Об оценке устойчивости и погрешности разностной схемы в задаче оптимального управления для линейного уравнения Шредингера

Н. М. Махмудов

Размещено на http://www.allbest.ru//

68

Размещено на http://www.allbest.ru//

Об оценке устойчивости и погрешности разностной схемы в задаче оптимального управления для линейного уравнения Шредингера

Н. М. Махмудов

Рассматривается задача оптимального управления для линейного уравнения Шредингера с критерием качества Лионса. К этой задаче применяется разностный метод. Устанавливается оценка устойчивости и погрешности разностной схемы, исследуется вопрос об оценке скорости сходимости разностных аппроксимаций по функционалу. Подобные вопросы освещены в работах [1-4] и др.

Постановка и дискретизация задачи© Н. М. Махмудов, 2010

оптимальный управление уравнение шредингер

Рассмотрим задачу о минимизации функционала

(1)

на множестве

при условиях

,(2)

, (3)

, (4)

,(5)

где - заданные числа, - ограниченная измеримая функция, удовлетворяющая условиям

,(6)

а функции , удовлетворяют условиям

, (7)

, (8)

- заданные числа.

При каждом заданном под решением редуцированной задачи (2)-(5) понимаются функции

,

,

удовлетворяющие соотношениям (2)-(5) для почти всех , .

Исходя из результатов работы [2] можем утверждать, что редуцированная задача (2)-(5) имеет единственное решение и верны оценки

, (9)

(10)

для , где и - постоянные величины, которые не зависят от , но зависят от остальных исходных данных задачи. Из условий (6)-(9) следует, что функции , , , являются гладкими, поэтому при с помощью результатов работы [2] можем определить следующие оценки:

,

(11)

(12)

для .

Произведя дискретизацию при каждом натуральном , рассмотрим задачу о минимизации функции

(13)

на множестве

при условиях

(14)

, (15)

, (16)

, (17)

где сеточные функции , определены следующими формулами:

, (18)

, , (19)

.(20)

Эти функции определены на сетке

, ,,

.

Обозначим

С помощью сумматорных тождеств нетрудно доказать справедливость утверждения.

Теорема 1. Для решения разностной схемы (14)-(17) при верна оценка

,(21)

для любого , где - постоянная величина, не зависящая от и .

Оценка погрешности разностной схемы

Оценим погрешность аппроксимации. С этой целью рассмотрим следующие усреднения решения редуцированной задачи (2)-(5) при :

,

.(22)

Определим оператор на множестве по формуле

. (23)

Обозначим . Ясно, что будет решением следующей системы:

(24)

, (25)

, (26)

, (27)

Где

. (28)

Теорема 2. Пусть выполнено условие согласования , где , - постоянные, не зависящие от и . Тогда верны оценки

,

, (29)

для , где

. (30)

Доказательство. Аналогично оценке (21) легко доказать справедливость оценки

, (31)

.

Оценим правую часть неравенства (31). Используя формулу для , эту оценку можно представить в виде

,(32)

Где

, (33)

,

, (34)

,

. (35)

Используя формулы (34),(35), а также (20),(21) для слагаемых ,, можно получить справедливость неравенства

, (36)

. (37)

Оценим слагаемое . Предварительно оценим значения при , . С помощью формулы (33) находим

.(38)

Используя формулу для , нетрудно получить соотношение

,(39)

Оценим значения

.

С помощью формулы для получим соотношение

(40)

Пусть справедливо равенство

(41)

для фиксированного . Тогда согласно формуле (40) становится справедливым соотношение

. (42)

Обозначим через , а - через и сделаем замену переменных в виде . Тогда функционал примет вид

, (43)

где . Очевидно, что есть линейный функционал относительно . Кроме того, этот функционал ограничен в пространстве . Действительно, в силу оценки (11) для фиксированного функция принадлежит пространству . Поэтому будет принадлежать пространству для фиксированного . Используя (43), получим неравенство

, (44)

где - постоянная, не зависящая от и . Кроме того, функционал обращается в нуль на многочленах второй степени. Действительно, если возьмем и подставим его в формулу для , то получим

(45)

Таким образом, выполнены все условия леммы Брэмбла-Гильберта [1, с.29]. Тогда в силу этой леммы и оценки (44) получим неравенство

. (46)

При выполнении обратной замены переменных и возврате к прежним обозначениям согласно (46) получим

,

. (47)

Рассмотрим соотношения для , при . Используя формулу, определяющую величины , получим

.(48)

Оценим значения и . Легко видеть справедливость неравенств

(49)

.(50)

Очевидно неравенство

(51)

.

С учетом (51) и (50) получим

(52)

Используя лемму Брэмбла-Гилберта, аналогично неравенству (47) для получим

,

. (53)

В силу справедливости соотношений (49), (52) и (53) и (48) получим

,

. (54)

Аналогично оценке слагаемого оценим величины :

, . (55)

Аналогично оценкам (54),(55) и в силу граничных условий для можно записать соотношения

, . (56)

, . (57)

Используя (39), (47) для при , получим

+

. (58)

По аналогичной схеме можно получить следующую оценку:

.(59)

В силу справедливости неравенств (36), (37), (52), (57), оценок (11), (12) и условия согласования, используя (32), получим соотношение

,

. (60)

Из последних неравенств и оценки (31) находим

,

. (61)

Выбирая , получим формулу, доказывающую теорему.

Оценка скорости сходимости разностных аппроксимаций по функционалу

Оценим разность исходного функционала и дискретной функции.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для любого и имеет место оценка

, , (62)

Доказательство. Используя формулу (1) и (13), получим

,(63)

Согласно виду формулы, определяющей , справедливо неравенство

. (64)

В силу утверждения теоремы 2 получаем

. (65)

Рассмотрим разность . С учетом соотношения (22) находим

.(66)

С учетом (66) получим

(67)

Согласно (11) и (67)

. (68)

Суммируя (65) и (66), определяем

. (69)

Аналогично получим следующее соотношение:

. (70)

Неравенства (63) и (70) доказывают теорему.

Сформулируем две вспомогательные леммы.

Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 3. Пусть, кроме того, оператор определяется формулой (23). Тогда и имеет место оценка

, . (71)

Доказательство этой леммы проводится с использованием утверждения теоремы 3.

Пусть оператор определяется формулой , (72)

где

(73)

Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 3. Пусть, кроме того, оператор определяется формулой (72). Тогда и имеет место оценка

,

. (74)

Доказательство. Нетрудно установить, что .

Поэтому в записи теоремы 3, выбирая вместо и проводя аналогичное доказательство, получим оценку

,

. (75)

Легко видеть, что

Отсюда получим

.

Это неравенство и соотношение (75) доказывают лемму.

Сформулируем и докажем теорему о скорости сходимости разностных аппроксимаций по функционалу.

Теорема 4. Пусть выполнены условия леммы 1 и 2. Пусть, кроме того, и являются решениями задач (1)-(5) и (13)-(17) соответственно, т. е.

.

Тогда последовательность разностных задач (13)-(17) аппроксимирует задачу (1)-(5), т.е.

 (76)

и справедлива оценка о скорости сходимости:

, .(77)

Доказательство этой теоремы проводится с использованием леммы 1 и 2.

Список литературы

Потапов М.М., Разгулин А.В., Шамеева Т.Ю. Аппроксимация и регуляризация задачи оптимального управления типа Шредингера // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1987. №1. С.8-13.

Ягубов Г.Я. Оптимальное управление коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера: дис. доктор. наук. Киев, 1994. 318 с.

Ягубов Г.Я. Разностный метод решения задачи оптимального управления коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера с интегральным критерием качества по границе области // Проблемы матем. модел. и опт. управления. Баку, 2001. С.37-48.

Ягубов Г.Я. Сходимость разностного метода решения задачи оптимального управления для нелинейного уравнения Шредингера с интегральным критерием качества // Вестн. Сумгаит. гос. ун-та. 2001. №1. С.37-42.

Размещено на Allbest.ru

...