Размещено на http://www.allbest.ru/

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Институт Прикладной математики и механики

Кафедра Теоретической механики

Курсовой проект

Направление подготовки бакалавров: 010800 Механика и математическое моделирование

ДИНАМИКА БИЛЬЯРДА

П.Ю. Булдаков Группа 23604/1

Руководитель проекта: Панченко А.Ю.

Санкт-Петербург 2015



Оглавление

• Введение
• 1. Общие сведения
• 1.1 История возникновения бильярда
• 1.2 Виды бильярда
• 1.3 Потенциал Леннарда-Джонса
• 2. Написание программы
• 2.1 Задачи, поставленные перед программой
• 2.2 Написание кода
• Итоги работы
• Литература

• Введение
• бильярд шар программа траектория
• Проект направлен на изучение динамики взаимодействия шаров при игре в бильярд. В процессе выполнения курсовой работы необходимо решить следующие задачи:

· Написать программу, моделирующую динамику взаимодействия шаров при игре в Бильярд. Взаимодействие между шарами описывается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.

· Рассмотреть классическое центрально разбиение в русском бильярде, проследить траекторию разлета.

В первой главе приведены общие сведения по теме: история возникновения бильярда как такового, а также его виды, потенциала Леннарда-Джонса. Во второй главе описывается то, как создавалась программа с примерами кодов.

1. Общие сведения

1.1 История возникновения бильярда

Первый бильярдный стол (согласно сохранившимся документам) был изготовлен мастером Анри де Винемом в 1469 году для короля Франции Людовика XI. Этот стол был похож на современный бильярдный: у него было каменное основание, ограждение, он был покрыт сукном. Документально подтверждены утверждения об игре в бильярд королевы Шотландии Марии Стюарт накануне ее казни и о ее просьбе архиепископу Глазго подыскать столу подходящее помещение после ее смерти. В Россию бильярд был завезен из Голландии Петром I. Новинка быстро завоевала популярность. После смерти Петра I обучение игре на бильярде было включено Верховным тайным советом в курс наук Петра II, его внука и наследника. Екатерина II указом от 7 декабря 1770 года приказала в трактирах и на постоялых дворах «для увеселения приходящих дозволить иметь биллиарды». На рубеже XVIII и XIX веков бильярд являлся частью «обязательной» программы воспитания дворян в Европе и в России.

Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил Гаспар Густав Кориолис в своей книге «Thйorie mathйmatique du jeu de billard» (Русск. перевод: «Математическая теория явлений бильярдной игры») в 1835 году. Он использовал в своей работе элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа. Однако особого интереса у современников (по мнению Лемана) книга не вызвала: ни у математиков, ни у игроков в бильярд.

Прошло более полутораста лет, и математический бильярд развился в свою теорию, породив несколько побочных. «Теория бильярдов» сегодня неотъемлемая часть эргодической теории и теории динамических систем, имеет важнейшее применение в физике. Математиком Гальперином создан способ определения числа с помощью бильярда. Так же известны результаты исследований математиков Штейнгауза, Альхазена и Гарднера.

1.2 Виды бильярда

Бильярд чаще всего подразделяют на четыре основных вида:

1) Русский бильярд

Столы в Русском бильярде имеют размеры в 12 футов, 16 шаров (диаметр 68 мм). 15-ть шаров, участвующие в игре, пронумерованы, оставшийся 16-й, имеет другой цвет, но не имеет номера.

2) Американский Пул

Американский пул - одна из самых несложных разновидностей игры в бильярд.

3) Английский Снукер

Столы в 12 футов, лузы примерно в 120 мм, 20 цветных шаров размером 52,4 мм каждый.

4) Французский Карамболь

Участники играют на 10-ти футовых столах, используя шары по 60 миллиметров. Два шара - белые, один - красный. Название игре дал особый удар, который так и называется - Карамболь.

1.3 Потенциал Леннарда-Джонса

Парный силовой потенциал взаимодействия. Определяется формулой:

Р(r) = D [¹² ? 2⁶ ],

где

· r -- расстояние между частицами,

· D -- энергия связи,

· a -- длина связи

Потенциал является частным случаем потенциала Ми и не имеет безразмерных параметров.

Сила взаимодействия, соответствующая потенциалу Леннард-Джонса, вычисляется по формуле

F(r) = 12 [¹³ ? ⁷].

Для потенциала Леннард-Джонса жесткость связи, критическая длина связи и прочность связи, соответственно, равны

C = 72 b =? 1.11 a, P = ? 2.7 .

Векторная сила взаимодействия определяется формулой

F(r) = ??Р(r) = 12 [¹⁴ ? ⁸] r.

Данное выражение содержит лишь четные степени межатомного расстояния r, что позволяет при численных расчетах методом динамики частиц не использовать операцию извлечения корня.



2. Написание программы

2.1 Задачи, поставленные перед программой

Программа должна выполнять следующие функции:

1. Визуализация стола, шаров и луз для игры в бильярд.

2. Взаимодействие между шарами должно описывается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.

3. У игрока должна быть возможность выбирать направление и силу удара.

4. Игрок, при выборе угла и силы удара, должен видеть примерную траекторию движения “битка”

5. Кнопки “PLAY” и “AGAIN” для удобства.

2.2 Написание кода

Ниже приведены части кода, которые отвечают за:

1) Взаимодействие шаров.

2) Задание пирамиды из шаров.

3) Нажатие кнопок “PLAY” и “AGAIN”.

1) Взаимодействие шаров.

1. var balls = []; // массив шаров

2. var addNewBall = function(x, y) {

3. // проверка - не пересекается ли новый шар со стенами или уже существующими шарами

4. if (x - r < 0 || x + r > w || y - r < 0 || y + r > h) return null;

5. for (var i = 0; i < balls.length; i++) {

6. var rx = balls[i].x - x;

7. var ry = balls[i].y - y;

8. var rLen2 = rx * rx + ry * ry;

9. if (rLen2 < 4 * r2) return null;

10. }

11. var b = [];

12. b.x = x; b.y = y; // расчетные координаты шара

13. b.fx = 0; b.fy = 0; // сила, действующая на шар

14. b.vx = 0; b.vy = 0; // скорость

15. balls[balls.length] = b; // добавить элемент в конец массива

16. return b;

17. };

18. // Основной цикл программы

19. function control() {

20. physics();

21. draw();

22. }

23. // Расчетная часть программы

24. function physics() { // то, что происходит каждый шаг времени

25. for (var s = 1; s <= spf; s++) {

26. // пересчет сил идет отдельным массивом, т.к. далее будут добавляться силы взаимодействия между шарами

27. for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {

28. balls[i0].fx = - B * balls[i0].vx;

29. balls[i0].fy = - B * balls[i0].vy;

30. }

31. for (var i = 0; i < balls.length; i++) { // пеерсчет взаимодействия между шарами

1. // расчет взаимодействия производится со всеми следующими шарами в массиве,

2. // чтобы не считать каждое взаимодействие дважды

3. var b = balls[i];

4. for (var j = i + 1; j < balls.length; j++) {

5. var b2 = balls[j];

6. var rx = b.x - b2.x; var ry = b.y - b2.y; // вектор смотрит на первый шар (b)

7. var r2 = rx * rx + ry * ry; // квадрат расстояния между шарами

8. if (r2 > aCut2) continue; // проверка на радиус обрезания

9. var rLen = (Math.sqrt(r2));

10. // если расстояние между частицами мало, силы будут посчитаны для K * a

11. if (r2 < K2a2) {

12. if (rLen > 0.00001) { // проверка, чтобы избежать деления на 0

13. rx = rx / rLen * Ka;

14. ry = ry / rLen * Ka;

15. }

16. r2 = K2a2;

17. rLen = Ka; // корень K2a2

18. }

19. // сила взаимодействия

20. var s2 = a2 / r2; var s4 = s2 * s2; // ___в целях оптимизации___

21. var F = LJCoeff * s4 * s4 * (s4 * s2 - 1); // сила взаимодействия Леннарда-Джонса

22. var Fx = F * rx; var Fy = F * ry;

23. b.fx += Fx; b.fy += Fy;

24. b2.fx -= Fx; b2.fy -= Fy;

25. }

26. if (b.y + r > h) { b.fy += -Cwall * (b.y + r - h) - Bwall * b.vy; } // рассчет взаимодействия со стенками: когда координаты шара совпадают с координатами в условии цикла, шару придается скорость и направление

27. if (b.y - r < 0) { b.fy += -Cwall * (b.y - r) - Bwall * b.vy;}

28. if (b.x + r > w) { b.fx += -Cwall * (b.x + r - w) - Bwall * b.vx; }

29. if (b.x - r < 0) { b.fx += -Cwall * (b.x - r) - Bwall * b.vx; }

30. b.vx += b.fx / m * dt; b.vy += b.fy / m * dt;

31. b.x += b.vx * dt; b.y += b.vy * dt;

32. }

33. }

34. }

2) Задание пирамиды из шаров.

1. addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );

2. addNewBall(16*w/32, 8*h/32 );

3. addNewBall(16*w/32 - r, 8*h/32 - 1.7321*r);

4. addNewBall(16*w/32 + r, 8*h/32 - 1.7321*r );

5. addNewBall(16*w/32, 8*h/32 - 2*1.7321*r );

6. addNewBall(16*w/32 - 2*r, 8*h/32 - 2*1.7321*r );

7. addNewBall(16*w/32 + 2*r, 8*h/32 - 2*1.7321*r );

8. addNewBall(16*w/32 + r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );

9. addNewBall(16*w/32 - r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );

10. addNewBall(16*w/32 + 3*r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );

11. addNewBall(16*w/32 - 3*r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );

12. addNewBall(16*w/32, 8*h/32 - 4*1.7321*r );

13. addNewBall(16*w/32 - 2*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );

14. addNewBall(16*w/32 + 2*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );

15. addNewBall(16*w/32 - 4*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );

16. addNewBall(16*w/32 + 4*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );

17. addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );

3) Нажатие кнопок “PLAY” и “AGAIN”.

1. this.setSlider_01 = function(c) { q=-c ;}; // функция для слайдера угла

2. this.setSlider_02 = function(c) { v0=c ;}; // функция для слайдера угла

3. // настройка интерфейса

4. slider_01.min = 0; slider_01.max =360;

5. slider_01.step = 0.5;

6. slider_01.value = q; // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max

7. text_01.value = Math.abs(q);

8. slider_02.min = 0; slider_02.max = 10;

9. slider_02.step = 0.5;

10. slider_02.value = v0; // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max

11. text_02.value = v0;

12. this.setSlider_01(q);

13. this.setSlider_02(v0);

14. // кнопка “PLAY”

15. this.newSystem = function() {

16. balls[0].vx = v0* Math.cos(q*Pi/180);

17. balls[0].vy = v0* Math.sin(q*Pi/180);

18. }

19. // кнопка “AGAIN”

20. this.newSystem1 = function() {

21. for (var i = 20; i >= 0; i--)

22. {balls.splice(i, 1)};

23. addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );

24. addNewBall(16*w/32, 8*h/32 );

25. addNewBall(16*w/32 - r, 8*h/32 - 1.7321*r);

26. addNewBall(16*w/32 + r, 8*h/32 - 1.7321*r );

27. addNewBall(16*w/32, 8*h/32 - 2*1.7321*r );

28. addNewBall(16*w/32 - 2*r, 8*h/32 - 2*1.7321*r );

29. addNewBall(16*w/32 + 2*r, 8*h/32 - 2*1.7321*r );

30. addNewBall(16*w/32 + r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );

31. addNewBall(16*w/32 - r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );

32. addNewBall(16*w/32 + 3*r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );

33. addNewBall(16*w/32 - 3*r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );

34. addNewBall(16*w/32, 8*h/32 - 4*1.7321*r );

35. addNewBall(16*w/32 - 2*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );

36. addNewBall(16*w/32 + 2*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );

37. addNewBall(16*w/32 - 4*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );

38. addNewBall(16*w/32 + 4*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );

39. addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );

2.4 Итог работы

В ходе работы над проектом была написана программа, моделирующая процесс игры в бильярд. Данная программа показывает, что траектория разлета шаров после центрального удара не зависит от силы удара, но зависит от малейшего изменения угла, так как меняется распространение ударной волны в пирамиде. При силе, достаточной для визуально заметного разлета шаров, при изменении угла на 1 градус - полное отклонение от симметрии, при 0.1 - заметное отклонение от симметрии, при 0.01 - трудно различимое.

Профессор Джим Белк (Jim Belk) рассчитал направление и скорость движения каждого из 15 шаров пирамиды, а также битка, после соударения.Для сравнения, помните, что начальная скорость битка была 10 ед/сек.



Список литературы

1. Баррет Д. JavaScript. Web-профессионалам. - Киев: БХВ - Киев, 2001.

2. Вайк А. JavaScript в примерах. - Киев: ДиаСофт, 2000.

3. Математическая теория явлений бильярдной игры. Г. Кориолис.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Механика.

Размещено на Allbest.ru

...