Рекурсивный алгоритм вычисления натуральной степени числа

В данном случае функция r1( ) вызывает саму себя.

#include <iostream>

using namespace std;

void r1 (int a);

void r2 (int a);

void r3 (int a);

void r1(int a)

{

cout << "function r1" << endl;

if (a < 6)

r1(a+1);

}

int main ( )

{

r1 (0);

return NULL;

}

Результат работы программы представлен на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 - Прямая рекурсия

-косвенная рекурсия.

При косвенной рекурсии имеется циклическая последовательность вызовов нескольких алгоритмов.

В данном случае функция r1( ) вызывает функцию r2( ), которая вызывает r3( ).

Функция r3( ) в свою очередь снова вызывает r1( ).

#include <iostream>

using namespace std;

void r1 (int a);

void r2 (int a);

void r3 (int a);

void r1(int a)

{

cout << "function r1" << endl;

if (a < 6)

r2(a+1);

}

void r2(int a)

{

cout << "function r2" << endl;

if (a < 6)

r3(a+1);

}

void r3(int a)

{

cout << "function r3" << endl;

if (a < 6)

r1(a+1);

}

int main ( )

{

r1 (0);

return NULL;

}

Результат работы программы представлен на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 - Косвенная рекурсия

-линейная рекурсия - если исполнение подпрограммы приводит только к одному вызову этой же самой подпрограммы, то такая рекурсия называется линейной.

Рисунок 1.3 - Линейная рекурсия

#include <iostream>

using namespace std;

void function(int a);

void function (int a)

{

if (a > 0)

function(a - 1);

}

int main ( )

{

function(3);

return NULL;

}

-ветвящаяся рекурсия - если каждый экземпляр подпрограммы может вызвать себя несколько раз, то рекурсия называется нелинейной или "ветвящейся".

Рисунок 1.4 - Ветвящаяся рекурсия

#include <iostream>

using namespace std;

int function(int a);

int function (int a)

{

if (a > 3)

a = function (a - 1) * function(a - 2);

return a;

}

int main ()

{

cout << function(6) << endl;

return NULL;

}

-бесконечная рекурсия (на самом деле это условное обозначение так как при переполнении памяти компьютера программа выдаст ошибку и/или завершит ее в аварийном режиме).

Одна из самых больших опасностей рекурсии - бесконечный вызов функцией самой себя.

Например:

void function ()

{ function(); }

Другой пример:

int Function (unsigned int n)

// Unsigned int - тип, содержащий неотрицательные значения

{ if (n > 0)

{

Function(n++); return n;

}

else return 0;

}

Результат работы программы представлен на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 - Сообщение о переполнении стека

При использовании подобных алгоритмов появляется ошибка, предупреждающая о переполнении стека. Причиной такой проблемы чаще всего является отсутствие базиса, либо других точек останова, так же неправильно заданные точки прерывания рекурсии.

1.2 Общие принципы программной реализации рекурсии

Другая причина предпочтения рекурсивного решения состоит в том, что итеративное решение может не быть очевидным.

Рекурсивные алгоритмы в программировании реализованы в механизме так называемых рекурсивных подпрограмм. Рекурсивной считается подпрограмма, которая прямо или косвенно, через другие подпрограммы, обращается к себе, быть может с иными фактическими параметрами. В современных системах программирования корректное функционирование подпрограмм, особенно рекурсивных, обеспечивается с помощью стека.

Стек - связная структура данных, построенная на принципе «первый пришёл - первый вышел» (Fiгst In - Fiгst Out, FIFO). То есть вновь добавляемые объекты помещаются в начало, вершину стека, и выбираются они также только из вершины.

Стек является чрезвычайно удобной структурой данных для многих задач вычислительной техники. Наиболее типичной из таких задач является обеспечение вложенных вызовов процедур. Предположим, имеется процедура A, которая вызывает процедуру B, а та в свою очередь - процедуру C. Когда выполнение процедуры A дойдет до вызова B, процедура A приостанавливается и управление передается на входную точку процедуры B. Когда B доходит до вызова C, B приостанавливается и управление передается на процедуру C. Когда заканчивается выполнение процедуры C, управление должно быть возвращено в B, причем в точку, следующую за вызовом C.

При завершении B управление должно возвращаться в A, в точку, следующую за вызовом B. Правильную последовательность возвратов легко обеспечить, если при каждом вызове процедуры записывать адрес возврата в стек. Так, когда процедура A вызывает процедуру B, в стек заносится адрес возврата в A; когда B вызывает C, в стек заносится адрес возврата в B.

Когда C заканчивается, адрес возврата выбирается из вершины стека - а это адрес возврата в B. Когда заканчивается B, в вершине стека находится адрес возврата в A, и возврат из B произойдет в A.

Механизм вызова функции или процедуры в языке высокого уровня существенно зависит от архитектуры компьютера и операционной системы. В рамках IBM PC совместимых компьютеров, в микропроцессорах семейства

Intel, как и в большинстве современных процессорных архитектур, поддерживается аппаратный стек.

Аппаратный стек расположен в ОЗУ, указатель стека содержится в паре специальных регистров SS:SP доступных для программиста. Аппаратный стек расширяется в сторону уменьшения адресов, указатель его адресует первый свободный элемент. Схематично этот механизм иллюстрирован на рисунке 1.6.

Языки PASCAL, C, C++ используют стек для размещения в нем локальных переменных процедур и иных программных блоков. Стек разбит на фрагменты, представляющие собой блоки последовательных ячеек.

Рисунок 1.6 - Механизм вызова функции в аппаратном стеке

Каждый вызов подпрограммы использует фрагмент стека, длина которого зависит от вызывающей подпрограммы. При каждой активизации процедуры память для ее локальных переменных выделяется в стеке; при завершении процедуры эта память освобождается. Поскольку при вызовах процедур всегда строго соблюдается вложенность, то в вершине стека всегда находится память, содержащая локальные переменные активной в данный момент процедуры.

Таким образом, в общем случае при вызове процедурой A процедуры B происходит следующее:

1. В вершину стека помещается фрагмент нужного размера. В него входят следующие данные:

а) указатели фактических параметров вызова процедуры В;

б) пустые ячейки для локальных переменных, определенных в процедуре В;

в) адрес возврата, т.е. адрес команды в процедуре A, которую следует выполнить после того, как процедура B закончит свою работу.

Если B - функция, то во фрагмент стека для B помещается указатель ячейки во фрагменте стека для A, в которую надлежит поместить значение этой функции (адрес значения).

2. Управление передается первому оператору процедуры B.

3. При завершении работы процедуры B управление передается процедуре A с помощью следующей последовательности шагов:

а) адрес возврата извлекается из вершины стека;

б) если B - функция, то ее значение запоминается в ячейке, предписанной указателем на адрес значения;

в) фрагмент стека процедуры B извлекается из стека, в вершину ставится фрагмент процедуры A;

г) выполнение процедуры A возобновляется с команды, указанной в адресе возврата.

При вызове подпрограммой самой себя, т.е. в рекурсивном случае, выполняется та же самая последовательность действий.

Этот прием делает возможной легкую реализацию рекурсивных процедур. Когда процедура вызывает сама себя, то для всех ее локальных переменных выделяется новая память в стеке, и вложенный вызов работает с собственным представлением локальных переменных. Когда вложенный вызов завершается, занимаемая его переменными область памяти в стеке освобождается и актуальным становится представление локальных переменных предыдущего уровня.

Рекурсия использует стек в скрытом от программиста виде, но все рекурсивные процедуры могут быть реализованы и без рекурсии, но с явным использованием стека.

Рассмотрим пример для функции вычисления факториала: дерево рекурсии при вычислении 5! (рисунок 1.7).

Дерево рекурсивных вызовов может иметь и более сложную структуру, если на каждом вызове порождается несколько обращений - фрагмент дерева рекурсий для чисел Фибоначчи представлен на рисунке 1.8.

Рисунок 1.7 - Дерево рекурсии при вычислении факториала числа 5

Рисунок 1.8 - вычисление 5ого числа Фибоначчи (Fb(5)).

Упомянутый анализ практической сложности программ показывает, что часто асимптотически более сложные итеративные алгоритмы, на практике становятся более эффективными.

Сравнивая скорость вычисления чисел Фибоначчи с помощью итеративной и рекурсивной функции можно заметить, что итеративная функция выполняется почти «мгновенно», не зависимо от значения n. При использовании же рекурсивной функции уже при n=40 заметна задержка при вычислении, а при больших n результат появляется весьма не скоро. Причина, как уже было сказано, кроется в том, что в теории не учтена зависимость времени работы программы от количества вызовов вложенных подпрограмм. Неэффективность рекурсии проявляется в том, что одни и те же вычисления производятся много раз. Особенно сильно это проявляется в методе, который был самым востребованным при построении теоретически быстрых рекурсивных алгоритмов, - методе бинарного разбиения на независимые подзадачи. Когда подзадачи независимы, это часто приводит к недопустимо большим затратам времени, так как одни и те же подзадачи решаются многократно.

Обходить подобные ситуации позволяет подход, известный как динамическое программирование. Этот подход для реализации рекурсивных программ дает возможность получать эффективные и элегантные решения для обширного класса задач.

Технология, называемая восходящим динамическим программированием (bottom - up dynamic pгogгamming) основана на том, что значение рекурсивной функции можно определить, вычисляя все значения этой функции, начиная с наименьшего, используя на каждом шаге ранее вычисленные значения для подсчета текущего значения. Она применима к любому рекурсивному вычислению при условии, что мы можем позволить себе хранить все ранее вычисленные значения. Это в результате позволит уменьшить временную зависимость с экспоненциальной на линейную.

Нисходящее динамическое программирование (top - down dynamic pгogгamming). Оно позволяет выполнять рекурсивные функции при том же количестве итераций, что и восходящее динамическое программирование. Технология требует введения в рекурсивную программу неких средств, обеспечивающих сохранение каждого вычисленного значения и проверку сохраненных значений во избежание их повторного вычисления.

Таким образом, современные информационные технологии содержат достаточно средств, чтобы сделать теоретически эффективные рекурсивные алгоритмы, также эффективными и широко используемыми на практике. Преимущества рекурсии заключаются в следующих аспектах:

- часто это наиболее легкий метод написания алгоритма для задач, которые можно решить с помощью рекурсии (число фибоначчи, факториал);

- рекурсивно реализованные алгоритмы, при правильных на то основаниях, имеют лаконичную запись и менее трудоёмки при последующей отладке и модификации, они сокращают временные затраты на разработку, отладку и модификацию программных средств;

- целый ряд структур данных и многие объекты современных языков программирования рекурсивны по самой своей сути (фрактальные объекты, иерархия классов в объектно-ориентированном программировании, древовидные регулярные структуры данных) и программы для работы с такими структурами выглядят намного более естественно в рекурсивной реализации;

- рекурсия делает код более читабельным (позволяет читать код с любого места, не просматривая его весь, отслеживая все изменения переменной), что облегчает отладку;

- рекурсия защищает от ошибок типа: «действия выполнены в неверном порядке», «использована неинициализированная переменная» и других аналогичных.

Недостатки рекурсии заключаются в следующем:

- велика возможность войти в бесконечный цикл;

- при использовании некоторых формул слишком большие затраты памяти компьютера (к примеру, при вычислении числа Фибоначчи или факториалов, необходимо запоминать все значения чисел и вычислять одни и те же значения по многу раз);

- в случае если вызываемых функций будет очень много, может произойти переполнение стека;

- следует избегать использования рекурсии в случаях, когда требуется высокая эффективность, так как они требуют времени и дополнительных затрат памяти и обладают худшей временной эффективностью.

Обслуживание рекурсивных вызовов влечет определенные накладные расходы, но при этом рекурсивные алгоритмы, разработанные методом декомпозиции, имеют лучшие асимптотические оценки. Это означает, что, начиная с некоторой длины входа, достаточно часто соответствующей области практического использования, программная реализация рекурсивного алгоритма будет иметь лучшие временные показатели.

рекурсия алгоритм факториал число

2. Разработка структурной схемы программы

2.1 Выбор языка программирования для реализации алгоритма

C++ - компилируемый статически типизированный язык программирования общего назначения.

Поддерживает такие парадигмы программирования как процедурное программирование, объектно-ориентированное программирование, обобщённое программирование, обеспечивает модульность, раздельную компиляцию, обработку исключений, абстракцию данных, объявление типов (классов) объектов, виртуальные функции. Стандартная библиотека включает, в том числе, общеупотребительные контейнеры и алгоритмы. C++ сочетает свойства как высокоуровневых, так инизкоуровневых языков. В сравнении с его предшественником-- языком C,-- наибольшее внимание уделено поддержке объектно-ориентированного и обобщённого программирования.

C++ широко используется для разработки программного обеспечения, являясь одним из самых популярных языков программирования. Область его применения включает создание операционных систем, разнообразных прикладных программ, драйверов устройств, приложений для встраиваемых систем, высокопроизводительных серверов, а также развлекательных приложений (игр). Существует множество реализаций языка C++, как бесплатных, так и коммерческих и для различных платформ. Например, на платформе x86 это GCC, Visual C++, Intel C++ Compiler, Embarcadero (Borland) C++ Builderи другие. C++ оказал огромное влияние на другие языки программирования, в первую очередь на Java и C#.

Синтаксис C++ унаследован от языка C. Одним из принципов разработки было сохранение совместимости с C. Тем не менее, C++ не является в строгом смысле надмножеством C; множество программ, которые могут одинаково успешно транслироваться как компиляторами C, так и компиляторами C++, довольно велико, но не включает все возможные программы на C.

Язык Паскаль был создан Никлаусом Виртом в 1968--1969 годах после его участия в работе комитета разработки стандарта языкаАлгол-68. Язык назван в честь французского математика, физика, литератора и философа Блеза Паскаля, который создал первую в мире механическую машину, складывающую два числа. Первая публикация Вирта о языке датирована 1970 годом, представляя язык, автор указывал в качестве цели его создания -- построение небольшого и эффективного языка, способствующего хорошему стилю программирования, использующему структурное программирование и структурированные данные.

Последующая работа Вирта была направлена на создание на основе Паскаля языка системного программирования, с сохранением возможности вести на его базе систематический, целостный курс обучения профессиональному программированию. Результат этой работы -- язык Модула-2.

2.2 Алгоритм программы