Разностная схема
Решение уравнения теплопроводности однородного металлического стержня. Применение программы MatLab для реализации разностной схемы с учетом начальных и граничных условий. Анализ зависимости распределения температуры от количества шагов интегрирования.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.01.2020 |
| Размер файла | 779,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
СОДЕРЖАНИЕ
Постановка задачи
Выполнение расчетов в MATLAB
Результаты
Выводы
Постановка задачи
Дан однородный металлический стержень. Необходимо решить уравнение теплопроводности, используя разностную схему (рис.1).
Рис.1. Разностная схема.
Исходные данные:
= 1 м - длина стержня
= 1 м/c2 - коэффициент температуропроводности м/c2
Уравнение теплопроводности:
Начальные условия:
Граничные условия для данной задачи будут иметь вид:
Уравнение теплопроводности принимает вид:
+ (1)
- шаг интегрирования по расстоянию;
- шаг интегрирования по времени;
- температура в j-ой точке в момент времени i.
Выполнение расчетов в MATLAB
Выразим из уравнения теплопроводности (1):
=
А также из того же уравнения теплопроводности(1):
=
Используя пакет прикладных программ MatLab реализуем разностную схему:
function scheme();
format short ; format compact
n = 4; %ввод количества рассматриваемых точек(четное)
dt = 0.0001; %ввод шага интегрирования по времени
t = 0.01; %ввод количества шагов по времени
kappa = 1; %ввод постоянной
mid = round(n/2);
dx = 1/(n-1);
T=zeros(n,round(t/dt));
T0 = 1;
T1 = 0;
for j=1:mid
T(j,1)=T0;
end;
for j=(mid+1):n
T(j,1) = T1;
end;
for i=2:(t/dt)
T(1,i) = T0;
T(n,i) = T1;
for j=1:+2:n-3
T(j+2,i)=2*T(j+1,i-1)-T(j,i-1)+(dx)*(dx)*(1/kappa)*(1/dt)*(T(j,i)-T(j,i-1));
end;
for j=n-2:-2:1
T(j,i)=(1/dx)*(1/dx)*(kappa)*(dt)*(T(j+2,i)-2*T(j+1,i-1)+T(j,i-1))+T(j,i-1);
end;
end;
T(:,round(t/dt)
На выходе из данной программы получаем распределение температуры между ее граничными значениями.
Результаты
В случае, когда схема расходится.
Произведем расчет разностной схемы, с сеткой, состоящей из 4 точек, шагом интегрирования по времени 0.01( и количеством шагов по времени равным 400(10 секунд) (Рис. 2)
Рис. 2 Результат расчёта задачи с использованием разностной схемы.
В итоге мы получили равномерное распределение температуры от 1 до 0.
Исследуем, как быстро при использовании данной схемы, можно прийти к равномерному распределению температуры в описанных выше условиях.
Таблица 1. Зависимость распределения температуры от количества шагов интегрирования.
|
№ шага интегрирования |
1-ая точка сетки (0 м) |
2-ая точка сетки (0.33 м) |
3-ья точка сетки (0.66 м.) |
4-ая точка сетки (1 м.) |
|
|
5 |
1 |
0.9817 |
0.9815 |
0 |
|
|
20 |
1 |
0.8723 |
0.7564 |
0 |
|
|
50 |
1 |
0.7543 |
0.5136 |
0 |
|
|
100 |
1 |
0.6884 |
0.3768 |
0 |
|
|
400 |
1 |
0.6666 |
0.3333 |
0 |
Рис. 3. График зависимости распределения температуры на разных шагах интегрирования.
Выводы
теплопроводность металлический стержень интегрирование
Заданная разностная схема с учетом начальных и граничных условий была успешно реализована на языке программирования MATLAB. В процессе работы над этой задачей, мы пришли к выводу, что схема расходится в случае и сходится в случае .
Для второго случая получили график зависимости распределения температуры на разных шагах интегрирования. (Рис.3). Здесь мы можем увидеть, что распространение тепла по стержню происходит в холодную область, а затем охлаждение теплой области вплоть до установления линейной зависимости температуры от координаты.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Разностная схема решения уравнения теплопроводности. Численное решение уравнения теплопроводности в табличном процессоре Microsoft Ехсеl и в пакете математических расчётов MathCAD. Расчёт методом прогонки. Изменение пространственной координаты.
дипломная работа [248,4 K], добавлен 15.03.2014Составление программы и численное решение краевой задачи нестационарной теплопроводности методом конечных разностей. Определение начальных и граничных условий, физические условия однозначности. Реализация программы на языке программирования Pascal.
контрольная работа [1,3 M], добавлен 08.07.2013Математическое описание алгоритмов схемы и операций для уравнения Лапласа. Изучение разностной схемы "крест" для нахождения численного решения эллиптического уравнения, задача Дирихле. Использование указателей в среде Matlab для решений методом Гаусса.
дипломная работа [859,3 K], добавлен 23.10.2014Понятие разностных схем, сеточная функция, пространство и нормы. Аппроксимация дифференциальных операторов. Корректность разностной схемы и сходимость. Одномерное уравнение переноса с переменными и постоянными коэффициентами. Схема бегущего счета.
дипломная работа [388,3 K], добавлен 11.11.2009Решение дифференциального уравнения N-го порядка методом интегрирования при помощи характеристического уравнения, методом интегрирования и операторным методом для значений аргументов при заданных начальных условиях и нулевых уравнения 4–го порядка.
практическая работа [806,9 K], добавлен 05.12.2009Решение конечно-разностной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области. Погрешность замены дифференциального уравнения разностным. Использование схемы узлов при получении сеточных уравнений. Сущность метода Зайделя. Листинг программы.
курсовая работа [348,5 K], добавлен 26.04.2011Функциональная схема, принцип действия и характеристики автоматической системы регулирования температуры. Статические характеристики нелинейной системы. Анализ устойчивости, моделирование и оптимизация линеаризованной системы с помощью программы Matlab.
курсовая работа [3,1 M], добавлен 14.03.2011Методы левых и правых прямоугольников численного интегрирования для вычисления интегралов. Геометрический смысл определённого интеграла. Программная реализация, блок-схемы алгоритмов. Результат работы тестовой программы. Решение задачи с помощью ЭВМ.
курсовая работа [180,4 K], добавлен 15.06.2013Математическое моделирование. Изучение приёмов численного и символьного интегрирования на базе математического пакета прикладных программ, а также реализация математической модели, основанной на методе интегрирования. Интегрирование функций MATLAB.
курсовая работа [889,3 K], добавлен 27.09.2008Создание параллельной программы на языке программирования высокого уровня С с расширением MPI и аналогичной программы на OpenMP для решения двумерного уравнения Пуассона итерационным методом Зейделя. Блок-схема алгоритма, анализ работы программы.
контрольная работа [62,9 K], добавлен 06.01.2013Численный метод для решения однородного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутта. Решение краевой задачи. Уравнения параболического типа, а также Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [163,5 K], добавлен 27.05.2013Решение уравнения методом половинного деления. Программа в Matlab для уравнения (x-2)cos(x)=1. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона. Интерполяция заданной функции. Решение системы линейных алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 15.08.2012Метод численного интегрирования. Использование метода половинного деления для решения нелинейного уравнения. Определение отрезка неопределенности для метода половинного деления. Получение формулы Симпсона. Уменьшение шага интегрирования и погрешности.
курсовая работа [3,0 M], добавлен 21.05.2013Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений в программе Matlab. Применение метода Рунге–Кутты. Априорный выбор шага интегрирования. Построение трехмерного графика движения точки в декартовой системе координат и создание видеофайла формата AVI.
контрольная работа [602,8 K], добавлен 04.05.2015Теоретический расчет распределений температур внутри тела и их изменений во времени на основании уравнения теплопроводности, сведенного в дальнейшем в бесконечный ряд Фурье в среде языка программирования Turbo Pascal 7.0, анализ его результатов.
курсовая работа [174,2 K], добавлен 20.03.2012Модифицированный метод Ньютона при заданных начальных условиях, где задаётся погрешность вычисления. Вычисления корня уравнения при помощи программы. Построения графика зависимости приближений двух координат, при котором задаются промежутки и константы.
реферат [14,1 K], добавлен 29.01.2009Математическое описание задачи решения обыкновенного дифференциального уравнения численным явным методом Рунге-Кутта, разработка схемы алгоритма и написание программы в среде программирования Microsoft Visual Studio 2010. Тестирование работы программы.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 22.01.2014Основные леммы и теоремы для решения линейных интегральных уравнений методом итераций. Применение информационных технологий для вычисления функции, построение алгоритма для определения уравнения по ядру и отрезку интегрирования и правой части уравнения.
курсовая работа [213,7 K], добавлен 27.11.2010Определение зависимости горизонтальной длины полета тела и максимальной высоты траектории от одного из коэффициентов сопротивления среды, фиксировав все остальные параметры. Представление этой зависимости графически и подбор подходящей формулы.
контрольная работа [119,1 K], добавлен 31.05.2010Проектирование схемы решения дифференциального уравнения, обеспечивающей управление процессом решения и задания начальных условий с помощью ЦВМ. Этапы программирования задач на аналоговых вычислительных машинах. Проверка результатов моделирования.
курсовая работа [71,6 K], добавлен 24.09.2010
