Алгоритм и программа вайвлетного анализа сигнала

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС (ОМИИТ)

Кафедра «Автоматика и системы управления»

АЛГОРИТМ И ПРОГРАММА ВАЙВЛЕТНОГО АНАЛИЗА СИГНАЛА

Пояснительная записка к курсовому проекту

по дисциплине «Методы и алгоритмы цифровой обработки информации»

Студентка гр.

М.В. Мойсей

Омск 2016

Реферат

Курсовой проект содержит 14 страниц, 6 рисунков, 6 формул, 4 источника.

Сигнал, спектр, ДПФ, Вейвлет-преобразование, функция.

Объектом исследования является Вейвлет-преобразование и его модлировние в среде Matlab.

Пояснительная записка выполнена в программе Microsoft Word 2010, расчеты выполнены в среде Matlab R2013b.

Введение

В конце прошлого века возникло и успешно развивается новое и важное направление в теории и технике обработки сигналов, изображений и временных рядов, получившее название вейвлет-преобразование (ВП), которое хорошо приспособлено для изучения структуры неоднородных процессов. Вейвлеты представляют собой особые функции в виде коротких волн (всплесков) с нулевым интегральным значением и с локализацией по оси независимой переменной (t или x), способных к сдвигу по этой оси и масштабированию (растяжению/сжатию). Любой из наиболее часто используемых типов вейвлетов порождает полную ортогональную систему функций. В случае вейвлет-анализа (декомпозиции) процесса (сигнала) в связи с изменением масштаба вейвлеты способны выявить различие в характеристиках процесса на различных шкалах, а посредством сдвига можно проанализировать свойства процесса в различных точках на всем исследуемом интервале. Именно благодаря свойству полноты этой системы, можно осуществить восстановление (реконструкцию или синтез) процесса посредством обратного ВП.

1. Вейвлет-преобразование

1.1 Вейвлеты. Общие замечания

Английское слово wavelet (от французского «ondelette») дословно переводится как «короткая (маленькая) волна». В различных переводах зарубежных статей на русский язык встречаются еще термины: «всплеск», «всплесковая функция», «маловолновая функция», «волночка» и др. Вейвлет-преобразование (ВП) одномерного сигнала - это его представление в виде обобщенного ряда или интеграла Фурье по системе базисных функций

сконструированных из материнского (исходного) вейвлета , обладающего определенными свойствами за счет операций сдвига во времени и изменения временного масштаба (рисунок 1). Множитель обеспечивает независимость нормы этих функций от масштабирующего числа. Итак, для заданных значений параметров и функция и есть вейвлет, порождаемый материнским вейвлетом . На рисунке 1 в качестве примера приведены вейвлет «мексиканская шляпа» (а) и модуль его спектральной плотности (б). Малые значения а соответствуют мелкому масштабу или высоким частотам , большие параметры крупному масштабу , т.е. растяжению материнского вейвлета и сжатию его спектра.

Рисунок 1 - Вейвлет мексиканская шляпа (а) и модуль его спектральной плотности (б)

компьютерный вейвлет математический сигнал

Таким образом, в частотной области спектры вейвлетов похожи на всплески (волночки) с пиком на частоте и полосой, т.е. имеют вид полосового фильтра; при этом и уменьшаются с ростом параметра .

Следовательно, вейвлеты локализованы как во временной, так и частотной областях. В соответствии с принципом неопределенности произведение эффективной длительности и эффективной ширины спектра функции (площадь прямоугольников на рисунке 2) остается неизменным. Кроме того, из-за масштабирования и временного сдвига сохраняется относительная «плотность» расположения базисных функций по оси .

Рисунок 2 - Спектры вейвлетов

Следует отметить, что спектральное представление (образ) вейвлетов аналогично заданию окна в оконном преобразовании Фурье. Но отличие состоит в том, что свойства окна (его ширина и перемещение по частоте) присущи самим вейвлетам. Это служит предпосылкой их адаптации к сигналам, представляемым совокупностью вейвлетов. Поэтому нетрудно понять, что с помощью вейвлетов можно осуществить анализ и синтез локальной особенности любого сигнала (функции ).

1.2 Главные признаки вейвлета

В качестве базисных функций, образующих ортогональный базис, можно использовать широкий набор вейвлетов. Для практического применения важно знать признаки, которыми непременно должна обладать исходная функция, чтобы стать вейвлетом. Приведем здесь основные из них.

Ограниченность. Квадрат нормы функции должен быть конечным:

Локализация. ВП в отличие от преобразования Фурье использует локализованную исходную функцию и во времени, и по частоте. Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:

Например, дельта-функция и гармоническая функция не удовлетворяют необходимому условию одновременной локализации во временной и частотной областях.

Нулевое среднее. График исходной функции должен осциллировать (быть знакопеременным) вокруг нуля на оси времени (рисунок 1) и иметь нулевую площадь

Из этого условия становится понятным выбор названия «вейвлет» - маленькая волна.

Равенство нулю площади функции , т.е. нулевого момента, приводит к тому, что фурье-преобразование этой функции равно нулю при и имеет вид полосового фильтра. При различных значениях это будет набор полосовых фильтров.

Часто для приложений бывает необходимо, чтобы не только нулевой, но и все первые моментов были равны нулю

Вейвлеты-го порядка позволяют анализировать более тонкую (высокочастотную) структуру сигнала, подавляя медленно изменяющиеся его составляющие.

Автомодельность. Характерным признаком ВП является его самоподобие. Все вейвлеты конкретного семейства имеют то же число осцилляций, что и материнский вейвлет , поскольку получены из него посредством масштабных преобразований и сдвига .

1.3 Сопоставление с преобразованием Фурье

Классическое преобразование Фурье (ПФ) является традиционным математическим аппаратом для анализа стационарных процессов. При этом сигналы разлагаются в базисе косинусов и синусов или комплексных экспонент. Эти базисные функции простираются вдоль всей оси времени. С практической точки зрения и с позиций точного представления произвольных сигналов ПФ имеет ряд ограничений и недостатков. Обладая хорошей локализацией по частоте, оно не обладает временным разрешением. ПФ даже для одной заданной частоты требует знания сигнала не только в прошлом, но и в будущем, а это - теоретическая абстракция. Обусловлено это тем, что базисной функцией при разложении в ряд Фурье является гармоническое колебание, которое математически определено на временном интервале от - ? до + ?. ПФ не учитывает, что частота колебания может изменяться во времени. Локальные особенности сигнала (разрывы, ступеньки, пики и т.п.) дают едва заметные составляющие спектра, по которым обнаружить эти особенности, и тем более их место и характер, практически невозможно. В этом случае невозможно и точное восстановление сигнала из-за появления эффекта Гиббса. Для получения о сигнале высокочастотной информации с хорошей точностью следует извлекать ее из относительно малых временных интервалов, а не из всего сигнала, а для низкочастотной спектральной информации - наоборот. Кроме того, на практике не все сигналы стационарны, а для нестационарных сигналов трудности ПФ возрастают многократно. Часть указанных трудностей преодолевается при использовании оконного ПФ:

в котором применяется предварительная операция умножения сигнала на «окно» ; при этом окном является локальная во времени функция, перемещаемая вдоль оси времени (рисунок 3) для вычисления ПФ в разных позициях . В результате получается текущий спектр, т.е. частотно-временное описание сигнала.

Рисунок 3 - локальная во времени функция, перемещаемая вдоль оси времени

Если окно, показанное на рисунке 3, перемещать скачками (через ф) вдоль всего времени существования сигнала , то за некоторое число таких перемещений возможен «просмотр» всего сигнала. Так что вместо обычной спектрограммы получится набор спектрограмм, схематично представленный в виде прямоугольников на рисунке 4, а. Такой спектральный анализ равносилен анализу с помощью набора фильтров с постоянной шириной полосы пропускания, равной .

Рисунок 4 - Набор спектрограмм в виде прямоугольников

Очевидно, что, поскольку каждое окно выделяет свой не большой участок во времени, точность представления и разрешающая способность (по времени) могут быть повышены. Однако ввиду известного принципа неопределенности невозможно получить одновременно высокое разрешение и по частоте, и по времени. Окну с узкой шириной во времени будет соответствовать плохое разрешение по частоте (большая величина ). Недостаток оконного ПФ состоит в том, что используется фиксированное окно и, следовательно, фиксированное разрешение по времени и частоте для всех точек плоскости преобразования (рисунок 4, а), которое не может быть адаптировано к локальным свойствам сигнала. ВП имеет существенное преимущество перед ПФ прежде всего за счет свойства локальности у вейвлетов. В вейвлет-преобразовании операция умножения на окно как бы содержится в самой базисной функции, которая сужает и расширяет окно (рисунок 4, б): с ростом параметра увеличивается разрешение по частоте и уменьшается разрешение по времени, а с уменьшением этого параметра уменьшается разрешение по частоте и увеличивается по времени. Отсюда появляется возможность адаптивного к сигналу выбора параметров окна. Подвижное частотно-временное окно одинаково хорошо выделяет и низкочастотные, и высокочастотные характеристики сигналов. Это свойство ВП дает ему большое преимущество при анализе локальных свойств сигналов.

Возможно, локально реконструировать сигнал: реконструировать только часть сигнала или выделить вклад определенного масштаба. Если вейвлет-коэффициенты подвержены случайным ошибкам, они будут действовать на реконструируемый сигнал локально вблизи положения возмущения, а ПФ распространяет ошибки по всему восстанавливаемому сигналу. Именно благодаря выявлению локальных особенностей сигнала, принципиально отсутствующему у ПФ, ВП нашло широкое применение для анализа тонкой структуры сигналов и изображений, для их сжатия и очистки от шума, что важно и полезно в радиотехнике, электронике, гидроакустике, геофизике, медицине и других областях науки и техники. При этом стоит отметить, что ВП ни в коем случае не является заменой традиционного преобразования Фурье и не умаляет его достоинств и значимости при работе со стационарными процессами и когда нет необходимости исследовать локальную структуру сигналов. ВП просто иное и позволяет посмотреть на исследуемый процесс с иной точки зрения.

2. Построение вейвлет-преобразования в системе Matlab

Необходимо построить сигнал , его спектр (ДПФ) и Вейвлет-преобразование.

Примем тогда получится функция или , а время будет изменяться в пределах от 0 до 10 с шагом 0,5.

Для построения спектра будем использовать стандартную функцию Matlab fft, учитывая все вышесказанное, получим:

t = 0:0.01:10;

w=t;

y = sin(w.*t);

subplot(2,1,1),plot(y), grid ;

Y=fft(y);

subplot(2,1,2),plot(t,abs(fft(y))), grid ;

На рисунке 5 изображена функция (а) и ее ДП (б).

Рисунок 5 - Функция (а) и ее ДП (б)

Для построения Вейвлет преобразования будем использовать функцию cwt.

Функция выполняет континуальное преобразование сигнала и возвращает массив с спектральных коэффициентов преобразования.

Входными параметрами функции являются следующие:

«wavelet» - идентификатор имени материнской вейвлет-функции (ядра преобразования);

scales - вектор значений масштабирующей переменной а базисного вейвлета.

Кроме того, функция cwt обладает рядом дополнительных входных параметров, расширяющих возможности визуализации результатов анализа сигнала. Дело в том, что функция, записанная в первой форме, возвращает лишь спектральные коэффициенты исследуемого сигнала, поэтому с целью их визуализации представляется необходимым использование средств трехмерной графики, имеющихся в системе.

В противоположность необходимости привлечения графических средств, функция, записываемая во второй форме, автоматически отображает вейвлет-спектр сигнала в отдельном графическом окне: включению режима отображения здесь соответствует наличие опции «plot».

Функция, записанная в третьей форме, обладает более широкими возможностями визуализации, поскольку содержит расширение mode - опцию, позволяющую указать вид «подкрашивания» спектра. В частности, значение «lvl» позволяет улучшить контрастность изображения спектральных коэффициентов сигнала, значение «glb» - затенить спектральный шум коэффициентов, сглаживая, таким образом, цветность общей спектральной картины, значения «abslvl» или «lvlabs», а также «absglb» или «glbabs» - отконтрастировать и сгладить цветовую гамму спектра соответственно. При этом использование расширения «absglb» является эквивалентным включению в функцию cwt опции «plot».

Спектральную картину вейвлет-преобразования можно представить также аксонометрически, указав в опции mode префикс «3D», например, «3Dplot», «3Dlvl» и т.д.

Запись этой функции будет выглядеть следующим образом:

scales = [1: 10, 25: 35];

cwt(y,1:40, 'mexh','abslvl',[100 400]);

На рисунке 6 изображен исходный сигнал и его Вейвлет преобразование. По данному рисунку можно увидеть, что значение масштабного коэффициента а, обратно пропорциональная частоте, в нашем случае и времени и с увеличение значения уменьшается.

Рисунок 6 - Сигнал и его вейвлет-преобразование

Заключение

В ходе выполнения курсового проекта был построен синусоидальный сигнал с увеличивающейся частотой. Для этого сигнала построено вейвлет-преобразование, по которому видно, что масштабный коэффициент обратно пропорционален времени и следовательно уменьшается с увеличением .

Библиографический список

1 Matlab.Exponenta [Электронный ресурс] / Список функций Wavelet Toolbox.

2 Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. - М.: ДМК Пресс, 2005. -304 с.

3 Cтолниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике. Теория и приложения. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 272 с.

4 Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учеб. пособие. - СПб.: Изд-во 000 «МОДУС», 1999. - 152 с.

Размещено на Allbest.ru