Двумерное математическое моделирование диаграмм электрокаротажа на основе вычислений на графических процессорах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН

Двумерное математическое моделирование диаграмм электрокаротажа на основе вычислений на графических процессорах

В.А. Горбатенко

Аннотация

В последнее время в разработку нефтегазовых залежей все больше вовлекаются объекты, характеризующиеся сложным геологическим строением. Развитие методов электрокаротажа и повышение требований к точности интерпретации требуют применения высокопроизводительных программ численного моделирования. Для создания программно-алгоритмических средств математического моделирования в рассматриваемой области эффективно использование технологии NVidia CUDA. В рамках данной работы созданы параллельные алгоритмы моделирования сигналов электрокаротажа в двумерных проводящих моделях геологических сред. С использованием метода конечных разностей двумерная прямая задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Рассматриваются два различных подхода к решению СЛАУ: методы квадратного корня и сопряженных градиентов с предобуславливателем. Получены оценки быстродействий созданных алгоритмов. Показано, что при использовании графических процессоров для вычислений удается достичь существенного увеличения производительности по сравнению с идентичными расчетами на центральном процессоре.

Ключевые слова: математическое моделирование; метод конечных разностей; решение СЛАУ; электрокаротаж нефтегазовых скважин; графические процессоры; технология NVidia CUDA.

Recently, objects of complex geological structure are increasingly involved in the development of oil and gas deposits. Progress of methods of electric log and increasing requirements for accuracy of interpretation requires using of high-performance numerical simulation programs. NVidia CUDA is suitable technology allowing effective implementation of algorithmical tools for mathematical modeling. In this paper describes created parallel algorithms for modeling electric log data in two-dimensional conductive models of geological environment. The two-dimensional direct problem is reduced to solving of system of linear equations by using finite difference method. We consider two different approaches to solving system of linear equations: square-root method and preconditioned conjugate gradients method. Velocities are obtained for created algorithms. It is shown that using of graphics processors for computation can improve velocities compared with identical calculations on the CPU.

Key words: mathematical modeling; finite difference method; solving of system of linear equations; electric logging oil-and-gas well; GPUs; NVidia CUDA technology.

Содержание

Введение

1. Решение двумерной прямой задачи электрокаротажа

2. Краевая задача

3. Параллельный алгоритм

3.1 Метод квадратного корня

3.2 Метод сопряженных градиентов с предобуславливателем

4. Численные результаты

5. Моделирование диаграмм

Заключение

Список литературы

Введение

алгоритмический математический моделирование электрокаротаж

Решение СЛАУ прямым методом квадратного корня заключается в вычислении треугольной матрицы с последующим решением двух систем на ее основе.

При нахождении верхней треугольной матрицы S вычисление элементов каждой строки может производиться параллельно при известном диагональном элементе, который вычисляется при известной верхней строке. В результате возникают зависимости на порядок исполнения среди строк и элементов строки (диагональный элемент должен быть вычислен первым в строке). По этим причинам появляются ограничения, не позволяющие использовать графическое устройство эффективно.

Рис. 3. Верхняя треугольная матрица при решении СЛАУ методом квадратного корня

Из рекуррентных соотношений вычисления верхней диагональной матрицы S [3] следует, что она будет иметь вид, представленный на рис. 3. Если использовать это при вычислении первых m строк, то нулевые элементы не будут участвовать в расчете неизвестных. Знание вида искомой матрицы устраняет необходимость вычисления элементов, находящихся на m+1 диагонали и далее от главной (рис. 3). В процессе решения методом квадратного корня неоднократно необходимо суммировать массивы чисел, что может быть параллельно исполнено использованием редукции относительно операции суммирования.

3.2 Метод сопряженных градиентов с предобуславливателем

С помощью технологии NVidia CUDA на графических процессорах могут быть эффективно выполнены операции взятия нормы, сложения и скалярного произведения векторов, умножения матрицы на вектор. Данные операции реализованы в библиотеки CUBLAS и были использованы при применении данного метода. По причине специфического вида матрицы СЛАУ использование предложенного в CUBLAS алгоритма умножения матрицы на вектор было неэффективным.

Данная операция была реализована с учетом ее особенностей: в вычислении участвуют только ненулевые диагонали, обращения к нулевым диагоналям не происходит.

При решении СЛАУ методом сопряженных градиентов с предобуславливателем необходимо некоторое начальное приближение, в качестве которого изначально выступает нулевой вектор, а в дальнейшем это результирующий вектор для предыдущего положения каротажного зонда в скважине. Данный подход позволяет существенно уменьшить число итераций метода при движении в пределах одного пласта.

Изначально на каждой итерации вычисляется произведение предобуславливателя на правую часть системы, что позволяет избавиться от хранения предобуслвливающей матрицы. После чего исполняются операции метода, в результате которых получаем вектор решения.

4. Численные результаты

Применительно к решению двумерной прямой задачи электрокаротажа получены оценки производительности при последовательных вычислениях на CPU и параллельных на GPU с использованием описанных алгоритмов.

Рис. 4. Производительность алгоритмов решения прямой задачи электрокаротажа при вычислениях по профилю скважины с

На рис. 4 представлены времена расчета диаграмм электрокаротажа по профилю скважины. В качестве времени исполнения на ЦПУ было взято время исполнения алгоритма, в основе которого лежит метод сопряженных градиентов с предобуславливателем SSOR. Лучшее время показал параллельный алгоритм, также основанный на методе сопряженных градиентов с предобуславливателем. В качестве предобуславливателя использовался третий элемент последовательности, полученной по алгоритму Хотеллинга с начальным приближением в виде Якоби [2]. Время исполнения алгоритма, основанного на методе квадратного корня, представлено правым столбцом, и его неэффективность очевидна. В данном случае диаграммы состоят из 300 точек положений источников и приемников. Как видно, параллельные алгоритмы на основе метода сопряженных градиентов с предобуславливателем дают существенный прирост производительности (~8 раз).

Рис. 5. Производительность алгоритмов при исполнении на различных видеокартах

На рис. 5 представлено сравнение быстродействий различных видеокарт при расчете диаграммы электрокаротажа в двумерной модели. Видно, что времена расчета сигналов электрокаротажа при движении по профилю достаточно сильно зависят от типа используемого устройства. Отличия быстродействий заключаются в различном количестве и тактовой частоте мультипроцессоров. Численные результаты указывают, что реализованные алгоритмы являются хорошей альтернативой существующим на данный момент последовательным алгоритмам решения двумерной прямой задачи электрокаротажа.

Все вышеприведенные результирующие времена расчетов получены при работе на подробной сетке, необходимой для детальных исследований. Данная сетка содержит 249 точек по , расстояние между которыми растет с нелинейным шагом в направлении от оси симметрии. По оси сетка включает 308 точек с увеличением нелинейного шага от источника в положительном и отрицательном направлениях. При этом в верхней полуплоскости данная сетка содержит 56 точек с быстро растущим шагом, в другом случае - 251 точку с медленно растущим шагом. Выбор нелинейного шага определяется затуханием электрического поля при удалении от источника со скоростью .

5. Моделирование диаграмм

С использованием разработанных параллельных алгоритмов на GPU проведено математическое моделирование диаграмм электрокаротажа в двумерных средах.

Как уже указывалось, двумерное моделирование необходимо для изучения маломощных пластов (меньше длины зонда). Проанализируем геоэлектрические модели и диаграммы электрокаротажа, характерные для разрезов нефтегазовых месторождений. Рассматривается двумерная модель нефтенасыщенного пласта, перекрытого глинистыми и подстилаемого водонасыщенными отложениями. Горные породы вскрыты скважиной с пресным буровым раствором (2 Ом•м). Нефтенасыщенный пласт мощностью 5 м имеет удельное сопротивление 25 Ом•м и включает зону проникновения (15 Ом•м), образованную проникновением фильтрата бурового раствора в пласт глубиной 0.4 м. Подстилающий водонасыщенный пласт имеет удельное сопротивление 5 Ом•м и характеризуется повышающей зоной проникновения (20 Ом•м) глубиной 0.5 м. Перекрывающие глинистые отложения имеют удельное сопротивление 3.5 Ом•м.

На рис. 6 представлены диаграммы трансформации сигналов электрокаротажа, полученные в модели нефтенасыщенного пласта. Трансформация сигналов осуществляется в рамках однородной среды в соответствии с (2.2). Как уже указывалось, зонды электрокаротажа характеризуются различной длиной и расстоянием между источником и приемником. Рассмотрим зонд A2.0M0.5N со следующими параметрами: расстояние между источником и первым (ближним к источнику) приемником равно 2.0 м, а расстояние между приемниками - 0.5 м. Исследуя диаграммы нескольких зондов электрокаротажа, можно строить более точные и обоснованные суждения о пространственном распределении удельной электропроводности горных пород, окружающих скважину, чем при использовании одного зонда.

В глинистых отложениях значение кажущегося сопротивления зонда A2.0M0.5N составляет около 4 Ом•м, на интервалах нефте- и водонасыщенных пластов - порядка 15 Ом•м, в то время как сопротивление нефтенасыщенного пласта 25 Ом•м, водонасыщенного - 5 Ом•м. Это указывает на то, что на показания зонда существенное влияние оказывают скважина и промытая прискваженная зона. Низкие значения сопротивления в кровле нефтенасыщенного пласта связаны с влиянием на сигналы глинистых отложений.

Реализованные параллельные алгоритмы являются эффективным инструментом для интерпретации данных электрокаротажа в сложных геологических моделях нефтегазовых скважин.

Заключение

Основным научным результатом работы является реализация параллельных алгоритмов математического моделирования данных электрокаротажа в нефтегазовых скважинах для высокопроизводительных вычислений на графических процессорах. Проведенные научные исследования позволили сделать следующие основные выводы.

Двумерная прямая задача электрокаротажа на основе метода конечных разностей сводится к системе линейных алгебраических уравнений с пятидиагональной матрицей, для решения которой применены прямой и итерационный методы. Метод квадратного корня, успешно применяемый для последовательно решаемой задачи, оказывается слабоэффективным при параллельном решении на GPU. Однако диагональный вид матрицы позволяет существенно сократить количество операций и применить метод сопряженных градиентов с предобуславливателем, где основные операции умножения матрицы на вектор и скалярного произведения векторов хорошо распараллеливается. Реализованы алгоритмы с использованием предобуславливателей Jacobi, SSOR-AI и их модификации, вычисленные с помощью алгоритма Хотеллинга.

Рис. 6. Типичная двумерная модель и диаграммы электрокаротажа, полученные на основе параллельных вычислений на GPU

Получены оценки быстродействий при расчетах диаграмм электрокаротажа в двумерных геоэлектрических моделях при вычислениях на CPU и GPU. Показано, что при использовании GPU для вычислений удается увеличить производительность примерно в 8 раз по сравнению с идентичными расчетами на CPU. При этом лучшие результаты при решении СЛАУ методом сопряженных градиентов с предобуславливателем получены при использовании в качестве предобуславливателя третьего элемента из последовательности предобуславливателей Хотеллинга с начальным приближением в виде Jacobi. Отмечено, что увеличение производительности реализованных алгоритмов существенно зависит от сложности исходной модели и размеров выбранной расчетной области.

Проведено математическое моделирование и сравнительный анализ диаграмм электрокаротажа и изучены основные особенности их поведения в типичных разрезах нефтегазовых скважин. Выполненный объем численного моделирования показал высокую эффективность разработанных алгоритмов, что указывает на возможности создания автоматизированных систем интерпретации нового поколения, использующих ресурсы GPU.

Список литературы

1. Дашевский Ю.A., Суродина И.В., Эпов М.И. Квазитрехмерное математическое моделирование диаграмм неосесимметричных зондов постоянного тока в анизотропной среде // Сибир. журн. высш. мат. 2002. Т.V, № 3(11). С.76-91.

2. Лабутин И.Б., Суродина И.В. Разработка параллельных алгоритмов для решения задач каротажа на графических процессорах // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2012): тр. междунар. науч. конф. (Новосибирск, 26-30 марта 2012 г.). Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012. С.690-697.

3. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.; Л.: Физматгиз, 1963. C.165-168.

Размещено на Allbest.ru