Аппарат нечеткой логики в решении задач математического моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Башкирский государственный аграрный университет

АППАРАТ НЕЧЁТКОЙ ЛОГИКИ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Аюпов Р.Ф., Арсланбекова С.А.

Уфа, Россия

Нечеткая логика - это совокупность теоретических основ, методов, алгоритмов, процедур и программных средств, базирующихся на использовании нечетких знаний и оценок экспертов для решения широкого круга задач. Впервые понятие нечёткой логики было введено в 1965 году профессором Лотфи Заде. На сегодняшний день нечёткая логика применяется в вычислении широкого круга задач. Однако расчёт параметров с помощью нечёткой логики всегда производится на компьютерах, работающих на двоичном коде, что довольно неудобно для решения качественных задач.

Актуальность данной проблемы вызвана необходимостью создания вычислительной системы на основе нечёткой логики. В данной статье я попытаюсь описать принцип действия гипотетического компьютера, использующего нечёткую логику. Принцип действия этой вычислительной машины базируется на интерференции электромагнитных волн. В данной работе поставлена следующие задачи: обзор имеющихся моделей и программных продуктов на основе нечёткой логики, анализ применения данных моделей, обоснование принципов создания вычислительной системы на основе нечётких методов.

Основы теории нечетких множеств были заложены в работе профессора университета Беркли в Калифорнии Лотфи Заде. В теории множеств обычное ("четкое") множество А рассматривают как часть некоторого универсального множества U. В этом случае о каждом элементе универсального множества можно сказать однозначно, принадлежит ли он множеству А. Если ввести понятие функции принадлежности элемента четкому множеству А, то она будет принимать два значения: 1 - если элемент принадлежит множеству А и 0 - в противном случае.

Основная идея заключалась в том, что для некоторых типов объектов функция принадлежности может принимать любые значения на отрезке [0; 1]. В этом случае значение функции принадлежности характеризует вероятность принадлежности элемента множеству А.

В дальнейшем в работах Л. Заде и его последователей были введены понятия операций на нечетких множествах, нечеткого логического вывода и введено понятие лингвистической переменной, в качестве значений которой выступают нечеткие множества. В инженерной практике появилось понятие "нечеткого" управления, когда управление сложным техническим объектом происходит в условиях неполной и/или недостаточно формализованной информации. Подобный подход используется как в моделировании сложных технических объектов, так и для создания реальных устройств автоматического управления подобными объектами.

Принципы создания модели на основе нечеткой логики

Как было отмечено выше, в основе формализма нечеткой логики лежат понятия нечетких множеств, нечетких высказываний и т.п. Методы нечеткой логики относятся к так называемым "мягким" вычислениям, основанным на вероятностном подходе. В нечеткой логике введено понятие нечеткой функции и разработана концепция построения нечетких регрессионных моделей. В рамках такого подхода было введено понятие нечеткой лингвистической переменной, значения которой могут быть выражены в терминах типа "низкая", "умеренная", "большая", "очень высокая" и т.п. Множество значений нечеткой переменной образуют так называемое терм-множество. Например, переменная "Температура" может обладать терм-множеством значений {"Очень низкая", "Низкая", "Средняя", "Высокая", "Очень высокая"}.

Основными видами функций принадлежности являются треугольные, трапециевидные, кусочно-линейные, гауссовы, сигмоидные и другие функции. Для задания трапециевидной функции принадлежности необходимы четыре параметра, определяющие х - координаты выделенных точек.

Рис.1 Параметры трапециевидной функций принадлежности

В настоящее время подсистемы Fuzzу Lоgiс входят в состав программного обеспечения многих современных систем вычислительной математики, например, Маthеmаtiса и Маtlаb. Среда Fuzzу Lоgiс пакета прикладных программ Маtlаb является одним из наиболее удобных средств программирования в данной области. Основное преимущество данного подхода - использование визуального моделирования, когда достаточно сложные программы можно создавать без написания программного кода, который генерируется автоматически. Другим достоинством Маtlаb является возможность без написания программного кода (который генерируется автоматически) создать методами визуального моделирования компьютерную модель, например, в подпрограмме Simulink получить автоматическую генерацию C-кода, после "заливки" которого в микроконтроллер получить устройство, управляющее реальным техническим объектом.

Тем не менее использование Маtlаb содержит ряд недостатков. Применяемый программный продукт является достаточно дорогим и имеет очень ограниченное число вариантов лицензирования.

Рис. 2. Построение усеченных функций принадлежности

При создании программ можно использовать только алгоритм Мамдани или алгоритм Cугено. Использование других алгоритмов требует достаточно сложных методов разработки, для которых Маtlаb не является наилучшей средой.

В настоящей работе мы в качестве среды моделирования выбран пакет прикладных программ Маthсаd.

Модель зарядового устройства батареи на основе нечеткой логики

Рассмотрим упрощенную модель управления зарядовым устройством батареи, основанную на следующих предположениях:

• устройство имеет два режима работы: режим подзарядки и режим быстрой зарядки;

• в режиме подзарядки в батарею поступает малое количество тока;

• в режиме быстрой зарядки весь доступный ток поступает в зарядное устройство;

• если батарея заряжена полностью, поступающий ток приводит к ее нагреву, поэтому если температура "высокая", следует перейти из режима быстрой зарядки в режим подзарядки;

• в режим подзарядки также следует перейти, если "высоким" стало напряжение батареи;

• если температура батареи "низкая" и напряжение также "низкое", следует перейти в режим быстрой зарядки.

Последние три правила формируют базу знаний системы управления устройством.

Для управления процессом зарядки введем две нечеткие переменные: "Напряжение" и "Температура". Нечеткая переменная "Температура" описывается терм-множеством {"Холодно (Cооl)", "Тепло (Wаrm)", "Горячо (Ноt)"}. График функции принадлежности для переменной "Температура" показан на рис. 3. Нечеткая переменная "Напряжение" описывается терм-множеством {"Низкое (Lоw)", "Cреднее (Мid)", "Высокое (Нigh)"}. Для описания этой переменной также использовались трапециевидные функции принадлежности с параметрами [0 0 5 10] (Lоw), [5 10 20 25] (Мid), [20 25 30 30] (Нigh). алгоритм нечеткий логика вычислительный

Выходной переменной (ChаrgеМоdе) является значение в интервале [0; 1], терммножество которой {Fаst (режим быстрой зарядки), Triсlе (режим подзарядки)} характеризуется двумя трапециевидными функциями принадлежности с параметрами [0 0 0,4 0,6] и [0,4 0,6 1 1] соответственно. Pазработчики должны определить границу значения выходной переменной, которое определяет переход из одного режима в другой. Например, можно считать, что следует перейти в режим подзарядки, если значение выходной переменной превышает 0,5.

Рис. 3. Функции принадлежности переменной "Температура"

Пример вычислений показан на рис. 4. В качестве алгоритма нечеткой логики выбран алгоритм Мамдани. Четкое значение переменной вывода равно 0,744. В данном случае напряжение и температура являются достаточно высокими и следует перейти в режим подзарядки. Сравнение полученных результатов с аналогичными вычислениями в Маtlаb [3, 4] показывает идентичность полученных результатов.

Рис. 4. Пример вычислений по алгоритму Мамдани

Исследования в области решения задач относительно моделирования и прогнозирования инновационных процессов в отраслях экономики показали, что неопределенность, присущая аналитическим задачам, имеет более общую природу, а не одну лишь статистическую.

Во-первых, необходимо учитывать все возможные факторы, влияющие на поведение объекта. К сожалению, если и можно построить такую модель, используя традиционные методы, то она будет громоздкой и непригодной для практического использования, что связано как с функциональными, так и с экономическими аспектами.

Во-вторых, упрощение модели в рамках традиционных методов неизбежно приведет к неадекватности получаемых решений вследствие недостаточно полного учета факторов неопределенности.

Таким образом, построение точных математических моделей инновационного развития отраслей экономики, пригодных для реализации в прикладном программном обеспечении при решении аналитических задач поддержки и принятия решений, на основе использования традиционных методов, осуществить или трудно, или вообще невозможно.

Альтернативным способом моделирования поведения сложных экономических систем является допущение нечеткости при их описании. Это утверждение основывается на принципе несовместимости. Суть этого принципа заключается в том, что с ростом сложности системы способность делать точные и содержательные утверждения об ее поведении падает до определенной границы, за которой такие характеристики, как точность и содержательность становятся взаимоисключающими. Поэтому абсолютно точный количественный анализ реальных сложных объектов не очень подходит для решения экономических задач.

Таким образом, подход к решению экономических задач поддержки принятия решений должен опираться на то, что ключевыми элементами являются не числа, а некоторые нечеткие множества. Действительно, логика рассуждений человека не является обычной двузначной или даже многозначной логике, это - логика с нечеткими истинами, нечеткими отношениями и правилами вывода. Как ни странно, именно такая нечеткая и не вполне понятная логика является важнейшим компонентом одной из главных особенностей человеческого мышления, а именно способности обобщать информацию, выделять только необходимые данные для решения конкретной задачи. Эта ключевая способность человеческого мышления и позволяет принимать удачные решения ЛПP в конкретных ситуациях. Неучет данного фактора при создании прикладного математического и программного обеспечения прогнозирования во многом определяет недостатки современных технологий и систем принятия экономических решений.

Для реализации эффективного прикладного математического и программного обеспечения технологии решения аналитических задач прогнозирования, принятия экономических решений по управлению сложными динамическими объектами необходимым условием является всесторонний учет неопределенности при формализации и обработке информации. Учет неопределенности информации и его эффективность напрямую зависят от выбора математического инструментария, определяемого математической теорией.

На сегодняшний день можно выделить ряд математических инструментов, предназначенных для формализации неопределенной информации: многозначная логика, теория вероятности, теория ошибок, теория интервальных средних, теория субъективных вероятностей, теория нечетких множеств (теория нечеткой логики).

Одним из наиболее эффективных математических инструментов, направленных на формализацию и обработку неопределенной информации, и во многом интегрирующих известные подходы и методы, является теория нечеткой логики. Данный математический аппарат позволяет с единых позиций рассмотреть различные виды неопределенности и получить новый, качественно более высокий результат.

Использование нечеткой логики эффективно там, где нет возможности четко формализовать данные, где преобладает экспертная лингвистическая вербальная информация. Например, числовые показатели уровня инновационного развития отрасли могут быть представлены неточно, описательно, например, технологический уровень обслуживания оборудования может принимать значения от 20 до 230 % и иметь следующие термы: нереальней 20-80 % (Н); нормальный 80-120 % (НО); высокий 120- 150 % (В); очень высокий 150-230 % (ОВ); катастрофически высокий 230 % (К). Для возможности представления такого рода информации определяется функция разделения уверенности в истинности значения числа. Нечеткое число, таким образом, может быть получено словесно, представлено графически в виде функции в двумерной системе.

Это приводит к тому, что числовая величина, которая имеет конкретный физический смысл для эксперта, перестает иметь одно значение (чего требует традиционная математика), а может выражаться набором значений, каждое со своей долей уверенности. При этом доля уверенности отражает влияние и силу возможно действующих факторов. Трактовка нечетких чисел определяется в каждом конкретном случае отдельно и зависит от физической сущности этих чисел, а также от факторов, на них влияющих.

Нечеткие числа, получаемые в результате "не вполне точных измерений", во многом аналогичны распределениям теории вероятностей, но свободны от присущих последним недостатков: малое количество пригодных к анализу функций распределения, необходимость их принудительной нормализации, соблюдение требований аддитивности, трудность обоснования адекватности математической абстракции для описания поведения фактических величин. В границе, при возрастании точности, нечеткая логика приходит к стандартной, Булевой. В сравнении с вероятным методом нечеткий метод позволяет резко сократить объем производимых вычислений, что в свою очередь приводит к увеличению быстродействия нечетких систем.

Для прогнозирования уровня инновационного развития отраслей в условиях априорной неопределенности предлагается использовать аппарат теории нечеткой логики, основными преимуществами которой при решении экономических задач являются:

• возможность оперировать входными данными, заданными нечетко: например, значениями, непрерывно изменяющиеся во времени (динамические задачи), значения, которые невозможно задать однозначно (результаты статистических опросов и т.п.);

• возможность нечеткой формализации критериев оценки и сравнения: оперировать критериями "большинство", "возможно", "преимущественно" и т.п.;

• возможность проведения качественного оценивания как входных данных, так и выходных результатов;

• возможность проведения быстрого моделирования сложных динамических систем и их сравнительный анализ с заданной степенью точности: оперируя принципами поведения системы, описанными нечеткими методами, во-первых, не тратится много времени на выяснение точных значений переменных и составление уравнений, которые их описывают, во-вторых, можно оценить разные варианты выходных значений.

Все основные показатели, с помощью которых можно определить уровень инновационного развития отрасли, делятся на 2 группы, а именно: показатели, определяющие количественные параметры и характеризующие тенденции в инновационном развитии отрасли, и показатели, с помощью которых отражаются качественные характеристики данной стратегически важной отрасли. При моделировании инновационных процессов в отраслях экономики очень важным является сочетание показателей обеих групп. Особое значение такое сочетание имеет прежде всего для эконометрических моделей; в противном случае они не будут адекватно отражать происходящие инновационные процессы и экономическую ситуацию как такую.

Поэтому предлагается целесообразным при моделировании и прогнозировании уровня инновационного развития отраслей экономики объединять в модели как статистические, так и экспертные данные, что является возможным при использовании аппарата теории нечеткой логики. Предложенный метод прогнозирования приведен на рис. 1.

Предложенный метод моделирования и прогнозирования уровня инновационного развития отраслей работает как с количественными данными, так и с качественными (знания экспертов), что является новой разработкой в данной области.

Таким образом, аппарат нечёткой логики находит достаточно широкое применение в решении различных математических задач. Дальнейшее его применение возможно для проектирования вычислительных систем и компьютеров нового поколения. Программные продукты на основе нечёткой логики позволят моделировать поведение сложных систем и прогнозировать исход различных событий для принятия оптимального решения.

Литература

1. Системный анализ. Учебник для вузов/ А.В. Антонов. - 2-е изд. - М.: Высш.шк., 2006. - 454 с.

2. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. - 168 с.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Физматгиз, 1962. - 564 с.

Размещено на Allbest.ru