Восстановление изображения по векторному полю градиентов
Построение и решение уравнения Пуассона для решения задач компьютерной графики. Обзор алгоритма использования уравнения Пуассона для восстановления изображения по векторному полю градиентов. Рассмотрение возникающих проблем и способов их решения.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.02.2019 |
| Размер файла | 28,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
УДК 004.056
Восстановление изображения по векторному полю градиентов
Панкратова Е.А.
Семенова О.В.
Федотов В.Ю.
В статье содержится обзор алгоритма использования уравнения Пуассона для восстановления изображения по векторному полю градиентов, рассматриваются возникающие при этом проблемы и способы их решения.
Ключевые слова: Восстановление изображения, уравнение Пуассона, векторное поле градиентов. компьютерный графика изображение градиент
The article contains a review of the algorithm of using the Poisson equation for image restoration on the vector field of gradients, considers arising problems and ways of their solution.
Key words: image restoration, the Poisson equation, a vector field of gradients.
Для большого спектра задач компьютерной графики предложены методы, содержащие в качестве одного из этапов построение и решение уравнения Пуассона [1,2]. К таким задачам относятся: сжатие HDR-изображений, матирование изображений, редактирование изображений. Уравнение Пуассона в целом ряде из них используется для восстановления изображения по градиентному полю. Алгоритм редактирует не сами точки изображения, а связи между ними, из которых с помощью уравнения Пуассона восстанавливается изображение с наиболее близкими к данному векторному полю градиентами. Рассмотрим этот алгоритм подробно.
Пусть изображение - замкнутое подмножество с границей ?, заданной внутри неизвестной скалярной функцией и заданным на векторным полем градиентов V. Необходимо восстановить функцию , векторное поле градиентов которой равно V.
Проблема заключается в том, что V необязательно интегрируема. То есть, может не существовать такой функции , что = V. Это следует из того, что для должно выполняться условие . А значит для интегрируемости V необходимо выполнение условия , что необязательно для произвольной V. Тогда можно найти такую функцию , градиент которой наиболее близок к V.
Для этого надо минимизировать интеграл:
, где .
Функция , минимизирующая полученный интеграл, должна удовлетворять уравнению Эйлера-Лагранжа:
.
При замене в этом выражении F получаем формулу:
.
В итоге решение сводится к известному уравнению .
Для доопределения задачи следует добавить краевые условия трех видов:
Дирихле, когда ограничения накладываются на функцию на границе (/=/);
Неймана, когда ограничения накладываются на производную (/=/); смешанные.
Здесь - граница рассматриваемой области, - некоторая известная функция. В случае краевых условий Неймана решение определено с точностью до константы. Более того, для существования решения при краевых условиях Неймана интеграл функции по контуру границы должен быть равен нулю.
Следует отметить, что удобство уравнения Пуассона заключается в существовании достаточно хороших алгоритмов его решения в дискретном случае. Пусть теперь - конечное множество точек на дискретной плоскости, - множество соседей пикселя при 4-связности. Уравнение Пуассона в дискретном случае преобразуется в систему линейных уравнений, где число переменных равно числу пикселей в .
В случае краевых условий Дирихле это выглядит так:
для всех .
Здесь - проекция соответствующего вектора из V на ориентированное ребро [p,q] :
.
Получившаяся система уравнений имеет единственное решение. Несмотря на большое количество неизвестных, ее можно эффективно решать, так как подавляющее большинство коэффициентов равны нулю, то есть задача сводится к решению разреженной системы линейных уравнений.
Таким образом, можно восстановить одноканальное изображение по векторному полю градиентов. В случае нескольких каналов каждый обрабатывается отдельно.
Литература
1. Кононов В., Конушин В. Применение уравнения Пуассона в задачах обработки изображений. - М.: Журнал “Компьютерная графика и мультимедиа”, выпуск №7(1), 2009.
2. Захаров Е.В., Дмитриева И.В., Орлик С.И. Методическое пособие по курсу “Уравнения математической физики” - М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ, 2003
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Создание параллельной программы на языке программирования высокого уровня С с расширением MPI и аналогичной программы на OpenMP для решения двумерного уравнения Пуассона итерационным методом Зейделя. Блок-схема алгоритма, анализ работы программы.
контрольная работа [62,9 K], добавлен 06.01.2013Разработка программы на языке С++ для решения дифференциального уравнения Лапласа в прямоугольной области методом сеток. Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа, построение сетки и итерационного процесса. Листинг и результат программы.
курсовая работа [307,5 K], добавлен 30.04.2012Численный метод для решения однородного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутта. Решение краевой задачи. Уравнения параболического типа, а также Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [163,5 K], добавлен 27.05.2013Решение трансцендентного уравнения методом Ньютона. Построение графика функции. Блок-схема алгоритма решения задачи и программа решения на языке Pascal. Вычисление значения интеграла методом трапеции, блок-схема алгоритма, погрешности вычисления.
задача [163,4 K], добавлен 16.12.2009Разработка приложения в среде Delphi для нахождения кратчайшего пути передвижения короля по заданному полю, соединяющего два заданных поля доски. Разработка и поиск алгоритма решения задачи, спецификация исходных данных и функций, тестирование программы.
курсовая работа [358,5 K], добавлен 19.10.2010Проектирование схемы решения дифференциального уравнения, обеспечивающей управление процессом решения и задания начальных условий с помощью ЦВМ. Этапы программирования задач на аналоговых вычислительных машинах. Проверка результатов моделирования.
курсовая работа [71,6 K], добавлен 24.09.2010Математическое описание численных методов решения уравнения, построение графика функции. Cтруктурная схема алгоритма с использованием метода дихотомии. Использование численных методов решения дифференциальных уравнений, составление листинга программы.
курсовая работа [984,2 K], добавлен 19.12.2009Составление блок-схемы и алгоритма программы для решения уравнения с приближенным значением корня по методу Ньютона, расчета приближенного значения интеграла по формуле трапеций, вычисления уравнения длины вектора. Типы формул общего члена суммы.
курсовая работа [41,3 K], добавлен 15.12.2012Краткий обзор решения транспортных задач. Экономическая интерпретация поставленной задачи. Разработка и описание алгоритма решения задачи. Построение математической модели. Решение задачи вручную и с помощью ЭВМ. Анализ модели на чувствительность.
курсовая работа [844,3 K], добавлен 16.06.2011Реализация алгоритма метода сопряженных градиентов с матрично-векторным произведением по строкам в модели обмена сообщениями на языке программирования С++ с применением MPI для нахождения приближенного решения системы линейных алгебраических уравнений.
курсовая работа [107,7 K], добавлен 01.12.2010Основные леммы и теоремы для решения линейных интегральных уравнений методом итераций. Применение информационных технологий для вычисления функции, построение алгоритма для определения уравнения по ядру и отрезку интегрирования и правой части уравнения.
курсовая работа [213,7 K], добавлен 27.11.2010Применение методов минимальных невязок, минимальных поправок, скорейшего спуска, сопряженных градиентов. Алгоритмы и блок-схемы решения. Выбор размерности матрицы системы и требуемой точности. Зависимость количества итераций от размерности матрицы.
курсовая работа [582,8 K], добавлен 21.01.2014Анализ метода касательных (метода секущих Ньютона), аналитическое решение нелинейного уравнения. Описание алгоритма решения задачи, пользовательских идентификаторов, блок-схем, программного обеспечения. Тестирование программы на контрольном примере.
курсовая работа [97,1 K], добавлен 10.01.2014Суть принципа точечной графики. Изображения в растровой графике, ее достоинства. Обзор наиболее известных редакторов векторной графики. Средства для работы с текстом. Программы фрактальной графики. Форматы графических файлов. Трехмерная графика (3D).
дипломная работа [764,7 K], добавлен 16.07.2011Компьютерная графика. Пиксели, разрешение, размер изображения. Типы изображений. Черно-белые штриховые и полутоновые изображения. Индексированные цвета. Полноцветные изображения. Форматы файлов. Цвет и его модели. Цветовые модели: RGB, CMYK, HSB.
реферат [18,1 K], добавлен 20.02.2009Разработка программного обеспечения, реализующего нахождение минимального значения заданной функции многих переменных и ее точку минимума методом сопряжённых градиентов. Минимизация функции вдоль заданного направления. Блок-схема алгоритма минимизации.
отчет по практике [725,6 K], добавлен 01.10.2013Разностная схема решения уравнения теплопроводности. Численное решение уравнения теплопроводности в табличном процессоре Microsoft Ехсеl и в пакете математических расчётов MathCAD. Расчёт методом прогонки. Изменение пространственной координаты.
дипломная работа [248,4 K], добавлен 15.03.2014Разработка с использованием приложения Mathcad алгоритма и программы решения нелинейного уравнения методами касательных, половинного деления и хорд. Решение с помощью ее заданных нелинейных уравнений. Создание графической иллюстрации полученных решений.
курсовая работа [665,7 K], добавлен 22.08.2013Понятие и виды компьютерной графики. Применение спецэффектов в кинематографе. История развития компьютерной графики. Изменение частоты киносъемки с помощью спецэффектов. Виды компьютерной графики как способ хранения изображения на плоскости монитора.
реферат [34,8 K], добавлен 16.01.2013Решение дифференциального уравнения N-го порядка методом интегрирования при помощи характеристического уравнения, методом интегрирования и операторным методом для значений аргументов при заданных начальных условиях и нулевых уравнения 4–го порядка.
практическая работа [806,9 K], добавлен 05.12.2009
