Математическое моделирование задач кинематики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическое моделирование задач кинематики

Расчет и моделирование баллистических траекторий

Определить характер и изменение траектории тела, получившего начальную скорость под углом к ускорению свободного падения без учета и с учетом аэродинамического сопротивления воздуха.

Подобрать начальные значения скорости и угла вылета так, чтобы тело попало в цель.

Теоретическое введение

Баллистическая траектория -- это траектория, по которой движется тело, обладающее некоторой начальной скоростью, под действием силы тяготения и силы аэродинамического сопротивления воздуха.

Без учёта сопротивления воздуха баллистическая траектория представляет собой кривую второго порядка - параболу.

Движение тела, брошенного с некоторой начальной скоростью Vо под углом б к горизонту, представляет собой сложное явление: равномерное движение по горизонтальному направлению и одновременно равнозамедленное движение под действием силы тяжести в вертикальном направлении.

Изучение особенностей такого движения началось довольно давно, еще в XVI веке и было связано с появлением и совершенствованием артиллерийских орудий.

Законы полета метательных снарядов не привлекали особого внимания ученых до тех пор, пока не были изобретены дальнобойные орудия, которые посылали снаряд через холмы или деревья - так, что стреляющий не видел их полета.

Близко к правильному решению о полете пушечных ядер подошел итальянский математик Тарталья, он сумел показать, что наибольшей дальности полета снарядов можно достичь при направлении выстрела под углом 45° к горизонту. В его книге "Новая наука" были сформулированы правила стрельбы, которыми артиллеристы руководствовались до середины ХVII века.

Однако, полное решение проблем, связанных с движением тел брошенных горизонтально или под углом к горизонту, осуществил Галилей. В своих рассуждениях он исходил из двух основных идей: тела, движущиеся горизонтально и не подвергающиеся воздействию других сил будут сохранять свою скорость; появление внешних воздействий изменит скорость движущегося тела независимо от того, покоилось или двигалось оно до начала их действия. Галилей показал, что траектории снарядов, если пренебречь сопротивлением воздуха, представляют собой параболы.

Галилей указывал, что при реальном движении снарядов, вследствие сопротивления воздуха, их траектория уже не будет напоминать параболу: нисходящая ветвь траектории будет идти несколько круче, чем расчетная кривая. Ньютон и другие ученые разрабатывали и совершенствовали новую теорию стрельбы, с учетом возросшего влияния на движение артиллерийских снарядов сил сопротивления воздуха. Появилась и новая наука - баллистика.

Посмотрим, как меняется скорость тела, брошенного под углом б к горизонту, без учета и с учетом сопротивления воздуха.

Расчет и моделирование баллистических кривых без учета сопротивления среды. Рассмотрим движение тела, брошенного под углом б к горизонту с начальной скоростью Vo (рис.1).

Рис. 1. Представление криволинейного движения как сумму прямолинейных движений по горизонтали и вертикали

Спроецируем начальную скорость Vo и ускорение б на оси X и Y. Проекция начальной скорости на ось X равна Vox = Vo cosб. Проекция ускорения ax = 0, поскольку вектор g перпендикулярен оси X. Поэтому движение камня вдоль оси X будет равномерным. Проекция скорости Vx и координата x определяются соотношениями:

Проекция начальной скорости на ось Y равна Voy = Vo sina. Проекция ускорения ay= -g, поскольку вектор g направлен противоположно оси Y. Поэтому вдоль оси Y движение тела равнопеременное. В этом случае проекция скорости Vy и координата у тела задаются формулами:

Определим, по какой траектории движется брошенное тело, то есть, найдем уравнение, связывающее между собой координаты тела по осям X и У. Для этого выразим время из зависимости X(t):

и подставим его в формулу для Y(t). Получаем квадратичную функцию Y(X):

Если выбрать систему координат таким образом, что x0 = 0, у0 = 0, то формула упрощается:

Графиком полученной функции у = y(x) является парабола (рис.2), направленная ветвями вниз и пересекающая ось X в точках x1 = 0 (начало координат) и x2 = L (длина полета тела).

Рис. 2. Парабола для случая b = - 0,2 м-1 и c = 1,6.

Движение вверх продолжается до тех пор, пока вертикальная составляющая vy = v0 Sinб - gt не приравняется нулю. Обозначив время подъема буквой ф вычислим его из уравнения vy = 0:

.

Заметим, что это время из-за симметрии движения равняется времени спуска.

Вычислим высоту полета h:

,

а также дальность полета:

Имея в виду, что тригонометрическая функция синус принимает свое максимальное значение 1 при аргументе 2б = 90o, получим:

при б = 45о.

Интерфейс программы построения баллистических кривых без учета спротивления среды.

Рис. 3. Интерфейс программы построения баллистических кривых без учета спротивления среды

Рис. 4. Интерфейс программы построения баллистических кривых без учета сопротивления среды с примерами результатов расчета

Интерфейс программы поражения цели

Рис. 5. Интерфейс программы поражения цели без учета сопротивления среды.

Рис. 6. Интерфейс программы поражения цели без сопротивления среды с примерами результатов расчета

Расчет и моделирование баллистических кривых с учетом сопротивления среды

Теперь рассмотрим второй случай:

\

Второй закон Ньютона приобретает вид

, отсюда :

Запишем это равенство в скалярном виде:

Мы получили два линейных дифференциальных уравнения. Первое уравнение имеет решение

в чём можно убедиться, подставив данную функцию в уравнение для vx и в начальное условие .Здесь e = 2,718281828459... -- число Эйлера. Второе уравнение имеет решение

Так как

, ,

то при наличии сопротивления воздуха движение тела стремится к равномерному, в отличие от случая 1, когда скорость неограниченно увеличивается.Найдём выражения для x и y. Так как x(0) = 0, y(0) = 0, то

отсюда

Для получения уравнения траектории необходимо решить уравнение для х по отношению времени t и поставить в уравнение для у (по сути дела исключить время из этих уравнений):

баллистический интерфейс моделирование

Интерфейс программы построения баллистических кривых с учетом спротивления среды

Рис. 7. Интерфейс программы построения баллистических кривых с учетом сопротивления среды

Рис. 8. Интерфейс программы построения баллистических кривых с учетом сопротивления среды и примеры результатов расчета

Реализация функциональной части программы на языке C#

Расчетная часть режима «без сопротивления воздуха»

Расчетная часть режима «поражение цели (без сопротивления воздуха)»

Расчетная часть режима «поражение цели (без сопротивления воздуха)»

Библиографический список

баллистический интерфейс моделирование

1.Б.В. Пронин, «Физика», М. МСХА.2011.

2.Показеев К.В., Пронин Б.В. «Сборник задач по физике» М. МСХА.2014.

3.Библиотека Microsoft Developer Network (MSDN). [Электронный ресурс] https://msdn.microsoft.com/ru-ru/default.aspx.

4.Справочник по библиотеке Live Charts. [Электронный ресурс] https://lvcharts.net.

Размещено на Allbest.ru