовательности двумерных сечений с последующей их интерполяцией. При этом основная доля производительности ложится на реконструкционный алгоритм в двумерном случае. Поэтому в этой статье будет показан эффективный метод реализации двумерных изображений, полученных в веерных лучах.

Основные соотношения для веерной геометрии сканирования

Веерная геометрия сканирования обладает рядом преимуществ при технической реализации. Это наличие только вращательного движения, высокая эффективность использования источника излучения, возможность расположения большого числа детекторов. В итоге такие томографы обладают высокой производительностью. Однако обработка результатов сканирования сопряжена с повышенным объемом вычислений из-за конечного удаления точечного излучателя от объекта сканирования. В первую очередь это связано с задачей обратного проецирования. Что касается свертки, то объем вычислений при веерной геометрии сканирования практически совпадает с объемом вычислений для случая параллельных лучей.

В случае веерной геометрии сканирования, конечном числе положений системы (М) и числе отсчетов в проекции (детекторов) восстановленное значение некоторой функции определяется выражением:

M 1

f (x,y) g j ()

J=1 S2

где x, y -- координаты точки объекта;

-- шаг по углу поворота = ;

g j -- значение свернутой проекции в j-ом положении;

-- угол луча, проходящего через точку (x, y), по отношению к центральному лучу веера.

Основное внимание при разработке эффективных методов обработки результатов при веерной геометрии сканирования должно быть уделено нахождению весового коэффициента вклада (1 / S2) и адреса необходимого значения свернутой проекции ().

S2 ( sin + x)2 + ( cos - y)2

xcos + ysin

= arctg

+ xsin - ycos

где x, y -- координаты неподвижного объекта;

-- угловое положение сканирующей системы относительно оси у;

-- радиус траектории вращения излучателя;

S -- расстояние от точки (x, y) объекта до излучателя.

Реконструкция матрицы размером Мт Мт потребует порядка М Мт Мт реализаций (2), (3), (1). Непосредственное вычисление 1/S2 и по выражениям (2), (3) при реконструкции для реально используемых значений М, Мт приводит к чрезмерным затратам времени. Рассматривались различные способы решения данной задачи, основанные на различных подходах к упорядочиванию вычислений. Это ход по лучу, только по строкам или по строкам и столбцам, а также «перепаковка» данных сканирования для получения нового эквивалентного набора данных с параллельными лучами. Ход по лучу позволяет исключить вычисление . В данном случае для фиксированного значения выбирается значение свернутой проекции соответствующего квазидетектора с шириной апертуры . Методом оценочной функции при последовательном переборе по одной из координат определяют принадлежность очередной точки сегменту .

Изменение S происходит с фиксированным шагом S. Весовой коэффициент 1/S2 определяется табличным способом.

Программная реализация требует 5 операций суммирования и одного умножения на каждую точку матрицы данного положения сканирующей системы. Реализация хода по лучу в программном варианте для больших матриц требует сравнительно много времени.

Перепаковка позволяет свести решение задачи при веерном сканировании к задаче с параллельными лучами.

Угол наклона луча к оси y зависит от угла поворота = k и угла = i: томографический изображение сканирование веерный

= k + i.

В частности, при = при сортировке получим те же значения направлений и отсчетов в проекции с параллельными лучами.

Тогда для направления l = / выполняется соотношение l = k + i, позволяющее выбрать в положении системы k требуемый отсчет i-го детектора (Nd = 2q + 1,- q i q).

При равномерном расположении детекторов по углу в исходной проекции в перепакованой проекции получим неравномерное положение отсчетов. Для восстановления отсчетов на равномерной сетке по S перепакованной проекции необходимо выполнить интерполяцию. Для отсчета j необходимо учесть вклад i-го детектора.

Вес его равен

Точность восстановления j-го отсчета зависит от числа учитываемых вкладов ближайших детекторов.

В целом, при перепаковке для корректного восстановления отсчетов на равномерной сетке для параллельных лучей требуется довольно трудоемкая интерполяция. Существенным недостатком перепаковки является то, что реконструкция не может быть начата, пока не будет получено необходимое число исходных данных.

Вычисление весового коэффициента 1/S2. Модификация свернутых проекций

Непосредственное определение весового коэффициента вклада сопряжено с большими вычислительными затратами. Для каждой точки матрицы данного положения сканирующей системы весовой коэффициент 1/S2 является сложной функцией 3-х переменных (x,y,), что затрудняет использование табличных способов вычислений. При упорядоченном вычислении по строке (столбцу) расстояние от источника излучения до соответствующей строки (столбца) остается неизменным. Угол наклона луча , проходящего через точку (x,y), составляет величину + к оси y.

Следовательно:

Учитывая, что S2 = ( sin + x)2+( cos - y)2 , после преобразований получим:

Тогда величина вклада в матрицу для соответствующей точки x,y данного положения будет:

Таким образом, модифицируя исходную свернутую проекцию g() путем умножения на cos2( + ) получим постоянный весовой коэффициент для всех точек строки

Где

При данном подходе вместо определения MT MT весовых коэффициентов 1/S2 достаточно вычислить только MT весовых коэффициентов вида 1/( cos - y)2. Дополнительные затраты на вычисление модифицированной дискретной свертки сводятся к Nd умножениям на cos2( + ). В результате выполнение модифицированной свертки практически (до доли процента) совпадает по времени выполнения с обычной сверткой.

Для исключения потери точности при определении весовых коэффициентов целесообразно использовать расстояние до строки при cos2 0,5. В случае cos2 0,5 нужно воспользоваться расстоянием от источника до рассматриваемого столбца. В последнем случае исходная свернутая проекция должна быть умножена на sin2( + ).

Учитывая тождества sin2( + ) = cos2( + - /2), cos2( + - k) = cos2( + ), можно ограничиться только таблицей cos2 в диапазоне -/4 - max /4 + max, как при просмотре по строкам, так и по столбцам. Число адресов таблицы определяется требуемой точностью задания cos2.

Погрешность задания по аргументу приведет к относительной погрешности по cos2:

Следовательно:

При располовинивании погрешности шаг дискретизации может быть взят равным 2. Тогда полная таблица при изменении аргумента в пределах (/4 + max) должна содержать n значений функции cos2.

В силу четности cos2(-) = cos2 объем таблицы можно снизить еще в 2 раза. В итоге даже при жестких требованиях к точности ( 10-4) и максимальных значениях max 0,6 потребуется таблица объемом 32000 4-байтных слов (128 Кбайт). Такой объем памяти при наличии ОЗУ порядка десятков мегабайт можно безболезненно выделить для хранения таблицы cos2.

При хранении таблицы cos2 модификация свертки сводится к одному умножению на отсчет. Таким образом, вычисление модифицированной свертки практически не отличается по затратам времени от обычной дискретной свертки.

При очень жестких ограничениях на объем таблиц последние могут быть существенно сокращены за счет линейной интерполяции или полностью исключены за счет таблиц cos и sin, необходимых для целей модификации исходных данных и ядра свертки. В последнем случае вычисление cos2( + ) можно выполнить по формуле:

cos2( + ) = (coscos - sinsin)2 ,

где sin и cos -- постоянные для данного положения сканирующей системы.

При этом вместо одной операции потребуется 4 операции. Тем не менее, в данном случае, дополнительное время на модификацию свертки не превысит долей процента от времени реализации дискретной свертки.

Далее будут рассмотрены методы интегрирования для вычисления адресов свернутых проекций и эффективная реализация обратного проецирования при совместном использовании ПВМ и сигнальных процессоров.

Литература

1. Терновой К.С., Синьков М.В., Закидальский А.И. и др. Введение в современную томографию. -- К.: Наук. думка, 1983. -- 345 с.

2. Синьков М.В., Закидальский А.И., Яник А.Ф. и др. Использование параллельных процедур при восстановлении изображений в компьютерной томографии // Кибернетика и системный анализ. -- 1996. -- №4. -- C. 52-55.

Аннотация

В статье рассмотрены вопросы развития алгоритмов реконструкции томографических изображений в веерных пучках, проанализированы особенности различных алгоритмов реконструкции, отмечена особенность веерной геометрии сканирования. Предложена рациональная модификация свернутых проекций.

Ключевые слова: томография, реконструкция, обратное проецирование, веерные лучи.

Размещено на Allbest.ru