Оптимизация игровых ситуаций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Москва 2008

Оптимизация игровых ситуаций

1. Назначение разработки, область применения и её ограничения

Программно-методическая разработка по теме «Оптимизация игровых ситуаций» предназначена для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям «Государственное и муниципальное управление», «Менеджмент», «Экономика и управление промышленным предприятием» и др. Пособие может быть использовано для изучения предметов «Основы математического моделирования социально-экономических процессов», «Экономико-математические методы и модели», «Программные средства решения экономических задач», и т.п. Пособие содержит описание компьютерной технологии моделирования, оптимизации и исследования антагонистической вероятностной матричной игры двух лиц с нулевой суммой. Цель пособия - поддержка изучения базовых компьютерных технологий моделирования социально-экономических систем на уровне основных понятий теории игр, практических методов решения простейших игровых задач и исследования оптимального решения игры в среде электронного табличного процессора EXCEL с применением программы «Поиск решения». Приведено детальное описание компьютерной модели игровой задачи в среде EXCEL, интерфейсы используемых программ EXCEL, схемы размещения исходных данных и промежуточных и окончательных результатов расчетов. Пособие может быть полезным также и для студентов магистратуры, аспирантов, преподавателей и всех, интересующихся применением компьютерных технологий для моделирования социально-экономических процессов и преподавания соответствующих дисциплин.

Игровые модели применяются для принятия решения в ситуациях полной неопределенности, которые характеризуются наличием заинтересованных сторон, наборами возможных действий каждой стороны, четко сформулированными интересами сторон. Вероятностная стратегическая игра с конечными множествами возможных действий игроков и полной информацией, в которой участвуют две стороны, имеющие противоположные интересы, называется конечной (матричной) игрой двух лиц с нулевой суммой.

Пример формулировки. Фирма готовится провести диверсификацию производства. В дополнение к отработанным моделям ею разработаны еще три изделия. Перспективными покупателями продукции могут являться рекламные компании, PR-компании, детские учреждения и фирмы-организаторы празднований. Маркетологи рассчитали прогнозные цены, по которым каждая группа покупателей готова приобретать изделия. Требуется определить структуру выпуска продукции, обеспечивающую максимальный доход фирмы. Одновременно менеджеры фирмы должны необходимо найти оптимальную стратегию противоположной стороны - покупателей, определяемую как расчетную долю затрат каждой группы покупателей в общей сумме расходов на товары фирмы, что позволит правильно определить приоритеты.

Математическая модель. В рассматриваемой ситуации необходимо провести анализ стратегий участников рынка с двух позиций - со стороны фирмы и с противоположной стороны - с точки зрения покупателей продукции. Вся необходимая для этого информация содержится в результатах маркетинга. Это платежная матрица С, элементы которой показывают, какую цену готова платить каждая группа покупателей за каждое изделие фирмы.

Целью фирмы-производителя является такой выбор стратегий, который обеспечивает максимальную цену игры н. Целевая функция задачи имеет вид

н max

Система ограничений задачи строится, исходя из предположения о том, что оптимальная стратегия производителя должна обеспечивать ему получение дохода не меньше, чем цена игры н, для любой группы потребителей. То есть при любой стратегии противной стороны (рынка) фирма должна получить доход не ниже величины цены игры. Рассмотрим группу потребителей RJ. Цены, по которым эта группа готова покупать предлагаемые изделия, образуют J столбец платежной матрицы С. Для стратегии производителя, описываемой вектором структуры производства P={P1,P2,P3,P4,P5}, расходы DIJ рассматриваемой группы на модель GI будут равны произведению платежа CIJ на долю объема производства PI: DIJ=CIJ*PIJ. Общая величина расходов данного сектора рынка на продукцию фирмы будет представлять собой сумму затрат на все модели . Условие оптимального выбора структуры производства - компонент вектора P - предполагает, что для любого сектора рынка расходы должны быть не ниже цены игры н. То есть для любой группы потребителей должно выполняться неравенство DJ? н, откуда следует, что в систему ограничений должны входить N неравенств

Из того, что величины PI представляют собой доли общего объема выпуска фирмы, следует, что сумма этих величин должна равняться 1: и что эти величины должны быть неотрицательными . Таким образом, математическая модель антагонистической игры имеет вид

Здесь целевая функция задачи в явном виде не выражена через искомые доли каждой модели в общем объеме производства PI. Такую связь можно обнаружить, если ввести в модель новые аргументы XI, представляющие собой отношение доли модели в объеме продукции PI к цене игры н: . Тогда . Подставляя эти выражения в первую группу ограничений модели, ее можно записать в виде . Поскольку цена игры н не зависит от индекса суммирования, ее можно вынести за знак суммы и, так как она положительная, сократить на эту величину обе части неравенства. В результате эта группа ограничений примет вид . Подставляя выражение для долей изделий во вторую группу ограничений, получаем . Теперь целевая функция задачи имеет вид

Обозначив сумму величин в знаменателе правой части , можно записать выражение Z(X) через цену игры н . Поскольку по условию задачи цена игры должна быть максимальной, то обратная ей величина Z(X) в точке оптимума должна иметь минимум. Следовательно, исходную задачу оптимизации антагонистической игры можно, используя новые аргументы XI, записать в форме задачи линейного программирования

Матричная форма рассматриваемой задачи может быть построена при помощи вспомогательных векторов. Это вектор индикаторов готовности моделей I^G, имеющий 5 компонент, каждая из которых равна 1, если модель готова к выпуску на рынок и 0 - если нет. В нашем случае будем считать, что все модели готовы. Второй вектор - вектор структуры спроса I^R. Он имеет число компонент, равное количеству групп потребителей. В данном случае - 6. Его компоненты равны 1, если соответствующая группа представлена на исследуемом рынке. Обозначив X вектор аргументов, полученную задачу оптимизации можно записать в матричной форме в виде

Здесь C - матрица платежей антагонистической игры. В таком виде задача определения структуры выпуска продукции полностью готова к построению компьютерной модели.

После изучения ситуации с позиций производителя проводится анализ с точки зрения потребителей, как противоположной стороны рыночных отношений. Целью всех групп покупателей, как участников рынка, является минимизация их расходов на продукцию фирмы-производителя. В соответствии с данной целью потребители, рассматриваемые как единый игрок - противная сторона - выбирают такую стратегию, которая обеспечивает им минимум суммарных расходов, то есть минимальное значение цены игры н. Таким образом, целевая функция двойственной игровой задачи имеет вид

н min

Система ограничений двойственной задачи строится, исходя из предположения о том, что оптимальная стратегия единого потребителя должна обеспечивать возможность каждой группе получить интересующие ее товары, затратив на их приобретение суммы, не превышающие цену игры н, при любой стратегии производителя, то есть для любого вида (модели) изделий. Рассмотрим стратегию производителя, предполагающую выпуск модели изделия GI. Цены, по которым каждая группа потребителей готова покупать данную модель, показаны в I строке платежной матрицы. Для стратегии рынка потребления, описываемой вектором структуры спроса групп Q={Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6}, расходы FIJ рассматриваемой группы на модель GI будут равны произведению платежа CIJ на долю расходов данной группы потребителей в общем объеме затрат рынка на продукцию фирмы-производителя QI: FIJ=CIJ*QJ. Общая величина расходов участников рынка на данную модель GI будет представлять собой сумму затрат всех потребителей . Условие оптимального выбора структуры потребления - компонент вектора Q, описывающего, какая доля продукции фирмы потребляется той или иной группой покупателей, - предполагает, что для любой модели суммарные расходы на нее всех групп покупателей не должны превышать цену игры н. То есть для любой планируемой к производству модели изделий должно выполняться неравенство FI? н, откуда следует, что в систему ограничений должны входить М неравенств вида .

Из того, что величины QJ представляют собой доли каждой группы покупателей в обще1 сумме затрат всего рынка на продукцию фирмы, следует, что сумма этих величин должна равняться 1: . и что эти величины должны быть неотрицательными . Таким образом, имеем

Здесь целевая функция двойственной задачи не выражена в явном виде через искомые доли каждой группы потребителей общем объеме затрат на продукцию фирмы QJ. Такое выражение можно получить, если ввести в модель новые аргументы YJ, представляющие собой отношение доли группы покупателей в общем объеме затрат рынка на продукцию фирмы QJ к цене игры н: YJ=QJ/н. Тогда QJ=YJ н. Подставляя эти выражения в первую группу ограничений модели, ее можно записать в виде . Поскольку цена игры н не зависит от индекса суммирования, ее можно вынести за знак суммы и, так как она положительная, сократить на эту величину обе части неравенства. В результате эта группа ограничений примет вид .

Подставляя выражение для долей изделий QJ=YJн во вторую группу ограничений, получаем . Откуда следует, что в терминах новых аргументов целевая функция двойственной задачи имеет вид

Обозначим сумму величин в знаменателе правой части этого равенства W(Y), , можно записать выражение W(Y) через цену игры н . Поскольку по условию задачи цена игры должна быть для стороны покупателей минимальной, то обратная ей величина W(Y) в точке оптимума стратегий должна иметь максимум. Следовательно, двойственную задачу оптимизации антагонистической игры можно, используя новые аргументы YJ записать в форме задачи линейного программирования

Матричная форма двойственной задачи, как и матричная форма исходной игровой задачи, может быть построена, если ввести в модель два вспомогательных вектора. Это вектор индикаторов готовности моделей I^G, имеющий 5 компонент, каждая из которых равна 1, если модель готова к выпуску на рынок и 0 - если нет. В нашем случае будем считать, что все модели готовы. Второй вектор - вектор структуры спроса I^R. Он имеет число компонент, равное количеству групп потребителей. В данном случае - 6. Его компоненты равны 1, если соответствующая группа представлена на исследуемом рынке. Обозначив через Y вектор аргументов двойственной задачи, полученную задачу оптимизации можно записать в матричной форме в виде

Здесь C - матрица платежей антагонистической игры. В таком виде двойственная задача антагонистической игры полностью готова к построению компьютерной модели.

Таким образом, в результате всестороннего анализа игровой ситуации получены математические модели, отражающие поведение обеих сторон рыночных отношений - производителей продукции и потребителей. В совокупности матричные модели выбора оптимальных стратегий производителей и потребителей образуют пару взаимно двойственных задач. На их основе можно построить комплексную компьютерную модель, позволяющую рассчитать оптимальные стратегии сторон и сделать соответствующие выводы.

Компьютерная модель. Общий вид компьютерной модели оптимизации игровой ситуации показан на рисунке 1.

Рис. 1 Компьютерная модель задачи

Рис. 2 Настройки программы "Поиск решения"

Компьютерная технология моделирования и исследования игровой ситуации включает в себя следующие операции.

Разместить исходные данные - матрицу платежей С[D8:I12], вектор готовности продукции I^G[G8:G12] и вектор-индикатор потребителей I^R[D3:I13].

Отвести блоки ячеек для размещения вектора решения Х[L8:L12].

Отвести ячейку для размещения целевого функционала Z(X)[L14] и ввести в нее формулу =МУМНОЖ(ТРАНСП(L8:L12);J8:J12).

В ячейку цены игры н[K14] ввести формулу =1/L14.

Вычислить вектор структуры выпуска Р[K8:K12] по =K14*L8:L12.

Отвести блок ячеек для вычисления левых частей плановых ограничений D=ХС[D14:I14] по формуле =МУМНОЖ(ТРАНСП(L8:L12);D8:I12)

Настроить и запустить программу «Поиск решения».

Анализ результатов расчетов. В результате вычислений при помощи представленной компьютерной модели исследуемой игровой ситуации получено решение - структура плана выпуска продукции, обеспечивающего максимальную цену игры производителя при любой стратегии покупателей. В соответствии с данным решением план должен предусматривать выпуск ММ в количестве 15,7% от общего объема производства, Ч - 78,7%, остальные 5,6% - М. В условиях, представленных результатами маркетинговых исследований, план не должен включать изделия Д и СД. Такая структура выпуска гарантирует, что расходы каждой группы покупателей на продукцию фирмы будут не меньше оптимальной цены игры, равной в данном случае 16,07.Одновременно анализ оптимальных стратегий противной стороны рыночных отношений - покупателей показывает, что основной объем покупок будет приходиться на долю рекламных компаний (71,9%); заметна также доля продаж в секторе организаторов праздников (24,7%); незначительный объем потенциального рынка составляет розница (3,4%); остальные сегменты рынка неперспективны.

2. Используемые технические и программные средства

программный методический игровой модель

Для создания данного электронного продукта использовался персональный компьютер типа Intel Pentium IV c операционной системой Microsoft Windows XP Professional версия 2005 Service Pack 2. Использовался пакет MS-OFFICE с текстовым редактором MS-Word 2003 и MS-Excel 2003.

Размещено на Allbest.ru