Современные математические пакеты

Размещено на http://www.allbest.ru/

Современные математические пакеты

Дудницкая А.А.

Научный руководитель Кобрунов А.И.

Ухта, Ухтинский государственный технический университет

Символьная, или, как еще говорят, компьютерная, математика либо компьютерная алгебра, -- большой раздел математического моделирования. В принципе, программы такого рода можно отнести к инженерным программам автоматизированного проектирования. В области инженерного проектирования выделяют три основных раздела:

CAD -- Computer Aided Design (система автоматизированного проектирования);

CAM -- Computer Aided Manufacturing (автоматизированное проектирование и производство);

CAE -- Computer Aided Engeneering (системы автоматизации инженерных расчётов).

Сегодня масса отраслей, а также учебные заведения технической направленности уже не могут обойтись без систем автоматизированного проектирования (САПР), производства и расчетов. Всего каких-нибудь 10 лет назад эти системы считались сугубо профессиональными, но середина 90-х годов стала переломным моментом для мирового рынка CAD/CAM/CAEсистем массового применения. Тогда, впервые за долгое время, пакеты для параметрического моделирования с промышленными возможностями стали доступны пользователям персональных компьютеров. Создатели подобных систем учли требования широкого круга пользователей и таким образом дали возможность десяткам тысяч инженеров и математиков использовать на своих персональных рабочих местах новейшие достижения науки в области технологий CAD/CAM/CAE-систем.

Wolfram Mathematica -- система компьютерной алгебры, используемая во многих научных, инженерных, математических и компьютерных областях. Изначально система была придумана Стивеном Вольфрамом, в настоящее время разрабатывается компанией Wolfram Research.

Компания Wolfram Reseach, Inc., разработавшая систему компьютерной математики Mathematica, по праву считается старейшим и наиболее солидным игроком в этой области. Пакет Mathematica повсеместно применяется при расчетах в современных научных исследованиях и получил широкую известность в научной и образовательной среде. Можно даже сказать, что Mathematica обладает значительной функциональной избыточностью (там, в частности, есть даже возможность для синтеза звука).

Рисунок 1 - Графические возможности Mathematica

Mathematica -- это, с одной стороны, типичная система программирования на базе одного из самых мощных проблемно-ориентированных языков функционального программирования высокого уровня, предназначенная для решения различных задач (в том числе и математических), а с другой -- интерактивная система для решения большинства математических задач в диалоговом режиме без традиционного программирования. Таким образом, Mathematica как система программирования имеет все возможности для разработки и создания практически любых управляющих структур, организации ввода-вывода, работы с системными функциями и обслуживания любых периферийных устройств, а с помощью пакетов расширения появляется возможность подстраиваться под запросы любого пользователя. В системе Mathematica были добавлены новые обширные сферы применения--ещё более расширяя не имеющую себе равных базу алгоритмических, информационных возможностей и возможностей пользовательского интерфейса системы Mathematica.

Ключевые идеи:

• максимальное количество встроенных знаний. В отличие от других языков программирования, философия Wolfram Language подразумевает встроить в язык максимальное количество знаний - алгоритмы и фактическую информацию о мире. В язык встроена самая большая база алгоритмов и пригодных для вычислений знаний. Это данные из тысяч различных сфер, которые курируются компанией Wolfram Researh;

• максимальная автоматизация. У программиста должна быть возможность сосредоточиться на том, что он хочет получить, а язык должен автоматически объяснять, как этого достичь. Язык содержит тысячи уникальных метаалгоритмов для автоматического выбора исполняемых алгоритмов, автоматизации процессов программирования, презентаций, работы с интерфейсами;

• максимальная единообразность дизайна. Элегантная и единообразная структура языка должна обеспечивать совместимость между различными областями языка, предоставлять максимальную гибкость программных конструкций и повышать читабельность, понятность и предсказуемость кода;

• представление чего бы то ни было в виде символьных выражений. Представление данных, формул, кода, графики, документов, интерфейсов и прочего в символьном виде, что даёт большую гибкость в написании кода, а инкрементный подход подразумевает, что любой фрагмент кода может быть запущен. Подобный подход подразумевает возможность включить в код любой из перечисленных выше объектов;

• содержание встроенной обширной модели мира. Единицы измерения, даты, локации, данные из различных областей представляются с помощью расширемого символьного фреймворка;

• развёртывание языка где угодно. На локальном компьютере, в облаке, на мобильных устройствах, возможность быть встроенным; язык позволяет создать web API в любой программе, а также встроить язык в программную или аппаратную систему;

• удобные интерфейсы. Символьные выражения позволяют стандартизировать взаимодействия с внешними данными и программами; также язык поддерживает работу с устройствами реального времени и создание связей через собственное облако Wolfram Cloud;

• интегрированный процесс написания и исполнения кода позволяет сразу же тестировать написанные участки кода, визуализировать результаты и проводить аналитику, что позволяет реализовать инкрементное и исследовательское программирование;

• создание программ любого размера. Программы на Wolfram Language могут содержать как всего несколько строк, так и несколько миллионов, и их могут разрабатывать как один человек, так и большой коллектив, что обеспечивается заточенной под масштабное программирование средой. К примеру, Mathematica, почти полностью написана на Wolfram Language (лишь небольшая часть кода написана на Си).

• максимальная выразительность языка обеспечивается его символьным характером, что позволяет использовать как привычные парадигмы, так и недавно появившиеся;

• максимально долгая обратная совместимость. Программы, написанные 25 лет назад, могут быть запущены и в современных версиях системы. Практическая часть

1) График функции двух переменных и изображение списка функции двух переменных

Рисунок 2. 3D изображение функции двух переменных

()()

Рисунок 3. Восстановление сигнала с помощью преобразования Фурье

MATLAB (сокращение от англ. «Matrix Laboratory) -- пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноимённый язык программирования, используемый в этом пакете. MATLAB используют более 1000000 инженерных и научных работников, он работает на большинстве современных операционных систем, включая Linux, Mac OS, и Microsoft Windows.

Система MatLab -- одна из старейших, тщательно проработанных и проверенных временем систем автоматизации математических расчетов, построенная на расширенном представлении и применении матричных операций.

В системе MatLab также существуют широкие возможности для программирования. Ее библиотека C Math (компилятор MatLab) является объектной и содержит свыше 300 процедур обработки данных.

Язык MATLAB является высокоуровневым интерпретируемым языком программирования, включающим основанные на матрицах структуры данных, широкий спектр функций, интегрированную среду разработки, объектно-ориентированные возможности и интерфейсы к программам, написанным на других языках программирования. Программы, написанные на MATLAB, бывают двух типов -- функции и скрипты. Функции имеют входные и выходные аргументы, а также собственное рабочее пространство для хранения промежуточных результатов вычислений и переменных. Скрипты же используют общее рабочее пространство. Как скрипты, так и функции сохраняются в виде текстовых файлов и компилируются в машинный код динамически. Существует также возможность сохранять так называемые preparsed программы -- функции и скрипты, обработанные в вид, удобный для машинного исполнения. В общем случае такие программы выполняются быстрее обычных, особенно если функция содержит команды построения графиков.

В состав MatLab входит среда GUIDE для создания приложений с графическим интерфейсом пользователя. Работа в этой среде достаточно проста - элементы управления (кнопки, раскрывающиеся списки и т.д.) размещаются при помощи мыши, а затем программируются события, которые возникают при обращении пользователя к данным элементам управления.

Приложение может состоять как из одного основного окна, так и нескольких окон и осуществлять вывод графической и текстовой информации, в основное окно приложения и в отдельные окна. Ряд функций MatLab предназначен для создания стандартных диалоговых окон открытия и сохранения файла, печати, выбора шрифта, окна для ввода данных и др., которыми можно пользоваться в собственных приложениях.

Таким образом, систему MatLab можно использовать для обработки изображений, программу MatLab можно использовать для восстановления испорченных изображений, шаблонного распознавания объектов на изображениях или же для разработки каких-либо собственных оригинальных алгоритмов обработки изображений, для создания математических моделей динамических систем, основанных на наблюдаемых входных/выходных данных. А что касается математических вычислений, то MatLab предоставляет доступ к огромному количеству подпрограмм, содержащихся в библиотеке NAG Foundation Library компании Numerical Algorithms Group Ltd (инструментарий имеет сотни функций из различных областей математики, и многие из этих программ были разработаны широко известными в мире специалистами). Это уникальная коллекция реализаций современных численных методов компьютерной математики, созданных за последние три десятка лет. Таким образом, MatLab вобрала и опыт, и правила, и методы математических вычислений, накопленные за тысячи лет развития математики. Одну только прилагаемую к системе обширную документацию вполне можно рассматривать как фундаментальный многотомный электронный справочник по математическому обеспечению.

Из недостатков системы MatLab можно отметить невысокую интегрированность среды (очень много окон, с которыми лучше работать на двух мониторах), не очень внятную справочную систему (а между тем объем фирменной документации достигает почти 5 тыс. страниц, что делает ее трудно обозримой) и специфический редактор кода MatLab-программ. Сегодня система MatLab широко используется в технике, науке и образовании, но все-таки она больше подходит для анализа данных и организации вычислений, нежели для чисто математических выкладок.

Практическая часть

В программном пакет MATLAB была написана программа для решения задачи электроразведки в однородной среде.

Рассмотрим плоское электромагнитное поле, распространяющееся в направлении оси z.

clear; % очистка рабочей области clc; % очистка экрана

s=0.01; % удельная электропроводность m=4*pi*10^(-7); % проницаемость

d=(1/(36*pi))*10^(-9); % диэлектрическая проницаемость w=2*pi*10.^[-1:0.1:7]; % частота

k=sqrt(i*w*m*s-(w.^2)*m*d); % волновое число figure(1); clf; semilogx (w,real(k)); grid; figure(2); clf; semilogx (w,imag(k)); grid;

Z=[0:1:1000]; % глубина

W=w(50)

K=sqrt(i*W*m*s-(W.^2)*m*d)

Ex=exp(-K*Z);

figure(3); clf; plot(Z,real(Ex)); grid; figure(4); clf; plot(Z,imag(Ex)); grid;

Рисунок 13 - Действительная часть (Re) от волнового числа.

Рисунок 14 - Мнимая часть от волнового числа.

Рисунок 15 - Действительная часть напряженности электрического поля.

Рисунок 16 - Мнимая часть напряженности электрического поля.

Вывод: данная программа позволяет решать задачи электроразведки в однородной среде.

MATHCAD -- система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается лёгкостью использования и применения для коллективной работы.

В отличие от мощного и ориентированного на высокоэффективные вычисления при анализе данных пакета MatLab, программа MathCad-- это, скорее, простой, но продвинутый редактор математических текстов с широкими возможностями символьных вычислений и прекрасным интерфейсом. MathCad не имеет языка программирования как такового, а движок символьных вычислений заимствован из пакета Maple. Зато интерфейс программы MathCad очень простой, а возможности визуализации богатые. Все вычисления здесь осуществляются на уровне визуальной записи выражений в общеупотребительной математической форме. Пакет имеет хорошие подсказки, подробную документацию, функцию обучения использованию, целый ряд дополнительных модулей и приличную техническую поддержку производителя. Однако пока математические возможности MathCad в области компьютерной алгебры намного уступают системам Maple, Mathematica, MatLab. Однако по программе MathCad выпущено много книг и обучающих курсов, в том числе у нас в России. Для небольшого объема вычислений MathCad идеален -- здесь все можно проделать очень быстро и эффективно, а затем оформить работу в привычном виде. Пакет имеет удобные возможности импорта/экспорта данных. Например, можно работать с электронными таблицами Microsoft Excel прямо внутри MathCad-документа.

В общем, MathCad -- это очень простая и удобная программа, которую можно рекомендовать широкому кругу пользователей, в том числе не очень сведущих в математике, а особенно тем, кто только постигает ее азы.

В настоящее время научное программирование претерпевает серьезную трансформацию: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем (Maple, Mathematica, MATLAB, MatCad и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования. [6] Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов разных профилей, о чем говорит активное применение математических пакетов в научных исследованиях и в преподавании. С помощью этих пакетов проще готовить и выполнять задания, устраивать демонстрации и гораздо быстрее решать исследовательские и инженерные задачи.

В заключение, отметим, что пользователь пакетов компьютерной математики должен иметь представление об основных численных методах. Вообще говоря, появление современных вычислительных систем значительно облегчает доступ к компьютеру непрофессионалам в области программирования, и поддерживает постоянное стремление к их усовершенствованию и освоению новых компьютерных технологий.

алгебра математика программирование компьютерный

Библиографический список

1. Таранчук В.Б. Основные функции систем компьютерной алгебры. -- Минск: БГУ, 2013.

2. Говорухин, В. Компьютер в математическом исследовании: Maple, MATLAB, LaTeX / В. Говорухин, В. Цибулин. - Спб.: Питер, 2001. - 624 с.

3. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica

4. Справочное издание. М.: СК ПРЕСС. - 1998.- 328 c.

5. В.Ф. Очков. MATLAB 7 Pro для студентов и инженеров. М: КомпьютерПресс, 1998. -384 с.

Размещено на Allbest.ru