Применение средств динамического программирования в процессе наведения летательного аппарата

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФНПЦ АО «НПО «Марс»

ПРИМЕНЕНИЕ СРЕДСТВ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ПРОЦЕССЕ НАВЕДЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

А.Е. Кукин, А. Н. Пифтанкин, А. С. Гуторов,

М. Н. Суетин, Л. П. Вечканов

Аннотация

летательный аппарат авиация полет

В работе рассматриваются вопросы процесса формирования профиля полета летательного аппарата (ЛА). Расчет и выбор оптимального профиля полета ЛА являются одними из наиболее распространенных вопросов в задачах, связанных с планированием действий авиации. Профиль полета в координатах «дальность - высота» представляет собой последовательность участков, каждому из которых соответствует определенная программа изменения высоты и скорости. Построение траектории полета ЛА характеризуется работой с большим количеством нелинейно меняющихся зависимых друг от друга параметров и учетом ограничений, наложенных на полеты: разрешенные эшелоны высот полетов авиации, запретные зоны с неприемлемыми метеоусловиями, запретные зоны действия средств противовоздушной обороны противника. Эти факторы существенно затрудняют моделирование обозначенного процесса. Применение при решении данной задачи математического аппарата динамического программирования может позволить наиболее эффективным образом выбирать режимы полета ЛА и оптимизировать процесс формирования профиля полета в целом.

Ключевые слова: наведение, истребительная авиация, профиль полета, динамическое программирование.

Abstract

APPROVED BY THE ORGANIZING COMMITTEE REQUIREMENTS FOR THE DESIGN OF REPORTS

The article deals with the process of forming the flight profile of an aircraft. Calculation and selection of the optimal flight profile of aircraft are some of the most common issues in the tasks related to the planning of aviation operations. The flight profile in the coordinates `range-altitude' is a sequence of areas each of which corresponds to a specific program for changing altitude and speed. The construction of the flight trajectory of an aircraft characterized by the work with a large number of nonlinearly varying dependent parameters and taking into account the restrictions imposed on flights: the permitted echelons of aviation flight altitudes, forbidden zones with unacceptable meteorological conditions, forbidden zones of action of enemy air defenses. These factors make it very difficult to model the specified process. The application of the mathematical apparatus of dynamic programming in solving this problem can allow the most efficient choice of flight modes of aircraft and optimize the process of forming the flight profile as a whole.

Keywords: direction, fighter aircrafts, flight profile, dynamic programming.

Введение

При планировании действий летательного аппарата (ЛА) и управлении им возникает задача формирования оптимального профиля полета ЛА для вывода его в заданную точку (географические координаты, высота) с заданными курсом и скоростью.

Набор высоты самолетами в реальных условиях осуществляется на номинальном режиме работы двигателей по траектории с изменяющимся углом наклона. Это связано с большими неудобствами прямолинейного набора высоты. При постоянном режиме работы двигателей от выбранной стратегии изменения угла наклона траектории зависит не только скорость полета в данный момент времени, но и характеристики всего участка набора высоты - дальность, продолжительность, расход топлива, эксплуатационные затраты. Поэтому в летной эксплуатации немаловажное значение имеет решение задач выбора оптимального режима набора высоты с точки зрения определенного критерия оптимальности (например, минимума расхода топлива или минимума времени).

Решение такого рода оптимизационных задач, особенно в условиях эксплуатационных ограничений, является достаточно сложной математической проблемой. Решать ее в летных предприятиях или даже на борту самолета пока нет возможности. Поэтому для удобства эксплуатации подбираются такие простые стратегии пилотирования на участке набора высоты, которые дают наиболее близкие к оптимальным значения критерия оптимальности для возможно более широкой области условий эксплуатации.

В настоящее время расчет и формирование профиля полета ЛА в большинстве существующих навигационных систем осуществляется посредством использования определенных стандартных программ полета, которые содержат в себе наборы последовательных этапов полета ЛА и их характеристик. Это позволяет значительно упростить процесс планирования и управления действиями авиации. Эти методы являются эффективными, но как показывает опыт, не всегда оптимальными.

Задачей рационального планирования является выбор такого способа организации процесса управления ЛА, который позволил бы обратить в максимум (минимум) заданный критерий. В качестве такого критерия, в зависимости от типа решаемой задачи, можно выбрать время, расход топлива либо вероятность выполнения поставленной задачи [1]. Задача формирования оптимального профиля может быть использована при решении следующих задач: определение возможностей и параметров перехвата, определение параметров полета ЛА при атаке надводной цели, определение параметров полета ЛА в зону дежурства. В открытом доступе число публикаций по данной теме очень ограничено [2] - [12].

В некоторых работах рассматривается задача построения вертикального профиля полета. Подходы к оптимизации профиля выражаются следующими формулами:

, (1)

, (2)

где - скорости ЛА на горизонтальных участках траектории,

- времена полета на горизонтальных участках траектории,

- дальность «истребитель - цель»,

- угол между вектором направления «цель - истребитель»,

- дальность полета ракеты.

Но при данной постановке задачи высота горизонтального полета рассматривается как заданная величина. Минимизируется время полета к цели, а переменной является величина времени нахождения ЛА на горизонтальном участке.

При данном подходе задача формализуется слабо, определяются детерминированные участки переменных значений высоты и скорости и переменными остаются участки постоянных высот и скоростей, именуемые балансными, оптимизируется фактически определенный профиль с заданными узловыми значениями высот и скоростей.

Еще одним ограничением применяемых подходов является отсутствие возможности учета ограничений, связанных с текущими метеоусловиями, рельефом местности, выделенным пространством для проведения испытаний, тактической обстановкой. Таким образом, разработка алгоритма построения оптимального профиля с учетом вышеприведенных особенностей является актуальной и полезной задачей.

Постановка задачи исследования

Для решения задачи построения профиля полета необходимо свести ее к задаче динамического программирования. Динамическое программирование заключается в поэтапном планирование многошагового процесса, при котором на каждом этапе оптимизируется только один шаг. Решение данной задачи всегда разворачивается от конца к началу. Раньше всего планируется последний шаг, формируются различные предположения о том, чем кончится предпоследний шаг. Оптимальное управление, выбранное при определенном условии о том, с каким результатом кончится предыдущий шаг, называется условным оптимальным управлением [13].

Общая задача динамического программирования фактически является задачей оптимизации в рекурсивной форме. Пусть дано m состояний системы H = {H1,..,Hm}, k - векторов управления U = {U1,..Uk} - это фактически перечень всех действий, с помощью которых мы можем влиять на переходы системы в состояния, и критерий W=W(U) - который зависит от этого управления. Требуется найти такое управление U* при котором критерий достигает миниума , в условиях ограничений, таких что U переводит систему из начального состояния в конечное .

Допустим, что планируется m-й шаг. Предположим, что гипотезы окончания m-1-го шага следующие: , под в данном случае понимается вектор i-го состояния системы на m-1-м шаге. Допустим, что для каждой гипотезы найдено оптимальное управление , то есть последний шаг m спланирован для любого исхода предпоследнего шага: m-1. Далее необходимо спланировать m-1-й шаг. Снова выдвигаем ряд гипотез о том, чем кончился m-2-й шаг: . Оптимальное управление выбирается так, чтобы вместе с уже выбранным оптимальным управлением на m-м шаге управление на m-1 шаге было наиболее эффективным. Дальнейшее планирование шагов осуществляется аналогичным образом, за исключением первого. Отличие заключается в том, что состояние системы на начало процесса известно.

Фактически при решении задачи строится дерево решений. Верхним узлом дерева является последний шаг - частично известное конечное состояние системы (неизвестно значение параметров состояния системы, относительно которых и проводится оптимизация). При построении каждого уровня для каждого узла дерева определяется оптимальный путь к верхнему узлу. Таким образом, при построении последнего уровня для единственного узла определяется оптимальный путь от начального к конечному состоянию.

Методы решения

Рассмотрим задачу набора высоты и скорости ЛА. Задача состоит в следующем: самолет, находящийся на высоте H0 и имеющий скорость V0, должен быть поднят на заданную высоту Hk и набрать скорость Vk [13]. Траекторию полета разделяем на мелкие интервалы горизонтальных и вертикальных участков полета, а затем делим общий интервал высоты на участки [H0, H1], [H1, H2], …, Hk, а интервал скорости на участки [V0, V1], [V1, V2], …, Vk. Известно количество горючего, необходимого истребителю для перехода с одной высоты H1 на другую H2 без изменения скорости, а также количество горючего для разгона со скорости V1 до V2 без изменения высоты полета. Строится матрица всевозможных состояний ЛА (рис. 1).

Рис. 1 Траектория движения ЛА на плоскости V0H и матрица возможных состояний системы

Затем c применением метода динамического программирования рассчитывается весь путь ЛА, переходящего из одного состояния в другое наиболее оптимальным способом. Описывается весь процесс набора высоты и скорости, и выполняется построение оптимального профиля полета ЛА, отвечающего заданному критерию.

Набор исходных параметров данного примера слишком ограничивает области его возможного использования в алгоритмах формирования профиля полета. Данный подход не применяется в реальных системах управления ЛА. При построении профиля истребителя используется некоторое опорное решение, которое базируется на заданных программных скоростях полета. Данное опорное решение является приближенным, которое усредняет оптимальные решения по времени и топливу (рис. 2) [4].

Рис. 2 Оптимальные и базовые программы набора высоты и скорости полета

Такой подход был выбран исходя из простоты реализации управления с использованием программных скоростей. Однако он (подход) не обеспечивает полного решения задачи построения профиля полета и не позволяет ответить на важный вопрос: на какую высоту необходимо подняться ЛА, чтобы через определенное расстояние наиболее выгодным образом выйти на заданную высоту. В существующих автоматизированных системах управления этот вопрос отдается на откуп оператору, который вручную устанавливает высоту полета для выполнения задачи.

Сформулируем следующую задачу: известны начальная и конечная высоты и дальность полета ЛА, необходимо определить наиболее выгодный профиль полета ЛА в заданную точку.

Для того чтобы свести данную задачу к задаче динамического программирования, следует произвести расчеты оптимизируемых параметров в узловых точках: (рис. 3). Фактически узловые точки будут являться состояниями нашей модели. За критерий оптимизации примем количество расходуемого топлива на всем участке полета. Таким образом, для каждого участка полета за оптимизируемые параметры принимаем количество расходуемого топлива:

- при наборе высоты рассчитываем:

(3)

- при снижении высоты рассчитываем:

(4)

- при полете на заданной высоте рассчитываем:

(5)

Рис. 3 Варианты построения оптимального профиля в зависимости от удаления точки на заданной высоте

На рисунке 3 стрелками показаны возможные переходы системы из одного состояния в другое. Таким образом, с помощью сетки , мы представили множество состояний модели, путем применения значений получили стоимости переходов из одного состояния в другое. Задача заключается в следующем: ЛА необходимо перейти из начального состояния в конечное, используя переходы, суммарная стоимость которых будет наименьшей:

. (6)

Одна из проблем формализации задачи заключается в нелинейности функции зависимости расстояния пролета от высоты набора и в зависимости данной функции от веса ЛА. С учетом данной проблемы необходимо сформировать сетку состояний и оценить переходы между этими состояниями (рис. 4).

Рис. 4 Линии зависимости высоты набора от расстояния пролета и схема перехода по состояниям

Для того чтобы решить задачу оптимизации построения профиля полета ЛА, необходимо выбрать наиболее оптимальный маршрут переходов ЛА по данным состояниям. Сетка состояний будет представлять собой структурированный набор всевозможных состояний ЛА в процессе его полета из начальной точки в конечную. Под состояниями понимается значение исследуемых параметров ЛА, таких как: пройденный путь, высота, скорость, время полета, масса имеющегося на борту топлива и т. д. Под стоимостью переходов между состояниями понимается расход каких-либо ресурсов (топлива, времени, и т. д.), необходимых для изменения состояния ЛА.

В зависимости от текущей высоты ЛА, высоты, на которой необходимо оказаться ЛА в конечной точке полета, и от расстояния до пункта назначения, возможны следующие комбинации участков профиля:

«Набор высоты» - «Горизонтальный полет».

«Набор высоты» - «Горизонтальный полет» - «Снижение».

Классическим вариантом профиля полета ЛА является второй вариант. На больших высотах, по причине малого сопротивления, возможен разгон ЛА до сверхзвуковых скоростей, что положительно сказывается на расходе топлива и продолжительности времени полета.

Вследствие нелинейности функции снижения возникают сложности с определением наиболее выгодного профиля снижения ЛА. Для устранения этой проблемы сформируем варианты снижения с различных высот без использования сетки узловых значений набора и разгона скорости, а затем из общего фазового пространства решений выберем наиболее оптимальное (рис. 5).

Рис. 5 Ф(B) - область возможных конечных состояний системы (фазовое пространство решений)

Таким образом, ставится задача расчета оптимальной траектории, переводящей ЛА из начальной точки A в одну из точек области фазового пространства Ф(B).

Данный пример демонстрирует случай, при котором состояние системы описывается всего двумя параметрами: пройденным путем и высотой полета. Усложним задачу посредством добавления в систему еще одного характеризующего параметра - скорости ЛА. В этом случае состояние системы будет изображаться уже не точкой на плоскости, а в трехмерном пространстве (рис. 6).

Рис. 6 Пример трехмерного фазового пространства возможных состояний системы ЛА при переходе из состояния A в состояние Ф(B)

В таком представлении движения ЛА в системе возможно последовательное перемещение вдоль трех осей: изменение скорости полета, изменение дистанции полета и изменение высоты полета. Дискретизируются перемещения ЛА вдоль осей, строится и описывается сетка всевозможных состояний при этом узлами системы будут являться значения скорости, высоты и дистанции полета в различные моменты времени. Каждый узел будет содержать информацию о критерии массе топлива, оставшегося в ЛА. Переход из одного состояния в другое осуществляется либо при наборе скорости и высоты, либо при горизонтальном полете. При переходе между узлами ЛА тратит определенное количество топлива, необходимое для изменения его состояния. Это и является стоимостью перехода.

Геометрическая интерпретация, очевидно, теряет наглядность, в результате чего визуализация и описание сетки возможных состояний системы становятся затруднительными. Поэтому в целях повышения возможности зрительного представления необходимо выравнить участки разгона и набора высоты ЛА, то есть привести сетку состояний к кубическому виду (рис. 7) путем замены переменных , где - путь, затраченный ЛА на участках набора и разгона. В новой системе переход между состояниями возможен в одном из трех направлений: продвижение по оси (горизонтальный полет), продвижение по оси H (набор) и продвижение по оси V (разгон).

Рис. 7 Геометрическая интерпретация фазового пространства возможных состояний системы

Далее происходит дискретизация системы: весь путь делим на m участков, равных ДS; высоту набора делим на n участков, равных ДH; скорость , которую необходимо набрать, делим на k участков, равных ДV (рис. 8).

Рис. 8 Дискретизация фазового пространства возможных состояний системы

Таким образом, задача построения профиля сводится к задаче динамического программирования, и остается реализовать алгоритм динамического программирования [13] и оценить результат.

Реализация

Для решения задачи динамического программирования необходимо определить переменные состояния представляемой модели. Для этого формируется кубическая матрица состояний системы - массив fuelMass размером [m] x [n] x [k], значениями которой будут являться объемы остатков топлива на борту ЛА в данных узлах. Для того чтобы заполнить значениями все узлы матрицы, необходимо последовательно двигаться из конечного состояния системы B в начальное A, и для каждого узла fuelMass[m][n][k] сначала рассчитать стоимость перехода в него от одного из предшествующих ему трех узлов: fuelMass[m+1][n][k], fuelMass[m][n+1][k] или fuelMass[m][n][k+1], а затем выбрать наиболее выгодный переход, исходя из объемов затраченного топлива, и записать новое значение остатка топлива в текущий узел. Стоимость переходов, в зависимости от направления передвижения по системе, будет записываться в следующие трехмерные массивы: costMassS - при изменении пройденного пути размером [m-1] x [n] x [k], costMassH - при изменении высоты размером
[m] x [n-1] x [k] и costMassV - при изменении скорости, размером [m] x [n] x [k-1] соответственно. Конечное состояние системы, в том числе и данные об остатке топлива, необходимого для успешного выполнения миссии и безопасного возврата на место базирования, известно. Для того чтобы рассчитать стоимость перехода системы ЛА из одного состояния (узла) в другое, требуется произвести расчет либо участка горизонтального прямолинейного полета ЛА, либо участка набора высоты, либо участка разгона ЛА, пользуясь информацией, содержащей характеристики полета выбранного типа ЛА. Для проведения расчетов были выбраны: тип летательного аппарата МиГ-29 и соответствующая литература, в которой в виде номограмм описаны характеристики различных этапов полета ЛА. Была проведена работа по оцифровке данных номограмм и созданию базы данных и библиотеки инженерно-штурманского расчета, которая и была использована в процессе разработки алгоритма расчета оптимальной траектории полета ЛА со средством аппарата динамического программирования.

Для вычисления перемещения ЛА в пространстве необходим следующий список параметров: масса ЛА при взлете, масса топлива в конечных точках фазового пространства (узел B), ПЛС - показатель лобового сопротивления на протяжении всего полета ЛА, температура наружного воздуха, скорость и направление ветра в районе полетов.

После расчета всех [m] Ч [n] Ч [k] узлов системы, становится известно начальное состояние системы - количество топлива в нулевом элементе массива fuelMass. Затем согласно представленному на рисунке 9 алгоритму возможно определить наиболее выгодные переходы из состояния A в состояние B, что и будет являться оптимальной траекторией полета ЛА. Из узла A возможен переход в три узла: fuelMass[1][0][0] - горизонтальный полет на ДS, fuelMass[0][1][0] - набор высоты на ДH, и fuelMass[0][0][1] - набор скорости на ДV. Для каждого из этих узлов складываются значение стоимости перехода и значение топлива в самом узле и сравниваются результаты: fuelMass[1][0][0] + costMassS[0][0][0], fuelMass[0][1][0] + costMassH[0][0][0], fuelMass[0][0][1] + costMassV[0][0][0]. Тот переход, для которого сумма будет наименьшей, и станет оптимальным. Следует повторить этот расчет (m-1)+(n-1)+(k-1) раз для получения оптимального пути перемещения ЛА по заданному фазовому пространству состояний.

Рис. 9 Алгоритм расчета оптимальной траектории движения ЛА на основе метода динамического программирования

На основании представленного алгоритма было разработано программное обеспечение и с его помощью проведен вычислительный эксперимент: были заданы начальные и конечные состояния ЛА, определены возможные значения высот снижения ЛА (5,0; 5,5; 6,0; 6,5; 7,0 км) и произведены два расчета траектории полета ЛА.

Первый расчет выполнялся с использованием существующих методов построения профиля полета ЛА, а второй - с применением разработанной модели. Графические результаты работы такого алгоритма для каждой из возможных высот снижения представлены на рисунке 10.

Рис. 10 Графическое представление результатов расчета траектории полета ЛА с применением разработанного алгоритма

Сравнение полученных результатов отображено на рисунке 11.

Рис. 11 Сравнение полученных результатов

Из таблицы на рисунке 11 видно, что для полета на заданных режимах оптимальным будет полет на высоте 6 километров. Набор этой высоты и разгон до необходимой скорости полета выгоднее осуществлять не посредством использования стандартных программ полета, а посредством разработанного алгоритма. Выгода по количеству топлива для данного случая составила 47,7 килограмма, что является достаточно неплохим результатом для расстояния в 60 километров и дает положительный эффект для всего полета в целом. Сравнение полученных профилей полета показано на рисунке 12.

Рис. 12 Сравнение полученных профилей полета: (слева - профиль, рассчитанный по стандартным алгоритмам; справа - профиль, рассчитанный по разработанному алгоритму)

Вместе с тем применение данного метода расчета траектории полета ЛА позволяет накладывать и учитывать ограничения на используемые в расчете эшелоны высот. В зависимости от рельефа местности в районе полетов, от текущей метеообстановки, от зон и высоты действия средств противовоздушной обороны противника (для военной авиации), от пролета опасной зоны на скорости, не принижающей заданную, на рассчитанные кубические матрицы переходов системы для запретных высот накладываются искусственные ограничения в виде заведомо неоптимальных фиктивных параметров (рис. 12).

Рис. 12 Наложение заведомо фиктивных параметров на матрицу переходов

Использование разработанной модели в процессе формирования траектории позволяет при необходимости скрытного полета ЛА до назначенной позиции планировать полет ЛА на малых высотах (рис. 13.).

Рис. 13 Пример построения траектории полета ЛА на малых высотах

Заключение

Представленная математическая модель позволяет оптимизировать процесс, отвечающий за расчет и формирование траектории полета ЛА, следующими способами:

1. Путем минимизации расхода топлива, времени полета, вероятности непоражения ЛА средствами противовоздушной обороны противника: данные факторы являются ключевыми факторами, влияющими на эффективность полета.

2. Путем учета рельефа местности и запретных зон полета при планировании, расчете и построении траектории полета.

За счет этого происходит повышение эффективности действий авиации в целом, что и является одной из основных задач автоматизированных систем управления.

Литература

1. Вентцель Е.С. Введение в исследование операций. М.: Советское радио, 1964. 390 с.

2. Дуров В.Р. Боевое применение и боевая эффективность истребителей-перехватчиков. М.: Военное издательство Министерства обороны СССР.

3. Федосов Е.А. Авиация ПВО России. М.: Дрофа, 2004. 816 с.

4. Рудельсон Л.Е. Программное обеспечение автоматизированных систем управления воздушным движением. М., 2014.

5. Оркин Б.Д., Оркин С.Д., Дьячук А.К. Структура алгоритма целераспределения средств противовоздушной обороны корабельной группы.

6. Наумов В.Н, Пифтанкин А.Н. Математические модели и алгоритмы планирования действий истребительной авиации при барражировании // Прикладные вопросы военной радиоэлектроники. 2008. Вып. 1 (3). C.

7. Пифтанкин А.Н. Математическая модель оценки эффективности действия средств ПВО с учетом истребительного авиационного прикрытия. // Автоматизация процессов управления. 2007. № 2 (10). C.

8. Пифтанкин А.Н. Модель планирования действий и управления истребительной авиации при отражении средств воздушного нападения. // Автоматизация процессов управления. 2007. № 2 (10). C.

9. Пифтанкин А.Н., Наумов В.Н. Определение опасности воздушных целей при управлении истребительной авиацией. Петродворец: ВМИРЭ, 2006.

10. Пифтанкин А.Н. Целераспределение истребителей на воздушные цели при истребительном прикрытии. Петродворец: ВМИРЭ, 2006.

11. Кириллов С.Н., Токарь А.Д. Эффективный алгоритм наведения объекта управления на маневрирующие воздушные цели Вестник РГРТУ. 2008 - № 2 (вып. 24). C.

12. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. Аппроксимационная линейная редукция в дифференциальной игре наведения-уклонения c 1998 г. // Тр. математического института им. В.А. Стеклова. 1998. Т. 220. С. 173-194.

13. Вентцель Е.С. Элементы динамического программирования. М.: Наука, 1964. 176 с.

Размещено на Allbest.ru