Детерминированные процедуры управления с поводырем в дифференциальных играх нескольких лиц

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Детерминированные процедуры управления с поводырем в дифференциальных играх нескольких лиц

С.В. Лутманов

Результаты, полученные в данной статье, позволили в условиях отсутствия у игроков полной информации о реализующемся фазовом векторе доказать альтернативное утверждение относительно исхода дифференциальной игры нескольких лиц, аналогичное тому, что было доказано в работе [2].

Доказательство альтернативного утверждения основывается на сведении дифференциальной игры лиц к вспомогательным антагонистическим дифференциальным играм двух лиц, происходящим на попарно непересекающихся областях пространства исходной игры.

В рассматриваемых антагонистических играх применяется процедура управления движением, являющаяся модификацией процедуры управления с поводырем [1].

1. Постановка дифференциальной игры "наведения-уклонения" нескольких лиц

Динамика конфликтно-управляемого объекта описывается обыкновенным векторным дифференциальным уравнением

, (1.1)

где - текущее время, - фазовый вектор объекта, - вектор управляющих параметров i-го игрока, - вектор-функция, описывающая как внутреннее устройство объекта, так и воздействие различных внешних факторов. Будем предполагать, что множества компактны, а функция непрерывна по совокупности переменных .

Относительно правых частей дифференциальных уравнений (1.1) принимаются стандартные в теории дифференциальных игр предположения:

1) локальные условия Липшица

,

;

2) условия продолжимости решения

.

3) выполнено условие существования седловой точки в "маленькой игре" нескольких лиц, т. е. для всех номеров и векторов выполняется равенство

,

, (1.2)

где .

Условие (1.2), в частности, имеет место для функций вида

.

В пространстве -му игроку ставится в соответствие компактное множество , которое будем называть целевым множеством этого игрока. Неформальная цель игрока состоит в приведении фазового вектора игры в конечный момент времени на свое целевое множество. В случае если в конечный момент времени фазовый вектор игры не принадлежит ни одному из целевых множеств, то считается, что в игре достигнут компромисс.

В предположении, что целевые множества игроков попарно не пересекаются, в работе [2] было доказано альтернативное утверждение относительно исходов игры. Аналогичное утверждение доказывается и в данной статье. Однако в отличие от работы [2] здесь игроки не располагают полной информацией о реализующемся фазовом векторе. При этом предполагается, что результат измерения фазового вектора один и тот же для всех игроков и погрешность измерения не превышает величину .

Таким образом, имеет место неравенство , где действительное, а измеренное значение фазового вектора игры.

2. Управление с поводырем в антагонистической дифференциальной игре двух лиц

Рассмотрим антагонистическую дифференциальную игру двух лиц наведения-уклонения , где некоторое компактное множество. Пусть стабильный мост первого игрока. Символом обозначим сечение множества в момент времени .

Опишем модифицированную процедуру управления с поводырем первого игрока.

Рассмотрим отображение , ставящее каждой тройке в соответствие вектор по следующему правилу:

если и , то вектор удовлетворяет равенству

; (2.1)

если или , но , то вектор произвольный элемент множества .

Пусть разбиение промежутка времени на полуинтервалы .

Символом обозначим процедуру управления первого игрока, предписывающую ему выбирать свои управляющие воздействия из условия

,

где наблюдаемое значение фазового вектора игры в момент времени .

Векторы определяются по следующему правилу (построение производится только в те моменты времени для которых ). В начальный момент времени вектор находится из равенства

(2.2)

причем если вектор определяется из равенства (2.2) неоднозначно, то берется любой вектор, удовлетворяющий этому равенству.

Пусть вектора уже построены. Если , то полагается . В противном случае вектор определяется в зависимости от значения . Когда , вектор находим из равенства

(2.3)

причем если вектор определяется из равенства (2.3) неоднозначно, то берется любой вектор, удовлетворяющий этому равенству.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Когда , строится вспомогательное движение , определенное на полуинтервале . Оно отождествляется на нем с интегральной кривой дифференциального уравнения в контингенциях

 ,

где вектор удовлетворяет равенству

.

Относительно интегральной кривой требуется, чтобы выполнялось включение . Существование такой интегральной кривой гарантируется свойством стабильности множества .

Рассмотрим функцию , кусочно-непрерывную, допускающую разрывы лишь в точках и непрерывную слева в точках разрыва. На полуинтервале она отождествляется со вспомогательным движением , если оно существует на этом полуинтервале.

В противном случае полагается, что функция на полуинтервале совпадает с таким решением дифференциального уравнения в контингенциях

,

для которого выполняется .

Определение 1. Процедуру управления будем называть модифицированной детерминированной процедурой управления с поводырем первого игрока в игре .

Определение 2. Движением , выходящим из позиции и порожденным процедурой управления первого игрока, будем называть решение дифференциального уравнения

.

Здесь произвольная интегрируемая функция со значениями в множестве .

На рисунке приводится графическая иллюстрация модифицированной детерминированной процедуры управления с поводырем.

Можно показать [3], что модифицированная процедура управления с поводырем, как и исходная, удерживает порожденное ею движение в малой окрестности стабильного моста. Другими словами, справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Для любых и найдутся числа и , такие, что для движения будет выполнено включение

,

если и

.

В частности, если , то из теоремы 1 следует включение , т.е. первый игрок решает задачу наведения на окрестность своего целевого множества.

3. Управление с поводырем в дифференциальной игре нескольких лиц

Пусть разбиение пространства позиций дифференциальной игры нескольких лиц на множества . При этом

1) множества открыты и попарно не пересекаются;

2) множество замкнуто и ;

3) для всех множество

является стабильным мостом [2].

Рассмотрим отображение , ставящее каждой тройке в соответствие набор векторов по следующему правилу:

- если при некотором номере и , то набор векторов удовлетворяет равенству

,

, (3.1)

вектор полагается произвольным вектором из ;

- если , то набор векторов полагается произвольным набором векторов из множества .

Пусть разбиение промежутка времени на полуинтервалы .

Символом обозначим процедуру управления игроков, которая предписывает им выбирать свои управляющие воздействия из условия

,

где наблюдаемое значение фазового вектора игры в момент времени . Векторы определяются по следующему правилу (построение производится только в те моменты времени , для которых ).

В начальный момент времени вектор находится из равенства

(3.2)

причем если вектор определяется из равенства (3.2) неоднозначно, то берется любой вектор, удовлетворяющий этому равенству.

Пусть вектора уже построены.

Если , то полагается .

Если (т.е. для некоторого номера ), то вектор определяется в зависимости от значения . В случае вектор находится из равенства

(3.3)

причем если вектор определяется из равенства (3.3) неоднозначно, то берется любой вектор, удовлетворяющий этому равенству. В случае строится вспомогательное движение , определенное на полуинтервале . Оно отождествляется на нем с интегральной кривой дифференциального уравнения в контингенциях

,

где символ замкнутой выпуклой оболочки, а вектор удовлетворяет равенству

.

Относительно интегральной кривой требуется, чтобы выполнялось включение . Существование такой интегральной кривой гарантируется свойством 4) разбиения . В рассматриваемом случае полагаем .

Определение 4. Процедуру управления будем называть детерминированной процедурой управления с поводырем всех игроков в дифференциальной игре нескольких лиц.

Определение 5. Движением , выходящим из позиции и порожденным процедурой управления , будем называть решение дифференциального уравнения

,

. (3.4)

Уклонение какого-либо игрока от процедуры управления с поводырем будем моделировать тем, что в правой части дифференциального уравнения (3.4) постоянный на каждом промежутке времени вектор следует заменить произвольной интегрируемой реализацией вектора управляющих параметров соответствующего игрока, подчиненной ограничению . Пучок движений, получающийся в результате такого уклонения, обозначим символом

.

Теорема 2. Пусть разбиение пространства позиций дифференциальной игры нескольких лиц со свойствами 1)-3). Тогда для любых и достаточно малого числа найдутся числа и , такие, что для всех и всякого движения будет выполнено .

Доказательство. От противного приходим к существованию начальной позиции и числа , таких, что для любых чисел и найдется номер и движение , для которых выполняется условие

.

Процедура управления в рассматриваемой области фазового пространства представляет собой модифицированную процедуру управления с поводырем первого игрока в антагонистической дифференциальной игре . В силу теоремы 1 она обеспечивает включение для достаточно малых величин . Получили противоречие, которое доказывает утверждение теоремы.

Из доказанной теоремы 2, в частности, следует, что если , , то для всех движений будет выполнено . Таким образом, с точностью до величины в дифференциальной игре "наведения-уклонения" нескольких лиц имеет место компромисс.

4. Альтернативное утверждение относительно исходов игры

Пусть в дифференциальной игре, описанной в п. 1, целевые множества игроков попарно не пересекаются. Тогда справедливо следующее альтернативное утверждение.

Теорема 3. Для всякой начальной позиции либо существует номер , что для любого числа найдутся числа и , такие, что всякое движение , порожденное модифицированной процедурой управления первого игрока в антагонистической дифференциальной игре [2], будет удовлетворять включению .

Либо для достаточно малого числа найдутся числа и , такие, что процедура управления с поводырем всех игроков для всех и всякого движения обеспечивает выполнение условия .

Доказательство. Пусть для некоторого номера позиция принадлежит максимальному -стабильному мосту. Тогда в силу теоремы 1 имеет место первая возможность доказываемой альтернативы.

По условию теоремы целевые множества игроков попарно не пересекаются. Тогда попарно не пересекаться и максимальные -стабильные мосты игроков. Из работы [2] следует, что для любого существует разбиение пространства позиций игры на множества , удовлетворяющее свойствам 1)-3). В случае когда величина достаточно мала, разбиение будет дополнительно удовлетворять условию .

Тогда в силу теоремы 2 реализуется вторая возможность альтернативы.

Теорема доказана.

Список литературы

дифференциальный игра управление поводырь

1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

2. Лутманов С.В. Об одном альтернативном утверждении относительно исхода дифференциальной игры "наведения-уклонения" нескольких лиц в классе "чистых" и "смешанных" стратегий // Вестн. Перм. ун-та. Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 1(5). С. 53-61.

3. Лутманов С.В. Управление с поводырем в дифференциальных играх нескольких лиц // Деп. ВИНИТИ № 2773-81, 08.06.81. 47 с.

Размещено на Allbest.ru