Разностный метод решения задачи оптимального управления для уравнения Шредингера с чисто мнимым коэффициентом в нелинейной части этого уравнения

Н. М. Махмудов

Размещено на http://www.allbest.ru//

64

Размещено на http://www.allbest.ru//

Разностный метод решения задачи оптимального управления для уравнения Шредингера с чисто мнимым коэффициентом в нелинейной части этого уравнения

Н. М. Махмудов

Рассматривается вопрос сходимости разностного метода при решении задачи оптимального управления для уравнения Шредингера с чисто мнимым коэффициентом в нелинейной части уравнения, когда множество допустимых управлений состоит из ограниченно измеримых функций, имеющих квадратично суммируемые обобщенные производные первого порядка.

уравнение разностный оптимальный мнимый

Введение© Н. М. Махмудов, 2010

При численном решении задач оптимального управления для нелинейного уравнения Шредингера, которые часто встречаются в нелинейной оптике, теории сверхпроводимости и в других областях современной физики, техники [1-2] ,важное место занимает вопрос сходимости разностного метода. В данной работе этот вопрос изучается в свете решения задачи оптимального управления для уравнения Шредингера с чисто мнимым коэффициентом в нелинейной части уравнения с критерием качества Лионса, когда множество допустимых управлений входит в класс ограниченно измеримых функций, имеющих квадратично-суммируемые производные. Следует отметить, что подобные вопросы в отмеченной постановке ранее изучены в работах [3-8] и др., в задачах оптимального управления для уравнений Шредингера. Ввиду того, что изученная в этой работе задача по постановке отличается от ранее изученных, исследование вопроса сходимости разностных аппроксимаций задачи оптимального управления для нелинейного уравнения Шредингера представляет немалый интерес.

1. Постановка и дискретизация задачи

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления о минимизации функционала:

(1)

на множестве

при условиях

(2)

, (3)

, (4)

, (5)

где заданные числа, , а функции удовлетворяют условиям

, , , , (6)

(7)

(8)

При принятых предположениях можем установить, что краевая задача (2)-(5) при каждом имеет единственное решение:

,

и справедливы оценки

, (9)

, (10)

для , где и - постоянные, зависящие только от данных задачи (2)-(5). Наряду с этими выражениями (1)-(5) можем установить, что задача оптимального управления (1)-(5) имеет хотя бы одно решение, т.е.

.

Дадим физическую интерпретацию задачи оптимального управления (10)-(5). Как указано было выше, нелинейное уравнение Шредингера возникает в нелинейной оптике, например при изучении распределения световых волн (пучков) в нелинейной среде. Если волна распространяется вдоль оси t, то в зависимости от среды распространения комплексная амплитуда электрического поля волны в одномерном случае может описываться уравнением [2]

(11)

где - мнимая единица, - заданные вещественные числа, - волновая функция, комплексная амплитуда электрического поля волны, - переменная расстояния, - заданное число, -пространственная переменная , - заданное число, - коэффициент преломления среды, - нелинейный показатель поглощения, - неизвестная часть показателя преломления среды, которая возникает при прохождении световых волн через среды с неизвестным показателем преломления. Поэтому при изучении этих процессов возникает необходимость определения пары , т. е. показателя преломления и комплексной амплитуды электрического поля световых волн. Другими словами, нам необходимо решить обратную задачу определения коэффициента в уравнении (11). Для однозначного определения решения уравнения (11) при заданных к этому уравнению обычно присоединяются начальное и краевое условия вида

(12)

или (13)

где - заданная функция или функция, описывающая начальный фазовый профиль распределения световых волн.

Для определения к уравнению (11) наряду с условиями (12) или (13) присоединено дополнительное условие, которое может быть задано различными способами. С этой целью используем способ, который впервые был применен Лионсом Ж.Л. в работе [9] для нахождения неизвестной начальной функции в обратной задаче для уравнения теплопроводности, а потом Искендеровым А.Д. в работе [10] для определения коэффициентов уравнений математической физики.

Рассмотрим две начально-краевые задачи для уравнения (11), содержащего одинаковые неизвестные функции , при определении функции из условий (11), (12) при и функции из условий (11), (13) при . Для определения используем дополнительное условие вида

(14)

В результате получим обратную задачу об определении функции из условий (2)-(4), (14). Для решения этой обратной задачи будем применять вариационный метод. С этой целью сначала определяем класс неизвестных функций . На практике эти функции оказываются ограниченно измеримыми функциями, имеющими квадратично суммируемую обобщенную производную. Поэтому класс функций или множества допустимых функций выбираем в виде

где - заданные числа.

Известно, что вариационный метод решения обратных задач основывается на вариационной постановке задачи, которая заключается в минимизации функционала (1), построенного на основе дополнительного условия (14), на множестве при условиях (2)-(5). Таким образом, с помощью вариационной постановки обратной задачи (2)-(5), (14) получим задачу оптимального управления (1)-(5), к решению которой должны применить разностный метод.

Нашей целью в данной работе является исследование разностной аппроксимации задачи (1)-(5). Поэтому сначала проведем дискретизацию задачи. Введем последовательность сеток:

,

.

Обозначим

.

При каждом натуральном рассмотрим задачу о минимизации функции

(15)

на множестве



при условиях

, (16)

, (17)

, (18)

, (19)

где сеточные функции определяются формулами

, (20)

, (21)

(22)

.(23)

Теорема 1. Для решения разностной схемы (16)-(19) при верны оценки



,

(24)

для , где - постоянная, которая не зависит от .

Доказательство. Ясно, что на всех слоях система (16)-(19) эквивалентна следующим сумматорным тождествам:

(25)

для любых сеточных функций , определенных на сетке , удовлетворяющих условиям

,

где , , есть изменение сопряжения сеточных функций . Если в этих сумматорных тождествах вместо возьмем

и вычтем из них комплексные сопряжения, а полученные равенства суммируем по от до , получим справедливость неравенства:

,

и для . Далее, отсюда нетрудно получить справедливость следующей оценки:

, . (26)

Теперь обе части равенств (16) умножим на сеточные функции , , и полученные равенства просуммируем по от до . Тогда имеем

, . (27)

Используя формулу суммирования по частям и условия (18) при , из последних равенств имеем

, . (28)

Аналогично, используя условия (22) из (27) при , имеем

, . (29)

Если из (28) и (29) вычтем соответственно их комплексные сопряжения и используем неравенства

, (30)

то, суммируя полученные равенства по от до , получим следующие неравенства:

, , (31)

. (32)

Используя (31), оценим . С этой целью применяя неравенство Коши с и выбирая , получим справедливость неравенства

(33)

.

В этом неравенстве оценим второе слагаемое правой части. Действительно, имеем

(34)

Отсюда имеем

(35)

для .

В силу этого неравенства, оценки (24) при и леммы Горноулла получается справедливость неравенства

, .

. (36)

В силу этой оценки и оценки (26) получим следующую оценку:

(37)

для .

Выполняя аналогичные операции, из (29) получим справедливость следующей оценки:

(38)

для . Из оценок (37) и (38) получим утверждение теоремы.

Теорема 1 доказана.

Отметим, что если то из (24) получим оценку устойчивости разностной схемы для линейного уравнения Шредингера.

2. Оценка погрешности разностной схемы

Выше была приведена оценка устойчивости разностной схемы (16)-(19). Теперь оценим погрешность аппроксимации разностной схемы (16)-(19) при каждом . С этой целью рассмотрим следующие усреднения решения редуцированной задачи (2)-(5) при :

,

где , определяются формулами

(39)

Кроме того, определим оператор на множестве по формуле

. (40)

Обозначим

.

Ясно, что , будут решением следующей системы:

(41)

, (42)

, (43)

, (44)

где сеточные функции , определяются формулами

(45)

Теорема 2. Пусть при удовлетворяет условию

. (46)

Пусть, кроме того, выполнено условие согласования: , где , - постоянные, не зависящие от и . Тогда верны оценки

,

(47)

для , где , при и

.

Доказательство. С помощью метода сумматорных тождеств и условия (45) можем установить справедливость оценки:

, , (48)

для , где - постоянная, не зависит от ..

Сеточную функцию , представим в виде

(49)

Где

, (50)

,(51)

,(52)

, (53)

(54)

.

Можем установить справедливость следующих неравенств:

, (55)

где при .

, (56)

где , при .

(57)

(58)

(59)

для .

Тогда в силу оценок (6), (7) из неравенств (55)-(56) и оценок (48) получим справедливость следующих неравенств:

для

, откуда следует утверждение теоремы.

Теорема 2 доказана.

3. Сходимость разностных аппроксимаций по функционалу

Для установления сходимости разностных аппроксимаций по функционалу сначала оценим разность исходного функционала (1) и дискретной функции (15). Используя утверждения теоремы 2, можно доказать следующую теорему.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для и имеет место оценка

.(60)

Для установления оценки сходимости по функционалу сначала докажем две вспомогательные леммы.

Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 3. Пусть, кроме того, оператор определяется формулой

,

.

Тогда и имеет место оценка

. (61)

Пусть оператор определяется формулой

(62)

Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 3, оператор определяется формулой (44). Тогда действует из на , т. е. , и имеет место оценка

. (63)

Доказательство. Пусть - произвольное дискретное управление. Сначала покажем, что . Действительно, из структуры множества ясно, что

.(64)

Из формулы (62) ясно, что функция имеет обобщенную производную , которая имеет вид

.(65)

Поэтому

.

Следовательно,

. (66)

Теперь рассмотрим . В силу формулы (47) имеем

. (67)

Для точек , находим

.(68)

Ясно, что для ,

.

Тогда с учетом этих соотношений из (67) получаем

.

Таким образом, нами доказано, что

. (69)

Из (66) и (69) заключаем, что , т.е. . Тогда, выбирая управление вместо допустимого управления и проводя доказательство теоремы 3, получим справедливость неравенства

(70)

Теперь рассмотрим второе слагаемое правой части этого неравенства:



Следовательно,

.

Если учесть это неравенство в (70), получим справедливость неравенства

.

Учитывая формулу

в последнем неравенстве, получим утверждение леммы. Лемма 2 доказана.

Теперь сформулируем теорему о сходимости разностных аппроксимаций по функционалу в задаче (1)-(5).

Теорема 4. Пусть выполнены условия леммы 1 и леммы 2. Пусть, кроме того, - решение задачи оптимального управления (1)-(5), а - решение дискретной задачи оптимального управления (15)-(19), т.е.

,

.

Тогда последовательность разностных задач (15)-(19) аппроксимирует задачу (1)-(5), т.е.

, (71)

и справедлива оценка сходимости:

. (72)

Доказательство этой теоремы проводится методикой из работы [13].

Список литературы

1. Буккель В. Теория сверхпроводимости. Основы и приложения. М.: Мир, 1975. 361 с.

2. Воронцов М.А., Шмальгаузен В.Н. Принципы адаптивной оптики. М.: Наука, 1985. 336 с.

3. Потапов М.М., Разгулин А.В., Шамеева Т.Ю. Аппроксимация и регуляризация задачи оптимального управления типа Шредингера // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1987. №1. С.8-13.

4. Разгулин А.В. Аппроксимация задач управления для нелинейного уравнения Шредингера // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1988. №2. С.28-33.

5. Разгулин А.В. Применение проекционно-разностного метода в задачах наблюдения и управления для уравнения типа Шредингера // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1986. №1. С.42-52.

6. Ягубов Г.Я. Разностный метод решения задачи оптимального управления коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера // Матем. моделирование и автоматизированные системы. Баку: Изд-во Бакинск. ун-та. 1990. С.53-60.

7. Ягубов Г.Я. Оптимальное управление коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера: автореф. докт. дис. Кие,. 1994.

8. Махмудов Н.М. Разностный метод решения задачи оптимального управления кванто-механической системой с функционалом Лионса // Тр. ИММ АН Азербайджана. 1997. Т.VII (XV). С.79-82.

9. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 412 с.

10. Искендеров А.Д. О вариационных постановках многомерных обратных задач математической физики // ДАН СССР. 1984. Т.274, №3. С.531-533.

11. Васильев В.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.Размещено на Allbest.ru

...