Сравнительный анализ алгоритмов объемной реконструкции для различных схем сканирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А.И. Закидальский, Э.Е. Самбыкина

Институт проблем регистрации информации

НАН Украины

Приведен краткий обзор методов объемной реконструкции томографических изображений. Проведен сравнительный анализ алгоритмов объемной реконструкции для различных схем сканирования конусным пучком.

Ключевые слова: компьютерная томография, промышленная томография, рентгеновский компьютерный томограф, источник излучения, детектор, зона восстановления, геометрия сканирования, веерная геометрия, спиральное сканирование.

Имеется множество теоретических разработок и практических реализаций методов, позволяющих решить трехмерную реконструкционную задачу в компьютерной томографии (КТ). Они различаются по своим техническим характеристикам, схемам получения и обработки данных, качественным результатам получаемых изображений. Эти различия существенны для практических приложений и сферы применения методов реконструкции того или иного вида в различных томографических системах.

Во многих случаях достаточно получить плоские изображения, которые позволяют обнаружить некоторые особенности в исследуемых объектах. Известен и широко применяется метод, когда совокупность плоских изображений дает возможность образовать трехмерную модель объекта. Метод достаточно информативен, требует гораздо большего времени получения исходных данных.

Известные исходные формулы преобразования Радона для нечетномерных пространств позволяют реализовать принципиально иные подходы. Методы, основанные на этих формулах, обеспечивают реконструкцию трехмерного изображения по совокупности проекционных данных, полученных плоской системой детекторов двумерного типа при трехмерной конфигурации проникающего излучения. Такие системы обладают рядом важных преимуществ при сборе данных, однако, существенно усложняется процесс получения томографического изображения. Поэтому ведутся разработки различных методов и алгоритмов для реконструкции по коническим проекционным данным.

Рассмотрим различные варианты построения томографических систем, ориентированных на получение трехмерных изображений, с учетом значительного числа факторов, влияющих на получаемый результат, его качественные характеристики и особенно пространственное и плотностное разрешения. С этих позиций будут проанализированы перспективы практического применения тех или иных систем сканирования (методов реконструкции) в компьютерных томографических системах для решения различных классов задач.

Широко применяется метод, когда пространственная модель объекта образуется по совокупности плоских сечений.

Основой этого метода является, так называемый, принцип понижения размерности. Сущность его состоит в том, что для трехмерных объектов используют проекции на плоскость, параллельные одной из координатных осей, например, оси ОХ₃. Тогда одномерные сечения этих проекций при ₃ = А будут проекциями двумерной функции f (₁, ₂, А) и, следовательно, для восстановления этого сечения трехмерного объекта можно воспользоваться двумерным алгоритмом восстановления. Таким образом, исследуемый объект строится сечение за сечением, а значит трехмерная задача сведена к последовательности двумерных сечений. В практических реализациях такая процедура оказывается довольно эффективной с точки зрения вычислений. Остается только воспользоваться специальным программным обеспечением для отображения и обработки трехмерного объема из серии параллельных томографических слоев [1-5].

Системы, основанные на методе послойного исследования, в ряде случаев позволяют решить поставленные задачи. Для получения высокого разрешения по объему необходимо иметь возможность увеличивать количество исследуемых слоев. Это приводит к значительному возрастанию времени сбора данных, что недопустимо в некоторых приложениях, особенно связанных с медицинской диагностикой. Кроме того, максимальное допустимое количество исследуемых слоев жестко ограничено аппаратными возможностями томографов а также уровнем излучения трубки.

В 1989 году появились первые сообщения о спиральной компьютерной томографии [6]. Алгоритмы реконструкции, применяемые в таких системах, базируются на традиционных алгоритмах для веерного пучка с применением метода z-ин-терполяции. Такая интерполяция применяется для улучшения пространственного разрешения в этом направлении и подавления артефактов [7].

Для медицинских томографических систем основными являются требования ко времени съема данных и качеству получаемых изображений, особенно по низко-контрастному разрешению. Долгое время в медицинских исследованиях пользовались методами послойного исследования. На основании серии томографических сечений с помощью программного обеспечения визуализации строилось представление о полном объеме исследуемого тела [1, 2, 8].

По сравнению с методом послойного исследования в спиральной томографии резко сокращается время сбора данных за счет непрерывного движения сканирующей системы.

Иной метод получения объемной (3D) томографической модели объекта состоит в использовании систем с трехмерной конфигурацией проникающего излучения. В неразрушающем контроле наиболее перспективными являются томографы с коническими пучками и двумерным массивом детекторов для сбора информации о трехмерном объекте [9]. Системы такого типа разрабатывались все последние 10 лет. Одной из последних разработок в рамках Европейского BRITE проекта, выполненной в LETI, является томограф (EVA Bench) или устройство для объемного измерения плотности. Основной задачей этого томографа является достижение высокой разрешающей способности при изучении всего внутреннего объема исследуемого объекта. Для тестовых образцов размером 10 мм было получено разрешение в 50 микрон. Существуют также несколько видов микротомографов с коническим пучком, например, SkyScan [10]. SkyScan-1072 -- это компактная настольная система для неразрушающей трехмерной реконструкции с высоким пространственным разрешением. Основными областями применения являются исследования электронных компонентов, биомедицинских объектов, композитов, строительных материалов и др.

Таким образом, системы с коническим пучком и двумерной детекторной системой обладают рядом важных преимуществ: позволяют лучше использовать телесный угол излучения рентгеновских источников; приводят к заметному снижению времени сбора данных за счет одновременного сканирования всей зоны восстановления; дают возможность достижения высокой разрешающей способности томографической системы.

Для максимального использования преимуществ конического пучка при сборе данных необходимо исследование и разработка эффективных алгоритмов реконструкции для конических проекций данных.

Для решения задач трехмерной реконструкции предложен целый спектр различных методов. Для их анализа выделим три основные группы.

1. Алгебраические методы реконструкции для конического пучка.

Эти методы являются универсальными по используемым схемам сканирования и геометрии пучка проникающего излучения. Они легко обобщаются на случай 3D восстановления. Исторически эти методы начали применять для конических пучков тогда, когда еще не была разработана математическая теория восстановления конической томографии.

Однако из-за итерационного характера такой процедуры алгебраические методы очень вычислительно трудоемки. При увеличении размерности трехмерной матрицы реконструкции объем вычислений возрастает в сотни раз на каждую итерацию. Кроме того, сходимость этих методов для 3D матриц значительно хуже, чем в двумерном случае. Поэтому сегодня основной областью применения алгебраических методов остаются задачи малоракурсной томографии либо приложения, в которых требуется оценить лишь общую структуру исследуемого объекта.

Реализации такого подхода можно найти в работах Шлидвейна [11], Альтшуллера [12, 13], Гордона [14], Пейрина [15], Ковальски [10]. Алгоритмы, предложенные Альтшуллером и Ковальски, разработаны для сдвоенных конусов, т.е. в предположении, что сканирование ведется двумя источниками по окружностям, лежащим в параллельных плоскостях. В этих подходах выполняются последовательные приближения объекта, а затем на их основании строится матрица, которую обращают итеративными методами. Метод прямого алгебраического восстановления предложен для реконструкции в конических пучках Шлиндвейном. Он также очень вычислительно трудоемок, но разработан для круговой схемы сканирования и дает несколько лучшие качественные результаты.

2. Точные методы объемной реконструкции при использовании конусных пучков.

К этой группе относятся методы, использующие полные геометрии сканирования (отвечающие условию Кириллова-Туя либо другому условию полноты проекционных данных), в основе которых лежат некоторые точные замкнутые математические формулы обращения. В каждой такой формуле представляются шаги, позволяющие точно вычислить некоторую 3D непрерывную функцию, представляющую объект через ее интегралы по лучам, пересекающим заданную кривую. Эти интегралы представляют конические проекционные данные, а заданная кри-вая -- траекторию движения вершины конуса. Математически задача ставится как задача восстановления функции трех переменных по интегралам вдоль прямых, проходящих через некоторую кривую.

При разработке методов реконструкции в конических пучках обнаруживается тесная связь условий, накладываемых на кривую-траекторию движения источника, с видом и простотой реализации алгоритмов на их основе. Ограничения, накладываемые на кривую движения источника, принято называть условием полноты. Выполнение этого условия показывает, достаточно ли собранной информации для проведения свободной от артефактов реконструкции хотя бы теоретически.

Условие полноты впервые было предложено Кирилловым [8]. Для его выполнения требовалось двумерное распределение источников, что на практике трудновыполнимо и дальнейшие исследования были направлены на то, чтобы смягчить это ограничение. Такой результат был получен независимо разными исследователями, но впервые встречается в работе Туя [16]. Поэтому это более приемлемое ограничение носит название условие Кириллова-Туя и формулируется следующим образом: если на каждой плоскости, пересекающей объект, существует хотя бы одна вершина конуса, то полученная информация об объекте будет достаточной для проведения реконструкции.

Геометрии, которые удовлетворяют этому условию, принято называть полными. Каждая из известных геометрий обладает некоторыми преимуществами и недостатками.

При рассмотрении точных методов конической реконструкции можно заметить некоторую общность их структуры. Формулы, лежащие в основе этих методов, выводились с учетом особенностей трехмерного преобразования Радона. Так было показано, что по коническим проекционным данным можно получить значения производной преобразования Радона функции объекта [17]. Затем, выполняя обращение Радоновских данных, получают реконструированные значения.

Переписав работу Кириллова для одномерных линейных интегралов в Rⁿ,

Б. Смитт (1979 г.) положил начало многочисленным исследованиям по разработке формул обращения, пригодных для практического применения в конической томографии [18]. Его работы внесли значительный вклад в развитие теории конической томографии и построение эффективных алгоритмов реконструкции по коническим данным. Наиболее эффективный метод является точным только при теоретической схеме сканирования «бесконечная прямая», и вследствие этого его использование практически не целесообразно.

Грангеат предложил метод, связывающий линейные интегралы проекционных данных конусного луча и плоские интегралы в трехмерном пространстве Радона для точной реконструкции изображения [17]. Однако, эти точные алгоритмы предполагают, что проекции каждого луча конуса должны полностью содержать информацию о восстанавливаемом объекте; следовательно, их нельзя использовать при спиральной схеме сканирования длинных объектов.

Грангеат, обобщив методы [27, 28], доказал, что точная реконструкция изображения в спиральной конической томографии возможна. В работе Грангеата предложены метод и алгоритм, позволяющие получить по коническим проекционным данным производную преобразования Радона функции объекта. Далее, для получения реконструкционного результата, выполняются два последовательных обратных проецирования с фильтрацией в горизонтальных и вертикальных плоскостях соответственно [17]. Этот алгоритм практически реализован и применяется в томографических системах с коническим пучком LETI [19].

Была предложена модификация этого алгоритма, предполагающая использование теории трехмерного преобразования Фурье и построенной на ее основе методики линограмм [20, 21]. Полученные алгоритмы обладают лучшими показателями как по производительности, так и по качеству реконструированных изображений, что особенно заметно проявляется при работе с реальными экспериментальными данными. Кроме того, использование методов преобразования Фурье для работы с коническими проекционными данными имеет важное теоретическое значение, так как позволяет производить анализ недостающей информации, разрабатывать эффективные процедуры интерполяции, сглаживания и фильтрации.

Альтернативным в плане реализации обращения производной преобразования Радона является метод прямого трехмерного обратного проецирования Кларка, Дифриза [22]. Такой метод предусматривает трехмерное взвешенное обратное проецирование с применением двумерной фильтрации. Алгоритм, на основе этого метода, является применимым к широкому спектру схем сканирования и дает хорошие качественные результаты:

3. Приближенные методы реконструкции по коническим проекционным данным.

Приближенные методы применяются к неполной геометрии сканирования (например, окружность), при выводе которых сделаны некоторые приближения. Для успешной реализации этих подходов необходимо решать проблему экстраполяции неполного множества данных для компенсации нежелательных артефактов. Такой подход, чаще всего, сводит коническую реконструкцию к серии двумерных реконструкционных процедур, выполняемых в псевдопараллельных плоскостях. Это приводит к потере качества получаемых изображений, особенно в плоскостях, удаленных от плоскости сканирования объекта. Однако алгоритмы этой группы обладают, как правило, высокими показателями по времени реконструкции. Примером таких методов могут служить алгоритмы Фелдкампа [23], Хермeна [3], Грангеата [24].

Метод, предложенный Фелдкампом для трехмерной реконструкции в конических пучках, является прямым обобщением двумерного обратного проецирования с фильтрацией. В основе этого алгоритма лежит процедура трехмерного обратного проецирования взвешенных проекционных данных. В качестве фильтра применяется одномерный фильтр как и в традиционной двумерной томографии. Благодаря этому метод является вычислительно эффективным и популярен в практических приложениях. Однако результаты реконструкции являются математически корректными только в плоскости центрального сечения. При удалении от плоскости сканирования нарастает погрешность в получаемых результатах. Тем не менее, для томографических систем с коническим пучком небольшого угла и исследуемых объектов небольшого диаметра этот метод стал наиболее приемлемым.

Aлгоритм Грангеата [24] также использует методы обратного проецирования со сверткой. Из простых геометрических соображений величины плоскостных интегралов в нем аппроксимированы из веерного множества лучевых сумм. После выполнения однажды допустимого приближения для реконструкции объекта используется стандартное преобразование Радона. Поэтому использование этого алгоритма часто приводит к нежелательным артефактам.

Подобными же достоинствами и недостатками обладает метод, предложенный Херменом, который сводится к использованию аппарата веерной геометрии для приближенно параллельных плоскостей, образованных пересечением конического пучка малого угла развала с областью определения объекта [3]. Различные варианты подобных подходов разрабатывались для многих схем сканирования: окружности [3, 23, 25]; двух окружностей, лежащих в параллельных плоскостях [10]; винтовой линии [25]; для окружности и прямой линии [25]. Общей характерной чертой подобных методов является стремление разработчиков за счет каких- либо допущений или упрощений свести сложную и трудоемкую трехмерную реконструкционную задачу к более простым случаям и получить за счет этого вычислительно эффективную и удобную для практической реализации алгоритмическую структуру.

Анализ и сопоставление рассмотренных алгоритмов позволяет сделать следующие выводы:

1) геликоидальные (спиральные) сканеры позволяют осуществить быстрый сбор данных и максимально удовлетворяют требованиям в медицинской томографии, также возможно их применение в микротомографии и для неразрушающего контроля в промышленности [26];

2) при геликоидальном сканировании целесообразно применение точных алгоритмов, если проекционные данные полные и не зашумлены -- в противном случае предпочтительно применение приближенных алгоритмов;

3) итеративные алгоритмы, целесообразно использовать, когда проекционные данные не полные, не регулярные и сильно зашумленные.

Литература

объемная реконструкция сканирование томографический

Синьков М.В., Закидальский А.И., Радванский С.Л. Об одном способе приближенного вычисления свертки в вычислительной томографии // Электрон. моделирование. -- 1987. -- № 1. -- C. 23-26.

Введение в современную томографию // Терновой К.С., Синьков М.В., Закидальский А.И., Яник А.Ф. и др. -- К.: Наук. думка, 1983. -- 345 c.

Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям. Основы реконструктивной томографии: Пер. с англ. -- М.: Мир, 1983. -- 398 c.

Sinkov M. Ukrainian competence network for the development of industrial CT-scanner // 6^th Eur. Conf. on Non Destructive Testing, Nice Acropolis, France. -- 1994, 24-28 October. -- P. 973-974.

Sinkov M.V., Zakidalsky A.I., Janik A.F., Kosinsky V.I. Applications of Parallel Operations for Image Reconstruction in Computerized Tomography // Proc. SPIE. -- 1997. -- Vol. 3055. -- P. 315-318.

Kalender W.A., Engelke K., Schaller S. Spiral CT: Medical Use and Potential Industrial Applications // Proc. SPIE. -- 1997. -- Vol. 3149. -- P. 188-202.

Wang Ge, Cheng P.C., Vannier M.W. Spiral CT: Current Status and Future diRections // Proc. SPIE. -- 1997. -- Vol. 3149, N 10. -- P. 203-212.

Кириллов А.А. Об одной задаче И.М. Гельфанда // ДАН СССР. -- 1961. -- № 2. -- C. 268-269.

Робб Р.А., Хоффмэн Э.А. и др. Высокоскоростная трехмерная рентгеновская реконструктивная томография: Динамический пространственный реконструктор.// ТИИЕР. -- 1983. -- T. 71, № 3. -- C.27-42.

Kowalski G. Multislice Reconstruction from Twin Cone-Beam Scanning // IEEE Trans. Nucl. Sci. -- 1979. -- Vol. NS-26. -- P. 2895-2903.

Robb R.A., et.al. The Dynamic Spartial Reconstructor: a Computed Tomography System for High-Speed Simultaneous Scanning of Multiple Cross Section of the Heart // J. Med. Syst. -- 1980. -- Vol. 4. -- P. 253-288.

Altschuler M.D. Demonstration of a Software Package for the Reconstruction of the Human Heart from Cone Beam X-ray Projections // J. Med. Syst. -- 1980. -- Vol. 4. -- P. 289-304.

Altschuler M.D and Herman G. Fully Three-Dimensional Image Reconstruction Using Series Expansion Methods // A Review of Information Processing in Medical Imaging. -- Oak Ride National Lab: Oak Ride, TN. -- 1977. -- P. 124-142.

Gordon R., Bender R., Herman G.T. Algebraic Reconstruction techniques (ART) for Three-Dimensional Electron Micrographs and X-ray Photography // J. Theor. Biol. -- 1970. -- Vol. 29. --

P. 471-481.

Peyrin F. The Generalized Backprojection Theorem for Cone-Beam Reconstruction // IEEE Trans. Nucl. Sci. -- 1985. -- Vol. NS-32. -- P. 1512-1519.

Tuy H. An Inversion Formula for Cone-Beam Reconstruction // SIAM J. Appl. Math. -- 1983. -- Vol. 43. -- P. 546-552.

Grangeat P. Mathematical Framework of Cone-Beam Three-Dimensional Reconstruction Via the First Derivative of the Radon Transform // Math. Methods in Tomography. -- V. 1947 of Springer Lecturre Notes in Math-cs. -- Berlin: Springer-Verlag, 1991. -- P. 66-97.

Smith B.D. Image Reconstruction from Cone-Beam Projections: Necessary and Sufficient Conditions and Reconstruction Methods // IEEE Trans. Med. Imaging. -- 1985. -- Vol. 4. -- P. 4-28.

LETI: 3D Cone-Beam X-ray Tomograph EVA (Equipment for Volumedensitometry Analysis) Bench. -- 1996. -- 7 p.

Danielsson P.E. From Cone-Beam Projections to 3D Radon Data in O(N³ log N) Time // Proc of the IEEE Medical.

Jacobson (Axelsson) C., Danielsson P.E. Direct Fourier Methods for 3D Tomography Reconstruction // Proc.of the IEEE Med. Imag. Conf. -- Orlando, Florida. -- 1992. -- P. 1126-1128.

Clack R., Defrise M. Overview of Reconstruction Algorithms for Exact Cone-Beam Tomography // SPIE Proceedings Series: Mathematical Methods in Medical Imaging III. -- San Diego, California. -- 1994. -- Vol. 2299. -- P. 1324-1329.

Feldkamp L.A., Davis L.C., Kress J.W. Practical Cone-Beam Algorithm // J. Opt. Soc. Am. -- 1984. -- Vol. 1(6). -- P. 612-619.

Grangeat P. Description of a 3-D reconstruction algorithm for diverging X-ray beam // Radiol. Soc. North. America Conf Proc. -- 1985, Nov. -- P. 45-54.

Yan X.H., Leahy R.M. Cone beam tomography with circular, elliptical and spiral orbits // Physics in Medicine and Biology. -- 1992. -- Vol. 37, N 3. -- P. 493-506.

Proska R., Kohler T., Grass M., and Timmer J. The n-PI Method for Helical Cone-Beam CT // IEEE Trans. Med. Imag. -- 2000, Sept. -- Vol. 19. -- P. 848-863.

Kudo H., Noo F., and Defrise M. Cone-Beam Filtered-Backprojection Algorithm for Truncated Helical Data // Phys. Med. Biol. -- 1998. -- Vol. 43. -- P. 885-2909.

Tam K.C., Samarasekera S., and Sauer F. Exact cone-beam CT with a spiral scan // Phys. Med. Biol. -- 1998. -- Vol. 43. -- P. 847-855.

Размещено на Allbest.ru