Обработка данных в MathCad

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Автоматика и телемеханика»

Курсовая работа

по дисциплине «Информационные технологии»

на тему «Обработка данных в MathCad»

Выполнил студент

Мирзоев М.М.

Исходные данные (технические требования) на проектирование

1. Выполнить кубическую сплайн-интерполяцию функции, заданной в табличном виде. Экстраполировать ее за пределы интервала, на котором она определена, на 50% его длины. Построить графики табличной, интерполирующей функции, первой производной и интеграла заданной функции. Качественно сравнить результат приближения заданной функции методами линейной и сплайн-интерполяции. Выполнить аппроксимацию аналитической функции полиномом. Порядок аппроксимирующего полинома подобрать опытным путем. Построить графики функции и аппроксимирующего полинома. Оценить погрешность аппроксимации. Исследовать, как измениться результат аппроксимации при уменьшении (увеличении) порядка аппроксимирующего полинома на единицу.

xi	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8
yi	0	0.3	0.5	0.9	1.2	1.4	1.6	1.1	0.7	0.2

2. Найти решение заданного дифференциального уравнения, построить график полученного решения.

программа математический алгоритм mathcad

3. Для заданного звукового файла (wav) реализовать и продемонстрировать следующие эффекты: удаление источника звука, приближение источника звука, зашумление сигнала (шум - случайный сигнал с нормальным, равномерным или экспоненциальным законом), эхо.

4. Считать рисунок из файла (цветной), повернуть его на заданный угол (90, 180, 270), добавить шум к одной из цветовых составляющих.

5. Разработать подпрограмму для интерполяции полиномом Ньютона.

6. По данному графическому изображению одиночного импульсного сигнала составить математическую модель и построить график сигнала. Используя аналитические выражения, разложить полученный сигнал в комплексный ряд Фурье, построить амплитудный и фазовый спектры сигнала, синтезировать сигнал и сравнить с исходным.

Объем работы по курсу

1.Расчетная часть

2. Графическая часть

Схема алгоритма

3. Экспериментальная часть

Отладка программы



Введение

Основной функцией компьютера является обработка информации, которая также может быть представлена в виде экспериментальных данных. Для обработки данных на компьютере необходимо иметь не только аппаратное обеспечение компьютера, но и программное обеспечение, в качестве которого используется пакет Mathcad.

Пакет Mathcad более популярен в инженерной, чем в научной, среде. Характерной особенностью пакета является использование привычных стандартных математических обозначений, т.е. вид документа на экране максимально приближен к общепринятой математической нотации.

Пакет Mathcad позволяет:

· использовать обычный калькулятор для простых, повторяемых вычислений;

· вычислять и упрощать символьные выражения;

· вычислять интегралы и производные функции;

· решать системы линейных алгебраических уравнений, работать с матрицами и определителями;

· решать системы нелинейных алгебраических уравнений;

· строить графики как в декартовых и цилиндрических, так и в полярных координатах, различные диаграммы и гистограммы;

· создавать программы с разветвляющимися и циклическими алгоритмами, используя свой собственный, интуитивно понятный, язык программирования;

· решать дифференциальные уравнения;

· решать задачи теории вероятности и математической статистики;

· осуществлять обмен информацией с другими приложениями операционной системы Windows, такими, как Excel, Powerpoint, Word;

· документировать расчёты и создавать отчётную документацию;

· использовать более 600 встроенных математических функций;

· осуществлять поддержку шаблонов документов, форматирования текста, форматирования формул и т.д.

В курсовой работе решена задача интерполяции и аппроксимации таблично заданной функции, задача интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты, осуществлена обработка звукового и графического файла с реализацией требуемых эффектов, разработана подпрограмма для решения нелинейного уравнения методом хорд, а также осуществлена обработка импульсного сигнала. Все задачи решены с использованием программы Mathcad с представлением необходимой графической информации.

1. Решение 1-го задания

1.1 Постановка задачи

Сплайн (от англ. spline, от [flat] spline-- гибкое лекало, гибкая плазовая рейка -- полоса металла, используемая для черчения кривых линий) -- функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим многочленом (полиномом). Максимальная из степеней использованных полиномов называется степенью сплайна. Разность между степенью сплайна и получившейся гладкостью называется дефектом сплайна. Например, непрерывная ломаная есть сплайн степени 1 и дефекта 1. В современном понимании сплайны -- это решения многоточечных краевых задач сеточными методами [1].

Пусть на отрезке вещественной оси xзадана сетка ,в узлах которой заданы значения функции ,определенной на.

x	x0	x1	…	xi	…	xn
y	y0	y1	…	yi	…	yn

Тогда задача кусочно-кубической интерполяции ставится следующим образом. На отрезке необходимо найти функцию ,удовлетворяющую требованиям:

функция непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно;

на каждом из отрезков функция является кубическим многочленом вида

 (1)

в узлах сетки выполняются равенства

(2)

вторая производная от функции удовлетворяет граничным условиям

(3)

Линейная алгебраическая система для нахождении неизвестных имеет вид:

(4)

Квадратная матрицаА имеет вид:

.

Векторы и и матрица Н таковы:

; ;

.

Матрица А симметрична, со строгим диагональным преобладанием. Она положительно определена и, разумеется, неособенная. Значит, коэффициенты определяются из системы (4) однозначно. Следовательно, сплайн-функция также однозначно восстанавливается по формулам (2) и задача о нахождении кусочно-кубической функции имеет единственное решение.

Аппроксимация (от лат. proxima- ближайшая) или приближение--научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, но более простыми.

Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа. Одним из методов аппроксимации является метод наименьших квадратов (МНК) [1].

МНК - один из наиболее часто используемых методов при обработке эмпирических данных, построении и анализе физических, биологических, технических, экономических и социальных моделей.

С помощью МНК решают задачу выбора параметров функции (заранее заданного вида) для приближённого описания зависимости величины у от величины х.

Исходные данные могут носить самый разнообразный характер и относиться к различным отраслям науки или техники, например:

ь зависимость продолжительности службы электрических ламп от поданного на них напряжения ;

ь зависимость пробивного напряжения конденсаторов от температуры окружающей среды ;

ь зависимость предела прочности стали от содержания углерода ;

ь зависимость показателей безработицы и инфляции ;

ь зависимость температура воздуха от высоты над уровнем моря и другие зависимости.

Пусть необходимо установить функциональную зависимость между двумя эмпирическими данными x и y, значения которых занесены в следующую таблицу:

x	x1	x2	…	xi	xn
y	y1	y2	…	yi	yn

Точки координатной плоскости принято называть экспериментальными.

Установим вид функции по характеру расположения на координатной плоскости экспериментальных точек.

Если точки расположены так, как показано на рисунке 1, то разумно предположить, что между xиy существует линейная зависимость, выражающаяся формулой:

. (5)

Рассмотрим случай такой зависимости.

Рисунок 1 - Линейная зависимость

Уравнение (5) можно представить в виде

.

Так как точки , , …, не обязательно лежат на одной прямой, то, подставляя вместо х и у значения координат этих точек в выражение , получаем равенства:

, , …, ,

где , , …, - некоторые числа, которые называют погрешностями (отклонениями, невязками).

Понятно, что чем меньше эти погрешности по абсолютной величине, тем лучше прямая, задаваемая уравнением , описывает зависимость между экспериментально полученными значениями xиy.

Сущность метода наименьших квадратов заключается в подборе коэффициентов k и bтаким образом, чтобы сумма квадратов погрешностей была как можно меньшей:

. (6)

Отметим, что в равенстве (6) находится сумма именно квадратов погрешностей, так как в случае суммирования самих погрешностей сумма может оказаться малой за счет разных знаков погрешностей.

Так как в равенстве (6) x_iиy_i - заданные числа, а k и b - неизвестные, то сумму S можно рассмотреть как функцию двух переменных k и b: .

В экспериментальной практике в качестве приближающих функций, помимо линейной и квадратичной , в зависимости от характера точечного графика часто используются следующие приближающие функции:

, , , , , .

Очевидно, что когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значений параметров.

1.2 Решение 1-го задания в Маткад



2. Решение 2-го задания

2.1 Постановка задачи

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) -- это дифференциальные уравнения для функции от одной переменной следующего вида

,(7)

где -- неизвестная функция, зависящая от независимой переменной x, штрих означает дифференцирование по x. Число n (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называется порядком дифференциального уравнения [1].

Известно, что с помощью дифференциальных уравнений можно описать задачи движения системы взаимодействующих материальных точек, химической кинетики, электрических цепей, и др. Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка, или к системе уравнений любого порядка. Так как любое ОДУ порядка pu^(p)(x) = f(x, u, u^/, u^//, … u^(p+1)) заменой u^(k)(x) = y_k(x) можно свести к эквивалентной системе из p уравнений первого порядка, представленных в каноническом виде:

y^/_k(x) = y_k+1(x) для 0 ? k ? p-2 (8)

y^/_p-1(x) = f(x, y₀, y₁, … y_p-₁), при этом y₀(x) ? u(x). (9)

Покажем такое преобразование на примере уравнения Бесселя:

.

Предполагая тождественную замену y₁(x) ? y(x) представим систему ОДУ в следующем виде:

.

Аналогично произвольную систему дифференциальных уравнений любого порядка можно заменить некоторой эквивалентной системой уравнений первого порядка. Следовательно, алгоритмы численного решения достаточно реализовать для решения системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Известно, что система p-го порядка имеет множество решений, которые в общем случае зависят от p параметров {C₁, C₂, … C_p}. Для определения значений этих параметров, т.е. для выделения единственного решения необходимо наложить p дополнительных условий на u_k(x). По способу задания условий различают три вида задач, для которых доказано существование и единственность решения. Это:

1) Задача Коши. Задается координата u_k(x₀) = u_k0 начальной точки интегральной кривой в (p+1) - мерном пространстве (k = 1…p). Решение при этом требуется найти на некотором отрезке x₀ ? x ? x_max.

2) Краевая задача. Это задача отыскания частного решения системы ОДУ на отрезке a ? x ? b, в которой дополнительные условия налагаются на значения функции u_k(x) более чем в одной точке этого отрезка.

3) Задача на собственные значения. Кроме искомых функций и их производных в уравнение входят дополнительно m неизвестных параметров л₁, л₂, … л_m, которые называются собственными значениями. Для единственности решения на некотором интервале необходимо задать p+m граничных условий.

В большинстве случаев необходимость численного решения систем ОДУ возникает в случае, когда аналитическое решение найти либо невозможно, либо нерационально, а приближенное решение (в виде набора интерполирующих функций) не дает требуемой точности. Численное решение системы ОДУ, в отличие от двух вышеприведенных случаев, никогда не покажет общего решения системы, так как даст только таблицу значений неизвестных функций, удовлетворяющих начальным условиям. По этим значениям можно построить графики данных функций или рассчитать для некоторогоx>x₀ соответствующие u_k(x), что обычно и требуется в физических или инженерных задачах. При этом требуется, чтобы соблюдались условия корректно поставленной задачи.

Решить задачу Коши для ОДУ y'=f(x,y) - это значит найти решение уравнения y'=f(x,y) в виде функции у(х), удовлетворяющей начальному условию у(х₀)=у₀.

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую у=у(х), проходящую через заданную точку M₀(x₀,y₀) при выполнении равенства в виде ОДУ.

К достоинствам метода следует отнести высокую точность вычислений. Схемы более высокого порядка точности практически не употребляются в силу своей громоздкости. Также немаловажно, что метод является явным, т.е. значение y_k+1 вычисляется по ранее найденным значениям за известное заранее число действий.

Все представленные выше схемы допускают расчет с переменным шагом. Например, шаг можно уменьшить там, где функция быстро изменяется, и увеличить в обратном случае.

2.2 Решение 2-го задания в Маткад

3. Решение 3-го задания

3.1 Постановка задачи

Все преобразования звука сводятся к нижеследующим.

Амплитудные преобразования. Выполняются над амплитудой сигнала. Такую процедуру можно проделать двумя способами: либо умножая амплитуду сигнала на некоторое фиксированное число, в результате чего получится одинаковое изменение интенсивности сигнала на всей его протяженности, то есть усиление или ослабление, либо, изменяя амплитуду сигнала по какому-то закону, т.е. умножая амплитуду сигнала на модулирующую функцию. Последний процесс называется амплитудной модуляцией.

Спектральные (частотные) преобразования. Такие преобразования выполняются над частотными составляющими звука. Фактически сигнал представляется рядом Фурье, то есть раскладывается на простейшие синусоидальные колебания различных частот и амплитуд. Затем производится обработка необходимых частотных составляющих (например, фильтрация) и обратная свертка. В отличие от амплитудных преобразований, эта процедура значительно более сложная в исполнении, так как сам процесс разложения звука на простейшие синусоидальные колебания очень трудоемок.

Фазовые преобразования. Выполняются либо путем постоянного сдвига фазы сигнала, либо путем наложения некоторой фазомодулирующей функции. Такие преобразования, например, стерео сигнала, позволяют реализовать эффект вращения или «объёмности» звука.

Временные преобразования. Реализуются путем наложения на сигнал одной или нескольких его копий, сдвинутых во времени. Позволяют создать эффекты эха или хора. Кроме того, временные преобразования могут влиять на пространственные характеристики звука.

Формантные преобразования. Выполняются над формантами - усиленными участками спектра звука. Применительно к звуку, сформированному речевым аппаратом человека, изменяя параметры формант, фактически можно изменять восприятие тембра и высоты голоса.

Фильтрация звука. К фильтрации прибегают в случаях, когда необходимо ограничить или изменить спектр звукового сигнала в каком-то определенном частотном диапазоне. Путем фильтрации звука, можно избавиться, например, от нежелательных шумов или помех, подавить определенные частотные полосы.

В программе будет обрабатываться исходный файл «Sound.wav».

3.2 Решение 3-го задания в Маткад



4. Решение 4-го задания

4.1 Постановка задачи

В соответствии с условием задачи, необходимо считать рисунок из файла (цветной), повернуть его на заданный угол (90, 180, 270), добавить шум.

В программе будет обрабатываться исходный файл «Photo.bmp».

Поворот изображения производится с помощью матрицы вращения - матрица, которая используется, чтобы выполнить вращение в Евклидовом пространстве.

4.2 Решение 4-гозадания в Маткад

5. Решение 5-го задания

5.1 Решение системы линейных уравнений методом касательных

Классический метод Ньютона или касательных заключается в том, что если -- некоторое приближение к корню уравнения , то следующее приближение определяется как корень касательной к функции , проведенной в точке .

Уравнение касательной к функции в точке имеет вид:

В уравнении касательной положим и .

Тогда алгоритм последовательных вычислений в методе Ньютона состоит в следующем:

Сходимость метода касательных квадратичная, порядок сходимости равен 2.

Таким образом, сходимость метода касательных Ньютона очень быстрая.

Без всяких изменений метод обобщается на комплексный случай.

Если корень является корнем второй кратности и выше, то порядок сходимости падает и становится линейным.

К недостаткам метода Ньютона следует отнести его локальность, поскольку он гарантированно сходится при произвольном стартовом приближении только, если везде выполнено условие , в противной ситуации сходимость есть лишь в некоторой окрестности корня.

Недостатком метода Ньютона является необходимость вычисления производных на каждом шаге.

5.2 Решение 5-го задания в Маткад



6. Решение 6-го задания

6.1 Постановка задачи

Для составления математической модели сигнала воспользуемся уравнением прямой:

, (10)

где - абсциссы начала и конца прямой;

- ординаты начала и конца прямой;

t, d - текущие абсцисса и ордината.

Снимая с заданного графика координаты точек перелома прямых и разрешая уравнение относительно переменной d, получим следующую математическую модель сигнала:

. (11)

Метод интегральных преобразований получил широкое распространение в современной математике и многих ее практических приложениях. В общей форме интегральное преобразование определяется следующим образом.

Дана функция f(x), заданная на интервале , который может совпадать со всей числовой осью или с полуосью . Интегральным преобразованием функции f(x) называется функция



где - фиксированная для данного преобразования функция, называемая ядром преобразования.

Если ядро принимает комплексные значения, то и будет комплексной функцией аргумента .

Преобразование Фурье является частным случаем интегральных преобразований, широко используемым в технике. Преобразованием Фурье называется функция

(12)

Преобразование Фурье определяется ядром

пропорциональным функции

Если функция f(x) является абсолютно интегрируемой на всей числовой оси, кусочно-гладкой на каждом конечном отрезке этой оси, то преобразование Фурье существует в каждой точке x, где f(x) дифференцируема и имеет место формула обращения (обратного) преобразования Фурье:

 (13)

В силу физических соображений функция называется также спектральной характеристикой функции f(x), ее модуль - амплитудным спектром функции f(x), а ее аргумент - фазовым спектром функции f(x).

Анализ Фурье находит широкое применение в многочисленных приложениях при обработке данных.

6.2 Решение 6-го задания в Маткад



Заключение

В результате выполнения курсовой работы решена задача интерполяции и аппроксимации таблично заданной функции, задача интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения. Осуществлена обработка звукового и графического файла с реализацией требуемых эффектов, разработана подпрограмма для решения нелинейного уравнения методом дихотомии, а также осуществлена обработка импульсного сигнала. Все задачи решены с использованием программ и MathCAD.

Список использованных источников

1. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, 400 с.

2. Е. Макаров. Инженерные расчеты в Mathcad 15. Учебный курс. - СПб.: Питер, 2011.

3. В.А. Охорзин. Прикладная математика в системе MATHCAD. Учебное пособие. 3-е изд. - СПб.: Лань, 2009, 352с. ISBN: 978-5-8114-0814-6.

4. В.А. Охорзин. Компьютерное моделирование в системе Mathcad. - М.: Финансы и статистика, 2006, 144с. ISBN: 5-279-03037-6.

5. Е.Р. Алексеев, О. В. Чеснокова. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. - М: НТ Пресс, 2006, 496с. ISBN: 5-477-00208-5.

6. Ю.М. Бидасюк. Mathcad для студента. - М.: Вильямс, 2006.

7. Д.В. Кирьянов. Mathcad 13 (+ CD-ROM). - СПб.: БХВ-Петербург, 2006, 598 с. ISBN: 5-94157-850-4.

8. В. Дьяконов. VisSim+Mathcad+MATLAB. Визуальное математическое моделирование. - М.: СОЛОН-Пресс, 2004.

9. В.Ф. Очков. Mathcad 14 для студентов и инженеров: русская версия. - СПб.: BHV, 2009.

10. Ю. Тарасевич. Информационные технологии в математике. - М: СОЛОН-Пресс, 2003.

Размещено на Allbest.ru

...