Реализация принципа компромисса в линейных дифференциальных играх нескольких лиц

The concept of a compromise set of strategy for differential game of several persons is entered. The way of its construction locates in a class of item strategy. The effective algorithm of realization of this way is developed for linear differential games. Modeling examples are considered.

Key words: a compromise set of strategy; balance according to Nash; differential game; the stable bridge; an extreme aiming.

Введение

В работе [2] формулируются условия существования компромиссного набора стратегий в дифференциальных играх нескольких лиц в классе позиционных стратегий. Для линейных дифференциальных игр этим условиям можно придать конструктивный характер. На их базе авторами был разработан эффективный алгоритм построения компромиссных наборов стратегий. В статье указанный алгоритм был применен для исследования двух конкретных линейных дифференциальных игр трех лиц. В обеих играх рассматривается движение точки по гладкой горизонтальной плоскости. В первой игре управляющими параметрами игроков служат проекции вектора скорости, а во второй игре - вектора ускорения точки. На управляющие параметры игроков накладываются геометрические ограничения, состоящие в том, что рассматриваемые векторы произвольны по направлению, но ограничены по величине.

1. Постановка линейной дифференциальной игры нескольких лиц

В игре участвуют игроков. Они управляют точкой в пространстве на промежутке времени . Движение точки описывается обыкновенным векторным линейным дифференциальным уравнением

. (1.1)

Здесь - фазовый вектор - текущее время, - вектор управляющих параметров го игрока, - матрицы размера , , соответственно непрерывно зависящие от времени . Управление точкой -й игрок осуществляет путем выбора в каждый момент времени вектора управляющих параметров из заданного множества

.

В пространстве для всех задано выпуклое компактное множество , называемое целевым множеством i-го игрока. Платой игрока служит расстояние от проекции фазового вектора в конечный момент времени на первые координат до своего целевого множества. Таким образом,

. (1.2)

Управляющие параметры каждый игрок выбирает, основываясь на информации о текущем времени и реализовавшемся фазовом векторе. При этом он не осведомлен о выборе управляющих параметров остальными игроками в данный момент времени. Понятия позиционной стратегии игрока и движения точки, отвечающего набору позиционных стратегий, определяются аналогично [1].

Определение 1.1. Позиционной стратегией игрока называется произвольная функция

.

Пусть - некоторая позиционная стратегия и - конечное разбиение отрезка времени точками .

Определение 1.2. Ломаной Эйлера , выходящей из позиции и порожденной позиционной стратегией , назовем всякую абсолютно непрерывную функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению

,

.

Здесь реализация вектора управляющих параметров для всех представляет собой произвольную интегрируемую по Лебегу функцию со значениями в множестве .

Определение 1.3. Движением, выходящим из позиции и порожденным позиционной стратегией -го, , игрока, назовем всякую функцию , для которой найдется последовательность ломаных Эйлера , равномерно сходящаяся к ней на при условии

.

Совокупность всех движений, выходящих из позиции и порожденных позиционной стратегией , -го, , игрока будем обозначать символом и называть пучком конструктивных движений. Пусть и каждый игрок с номером выбрал некоторую позиционную стратегию.

Определение 1.4. Множество

назовем пучком конструктивных движений, выходящих из начальной позиции и порожденных набором позиционных стратегий множества игроков .

Известно [1], что

для всех . При этом

,

если .

2. Принцип компромисса в неантагонистической игре нескольких лиц

.

Здесь множество всех игроков, множество стратегий i-го игрока, а функция

,

является платой i-го игрока.

Пусть

В дальнейшем компоненты векторов и будем называть нижними и верхними компромиссными оценками соответствующего игрока.

Определение 2.1. Ситуация

называется компромиссной относительно оценок , если для всех выполняются неравенства

(2.1)

Из определения 2.1 следует, что для компромиссного набора стратегий значение платы го игрока лежит в промежутке , и никакое единоличное уклонение игрока от стратегии, предписываемой компромиссным набором, не позволяет ему получить значение платы лучше (меньше) нижней компромиссной оценки.

Компромисс игроков состоит в том, что й игрок предпочитает несущественному улучшению результата в игре не допустить значительного выигрыша любого из оппонентов , сохраняя при этом значение своей платы в пределах приемлемого неравенства .

Заметим, что при определение компромиссного набора стратегий переходит в определение равновесия по Нэшу.

В связи с тем, что пучки движений, порожденные позиционных стратегиями игроков, содержат более одного движения, определение компромиссного набора стратегий применительно к позиционной дифференциальной игре требует уточнения.

Определение 2.2. Будем говорить, что набор позиционных стратегий всех игроков компромиссен относительно векторов для начальной позиции , , если для всех выполнены неравенства

(2.2)

.(2.3)

3. Построение компромиссного набора стратегий

.

Полагаем , где максимальный стабильный мост первого игрока [1] в игре, в которой множество игроков решает задачу наведения на множество против игрока с номером в момент времени . Можно показать [2], что множества попарно не пересекаются, если попарно не пересекаются множества . При этом

.

Пусть множество таково, что

и

для всех . В предположении, что множества попарно не пересекаются, построим множество , обладающее свойствами:

1) - замкнутое множество;

2) ;

3) ;

4) для любой позиции и момента времени существует набор программных управлений

всех игроков, такой, что для решения дифференциального уравнения

выполняется включение .

Набор компромиссных стратегий определим соотношениями

,

если

если , любой вектор из множества в остальных позициях .

Здесь набор векторов удовлетворяет условиям

,

, , (3.1)

условиям

,

. (3.2)

На рис. 1 приведена схема реализации управлений игроков в момент времени . Из нее видно, что построенный набор стратегий не является противоречивым. В работе [2] была доказана теорема, устанавливающая что этот набор стратегий является компромиссным для любой начальной позиции из множества .

Теорема 1. Набор стратегий всех игроков , определенный соотношениями (3.1)-(3.2), является компромиссным относительно оценок для любой начальной позиции .

4. Стабильные мосты

Множества и компромиссный набор стратегий могут быть построены на основе метода экстремального прицеливания в линейных дифференциальных играх [1].

Полагаем

,

(4.1)

, (4.2)

(4.3)

Заметим, что максимум в уравнении (4.2) достигается на единственном векторе , если . Предположим, что в равенстве (4.3) максимум также достигается на единственном векторе , если . Тогда функции дифференцируемы в областях, где они положительны, и при дифференцировании зависимость векторов от позиции игнорируется. Вычислим их полные производные по времени в силу системы. Имеем

(4.4)

Из выражения (4.4) видно, что

. (4.5)

Условие (4.5) обеспечивает стабильность моста .

Аналогично

(4.6)

Из (4.6) видно, что

. (4.7)

Условие (4.7) обеспечивает стабильность мостов .

Заметим, что управляющие параметры в равенстве (3.1), (3.2) в данном случае можно определить из условий

,

,

.

5. Модельные примеры

Пример 1. Рассматривается игра трех лиц на плоскости . Дифференциальные уравнения движения управляемой точки имеют вид

.

Целевыми множествами игроков являются точки

,

,

а компромиссными оценками - векторы

.

Множества записываются в виде

Взаимное расположение указанных множеств приведено на рис. 2.

Множества строятся по формулам (4.1)-(4.3):

,

.

Взаимное расположение этих множеств показано на рис. 3.

Обозначим

.

если ,

если , любой вектор из множества в остальных позициях;

если ;

если , любой вектор из множества в остальных позициях;

если ,

если , любой вектор из множества в остальных позициях;

Для начальной позиции рассмотрим последовательно следующие ситуации:

Б) первый игрок уклоняется от компромиссного набора, прицеливаясь на свое целевое множество;

В) второй игрок уклоняется от компромиссного набора, прицеливаясь на свое целевое множество;

Г) третий игрок уклоняется от компромиссного набора, прицеливаясь на свое целевое множество.

Управление уклонистом выбираем в виде

если , и любой вектор из множества в остальных позициях. Результаты расчетов приведены в табл. 1.

Таблица 1

Данные табл. 1 подтверждают факт принадлежности значения платы го игрока промежутку , для компромиссного набора стратегий. При этом уклонение игрока от этого набора не привело к достижению игроком-уклонистом величины платы меньшей, чем его нижняя компромиссная оценка.

Пример 2. Рассматривается игра, описанная в примере 1. Отличие состоит в том, что дифференциальные уравнения движения управляемой точки имеют вид

Вводя обозначения , приходим к эквивалентной записи этой системы

Множества здесь имеют вид

,

.

.

если ,

если ,

любой вектор из множества в остальных позициях;

если ,

если ,

любой вектор из множества в остальных позициях;

если ,

если ,

любой вектор из множества в остальных позициях;

Для начальной позиции

рассмотрим те же ситуации А)-Г), что и в примере 1. Управления уклонистов выбираем в виде

если , любой вектор из множества в остальных позициях. Результаты расчетов приведены в табл. 2.

Таблица 2

Данные табл. 2 снова подтверждают факт принадлежности значения платы i-го игрока промежутку , для компромиссного набора стратегий. При этом уклонение игрока от этого набора не приводит к достижению игроком-уклонистом величины платы меньшей, чем его нижняя компромиссная оценка.

Заключение

линейный дифференциальный игра алгоритм

В статье разработан эффективный алгоритм построения компромиссного набора стратегий для линейных дифференциальных игр. На его базе исследованы две конкретные дифференциальные игры. Численные эксперименты подтвердили свойство компромиссного набора, выражающегося в том, что уклонение любого из игроков от компромиссного набора стратегий не позволяет ему получить значение платы меньше, чем его нижняя компромиссная оценка.

Список литературы

2. Лутманов С.В. Математическая модель компромиссного управления динамическими системами. // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Вып. 1(9). С.38-45.