Применение систем аналитических вычислений в научных исследованиях

Размещено на http://allbest.ru

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А

УДК 004.942

Применение систем аналитических вычислений в научных исследованиях

Никоноров Ю.Г.

Владикавказ

Долгое время в научной среде господствовало мнение о том, что вычислительные машины пригодны лишь для утомительных, но простых в принципе, преобразований, в частности, для приближенных вычислений с некоторой точностью. В таком понимании компьютер - это помощник исследователя лишь на определенном этапе, когда остается проделать окончательные вычисления, и не более того. С появлением современных систем символьных (аналитических) вычислений ситуация несколько изменилась. Стало понятно, что компьютер является не просто большим калькулятором, а может также и решать задачи аналитически, с помощью общих формул, вовсе не прибегая к приближенным вычислениям.

Системы символьных вычислений (системы компьютерной алгебры) зародились в 60-е годы прошлого века. Именно тогда появилась идея использовать вычислительную технику для выполнения символьных вычислений. Основная идея нового подхода состояла в желании получать в первую очередь аналитические (символьные) результаты, отодвигая численные (приближенные) вычисления на второй план. Первым успешным примером в этом направлении стала работа датского физика Мартина Велтмана (Martin Veltman), который в 1963 году создал программу символьных вычислений Schoonschip, ориентированную на задачи физики высоких энергий. Следует отметить, что в 1999 году Мартин Велтман был удостоин вместе со своим учеником Герардом 'т Хоофтом Нобелевской премии по физике.

Вплоть до начала массового использования персональной вычислительной техники, символьные вычисления не получили какого-либо серьезного распространения. Это было связано и с недостатком вычислительных мощностей, и со слабой проработанностью алгоритмической базы и с узкой специализированностью программного обеспечения. Но всеобщее распространение персональных компьютеров в конце прошлого века обусловило появление современных программных продуктов, позволяющих пользователю комплексно использовать стандартные математические методы для исследования интересующей его проблематики. Такие продукты, представляющие собой пакеты специализированных взаимосвязанных программ, часто называют системами аналитических (или символьных) вычислений, а также системами компьютерной алгебры. Успешно использовать их могут специалисты из различных областей знания, не обязательно имея при этом глубокие познания в программировании или в специальных разделах математики.

Первыми популярными системами компьютерной алгебры стали muMATH, Reduce, Derive и Macsyma. Через некоторое время появились более совершенные пакеты программ такие как Mathematica, Maple, MUPAD и др. С помощью реализованных на ЭВМ систем компьютерной алгебры оказалось возможным освободить исследователя от стандартных и утомительных вычислений. По сути все, что поддается четкой алгоритмизации, может быть получено с помощью компьютерных вычислений. Ограничить возможности исследователя могут лишь технические характеристики ЭВМ. Но с учетом того, что сложность некоторых алгоритмов не определена, эта проблема является весьма серьезной. программный вычислительный математический символьный

Наиболее распространенными системами аналитических вычислений в настоящее время являются Maple, Mathematica и MATLAB. Каждый из этих успешно конкурирующих друг с другом программных продуктов имеет свои преимущества и недостатки, но все предоставляют мощные средства для решения математических задач. Получить более полное представление о современном развитии систем символьных вычислений можно по материалам ряда специализированных сайтов, например, сайта Exponenta.ru (http://www.exponenta.ru/).

Повсеместное применение вычислительной техники приводит к созданию новых прoграммных комплексов, новых методов решения классических задач, новых алгоритмов. Постепенно стал оформляться и специальный раздел математики, который обычно называют компьютерной алгеброй или компьютерной математикой, ориентированный на создание и совершенствование соответствующей алгоритмической базы для вычислений на ЭВМ. Составить представление о бурном росте этой относительно молодой дисциплины можно по книгам [1], [2] и [3], в которых также приведена обширная библиография.

Одним из самых ярких примеров успешного применения вычислительной техники в научных исследованиях стало доказательство гипотезы четырех красок, осуществленное (с помощью компьютерных расчетов) К. Аппелем и В. Хакеном (см. книгу [4] или оригинальные статьи [5] и [6]). Благодаря этому и многим другим примерам успешного использования вычислительной техники, ее применение для исследовательской деятельности с недавних пор стало нормой. Необходимо отметить, что использование компьютерных систем эффективно не только в математике и физике, но и в других областях науки (например, химии и биологии); в решении прикладных технических и экономических задач; в общественных науках и бизнесе. Получить более полное представление об этом можно по книгам [8], [9], [10] и [11].

В настоящее время стало довольно естественным применение компьютерных расчетов не только в прикладных, но и в фундаментальных научных дисциплинах. Подобные расчеты позволяют проверить разнообразные общие гипотезы в частных случаях. Если же полученные таким образом данные опровергают гипотезу, то с их учетом можно сформулировать более правдоподобное предположение. Нередко доказанные математические результаты были ранее сформулированы в качестве гипотез после статистической обработки экспериментальных данных, полученных с помощью вычислительной техники. Такое повседневное применение компьютеров стало нормой даже для современных исследований в классических разделах математики (см., например, [12]). Практически все потребности в математических расчетах могут быть удовлетворены любой современной системой аналитических вычислений, к каковым относятся Maple, Mathematica и MATLAB.

Каждая из этих систем может быть с успехом применена для решения самых серьезных математических задач аэродинамики, теории поля, теплопроводности, теоретической механики и других областей естествознания. Среди них есть процедуры символьного дифференцирования и символьного интегрирования, символьного решения задач оптимизации, в частности, нахождения глобальных и условных экстремумов, символьного решения дифференциальных и конечно-разностных уравнений и т. д.

Помимо символьных процедур в этих пакетах программ реализованы и множество важных и полезных численных методов. Кроме прекрасных средств математического моделирования, современные математические пакеты обладают также и впечатляющими возможностями графической визуализации решений. Немаловажным является и наличие у каждой из эти систем своего языка программирования, что позволяет пользователям оперативно реализовывать собственные алгоритмы в удобной форме.

Системы аналитических вычислений работают в диалоговом режиме и не требуют специальной подготовки в области программирования, поэтому доступны для широкого круга пользователей. Важно лишь ориентироваться в сущности математических моделей, используемых в исследованиях.

В докладе представлены некоторые реальные примеры успешного использования систем аналитических вычислений для решения задач из различных научных дисциплин. В процессе обсуждения этих примеров демонстрируются различные возможности этих систем.

Литература

1. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра: символьные и алгебраические вычисления / Пер. с англ. - М.: Мир, 1991. - 350 с.

2. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями / Пер. с англ. - М.: Мир, 1994. - 544 с.

3. Кокс Д., Литтл Дж., О`Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры / Пер. с англ. - М.: Мир, 2000. - 687 с.

4. Appel K., Haken W. Every planar map is four colorable. With the collaboration of J. Koch. Contemporary Mathematics, 98. - American Mathematical Society, Providence, RI, 1989. - xvi+741 p.

5. Appel K., Haken W. Every planar map is four colorable. Part 1. Discharging // Illinois J. Math., 21, 1977, p. 429-490.

6. Appel K., Haken W., Koch J. Every planar map is four colorable. Part II. Reducibility // Illinois J. Math., 21, 1977, p. 491-567.

7. Говорухина В., Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании: Maple, MATLAB, LaTeX. СПб.: Питер. 2001. 624 с.

8. Эдвардс Ч.Г., Пенни Д.Э. Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. - 3-е изд. - М.: Вильямс, 2007. - 1104 с.

9. Глушко В.П., Глушко А.В. Курс уравнений математической физики с использованием пакета Mathematica - СПб: Лань, 2010.- 320 с.

10. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. - СПб: Питер, 2004. - 544 с.

11. Никоноров Ю.Г., Никонорова Ю.В. Применение системы Maple к решению геометрических задач. - Рубцовск, изд-во РИИ, 2005. - 80 с.

12. Смоленцев Н.К. MATLAB. Программирование на Visual С#, Borland JBuilder, VBA.- М.: ДМК Пресс, 2012. - 456 с.

13. Смоленцев Н.К. Вейвлет-анализ в MATLAB.- 3-е изд. - М.: ДМК Пресс, 2010. - 448 с.

14. Дьяконов В.П. Mathematica 5/6/7. Полное руководство. - М.: ДМК Пресс, 2009. - 624 с.

15. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. - М.: СОЛОН-Пресс, 2006. - 720 с.

16. Дьяконов В.П. Maple 10/11/12/13/14 в математических расчетах. - М.: ДМК Пресс, 2011. - 800 с.

17. Матросов А. В. Maple 6: Решение задач высшей математики и механики: Практическое руководство. - СПб: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.

18. Heck A. Introduction to Maple. - 3rd edition. - New York: Springer-Verlag, 2003. - 844 p.

Размещено на Allbest.ru