Использование системы наглядной компьютерной алгебры для анализа свойств математических объектов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Использование системы наглядной компьютерной алгебры для анализа свойств математических объектов

А.С. Храмцев

Аннотация

Статья посвящена использованию решетчатых моделей систем для анализа свойств математических объектов. Разработан программный комплекс, позволяющий проводить анализ свойств математических объектов: разбиений натуральных чисел, упорядоченных алфавитов и последовательностей Фибоначчи. На практике предложенный программный комплекс может использоваться для анализа информационных и управляющих систем различного назначения.

Ключевые слова: математический объект, алгебраическая модель, система, решетка разбиений, разбиения целого числа, упорядоченные алфавиты, целочисленные последовательности, обобщенная последовательность Фибоначчи.

Введение

В настоящее время актуальными становятся методы системного анализа, основанные на использовании моделей, отражающих свойства структуры системы и протекающих в ней процессов. Исследования, проведенные в работах [1-3], показали, что для описания свойств систем эффективным является использование алгебраических моделей, опирающихся на математические объекты: различного вида решетки, алгебры, отношения частичного и полного порядка, ряды специальных чисел. В работах [4-6] исследование свойств систем предлагается проводить на основе математических расчетов и наглядного анализа алгебраических моделей, построенных с использованием аксиоматических методов наглядности. Для решения задач анализа и синтеза структур информационных систем эффективными являются методы наглядного комбинаторного анализа [2].

Данная статья посвящена использованию решетчатых моделей для анализа свойств математических объектов. Разработанный программный комплекс "Система наглядной компьютерной алгебры" реализует построение решетчатых моделей применительно к разбиениям натуральных чисел, упорядоченным алфавитам и последовательностям Фибоначчи. Программный комплекс позволяет по полученным решетчатым моделям выявить и исследовать такие свойства математических объектов, как иерархичность, соотношение части и целого, множественная симметричность, структурированность, целостность, отношения с объектами одного уровня, с объектами верхних и нижних уровней, которые необходимы для последующего анализа. Использование решетчатых моделей математических объектов позволяет ответить на вопросы: как будет развиваться система и какие шаги необходимо предпринять для ее управления в каждый определенный момент времени.

Система наглядной компьютерной алгебры

Программный комплекс включает в себя следующие разделы: "Разбиения с повторением", "Упорядоченные алфавиты", "Графы алгебраических уравнений".

Раздел "Разбиения с повторением" позволяет проводить построение решетки разбиений, числового образа решетки разбиений, а также следующих графиков:

- график распределения количества вершин для соответствующих уровней решетки разбиений;

- график распределения количества вершин для соответствующих уровней семейства N решеток разбиений (N - количество решеток разбиений);

- график функции плотности вероятности логнормального распределения;

- графики абсолютных и относительных разностей для функции плотности вероятности логнормального распределения и распределения семейства N решеток разбиений.

В данном разделе экспериментально подтверждается гипотеза: распределение уровневых чисел решетки разбиений аппроксимируется логнормальным распределением.

Решетка разбиений строится с использованием следующих правил:

каждой вершине графа соответствует одно разбиение натурального числа n, где i - номер вершины графа [7];

две вершины и графа находятся на одном уровне , если причем ;

наклон осей, по которым строится разбиение, выбирается таким образом, чтобы при каждом построении очередной оси вершины графа сохраняли планарность размещения на плоскости [8].

Решетка разбиений с повторением для натурального числа представлена на рис. 1, где k - уровень вершины, l - расстояние между вершинами. математический последовательность программный

Значения в ячейках таблицы ширины подмножеств (табл. 1) представляют собой суммы значений максимальной ширины какого-либо (затененного) подмножества и минимального расстояния между подмножествами на соответствующем уровне k решетки разбиений (рис. 1).

Р и с. 1. Решетка разбиений с повторением для натурального числа n=12

Значения в ячейках таблицы количества вершин подмножеств (табл. 2) представляют собой количество разбиений, находящихся на соответствующем уровне k какого-либо (затененного) подмножества решетки разбиений (рис. 1). В результате анализа значений таблицы количества вершин подмножеств была получена рекурсивная формула [2]:

где - значение произвольного элемента числового образа решетки.

Индекс i увеличивается снизу вверх, а j - слева направо. Элемент соответствует левой нижней единице таблицы. Число разбиений определяется как элемент числового образа решетки разбиений:

Формула (1) дает точное вычисление функции .

Покажем, что распределение уровневых чисел решетки разбиений аппроксимируется логнормальным распределением. Пусть случайная величина означает количество k частей, на которые разбивается натуральное число n. Используя формулу (1), определим:

где .

Вероятность появления равна .

Исходя из формулы (3), построим с использованием программного комплекса графики для , , (рис. 2). Анализируя форму и поведение кривой для различных значений натурального числа n, выдвигаем гипотезу: график внешне соответствует функции плотности вероятности для логнормального распределения.

Семейство N решеток разбиений представлено на рис. 3. Числовые плоскости семейства N решеток разбиений приведены в табл. 3. В табл. 4 представлены соответствующие суммы элементов каждой строки таблицы числовых плоскостей семейства N решеток разбиений.

В результате анализа каждого элемента таблицы числовых плоскостей семейства N решеток разбиений была получена рекурсивная формула [2]:

Здесь i - номер столбца; j - номер строки;

a(i, j) - значение числового образа для соответствующих i, j.

Покажем, что распределение уровневых чисел семейства N решеток разбиений аппроксимируется логнормальным распределением . Для этого вычислим абсолютную и относительную разности функции плотности вероятности распределения и функции плотности вероятности логнормального распределения по формулам:

На рис. 4, а, 4, б представлены соответственно графики абсолютных и относительных разностей функции плотности вероятности распределения для семейства решеток разбиений и функции плотности вероятности логнормального распределения .

Р и с. 4. Графики абсолютных и относительных разностей функции плотности вероятности распределения Q(N) для семейства N=100 решеток разбиений и функции плотности вероятности логнормального распределения X(N)

Анализируя форму и поведение кривых, представленных на рис. 4, а, 4, б, выдвигаем гипотезу: при значительном увеличении N график функции плотности вероятности распределения сопоставим с графиком функции плотности вероятности логнормального распределения .

В разделе "Упорядоченные алфавиты" рассматриваются структуры систем, которые можно представить в виде частично упорядоченных множеств (алфавитов) с заданными отношениями упорядочения. В данном случае множество элементов решетки структур задается в виде некоторого формального языка , определенного грамматикой , где N - множество нетерминальных символов, - множество терминальных символов, P - множество правил или продукций, g - начальный символ. Произвольная цепочка терминальных символов (слов) является обозначением (моделью) структуры сложной системы [9], в которой каждое последующее подмножество включает в себя предыдущее. На решетке структур (рис. 5) представлены все варианты упорядоченных комбинаций для 4-буквенного алфавита и максимальной длины слова, равной четырем. Анализируя решетку упорядоченных цепочек, можно предвидеть развитие системы и все возможные пути ее развития (переходы от одной вершины к другой). Затененные области на рис. 5 представляют собой непересекающиеся подмножества упорядоченных комбинаций 4-буквенного алфавита с длиной слова, равной соответственно 1, 2, 3, 4.

Р и с. 5. Решетка структуры системы для 4-буквенного алфавита и максимальной длины слова, равной четырем

Раздел "Графы алгебраических уравнений" программного комплекса позволяет проводить построение графов алгебраических уравнений целочисленных последовательностей (обобщенная или р-последовательность Фибоначчи) с характеристическим полиномом , где [2]. На рис. 6 представлен граф алгебраических уравнений для характеристического полинома с количеством уровневых линий .

Р и с. 6. Граф алгебраических уравнений для характеристического полинома x2(x-1)-1=0 с количеством уровневых линий k=10

Заключение

Таким образом, разработанный программный комплекс "Система наглядной компьютерной алгебры" реализует построение решетчатых моделей применительно к разбиениям натуральных чисел, упорядоченным алфавитам и последовательностям Фибоначчи. Программный комплекс позволяет по полученным решетчатым моделям выявить и исследовать такие свойства математических объектов, как иерархичность, соотношение части и целого, множественная симметричность, структурированность, целостность, отношения с объектами одного уровня, с объектами верхних и нижних уровней, которые необходимы для последующего анализа, а именно:

1. Раздел "Разбиения с повторением" позволяет проводить построение решетки разбиений, числового образа решетки разбиений, графиков распределения количества вершин для соответствующих уровней решетки разбиений и их сопоставление с графиками логнормального распределения.

2. Раздел "Упорядоченные алфавиты" программного комплекса позволяет проводить построение структур сложных иерархических систем, упорядоченных, с разным количеством элементов, в которых каждое последующее подмножество включает в себя предыдущее.

3. Раздел "Графы алгебраических уравнений" позволяет проводить построение графов алгебраических уравнений целочисленных последовательностей чисел Фибоначчи.

Проведенный анализ решетчатых моделей позволил сформулировать и экспериментально подтвердить две гипотезы:

- распределение уровневых чисел решетки разбиений аппроксимируется логнормальным распределением;

- график внешне соответствует функции плотности вероятности для логнормального распределения;

- график функции плотности вероятности распределения при значительном увеличении N сопоставим с графиком функции плотности вероятности логнормального распределения .

Разработанный программный комплекс может быть использован в учебном процессе для анализа свойств таких математических объектов, как разбиения натуральных чисел, упорядоченные алфавиты и последовательности Фибоначчи.

Библиографический список

1. Новосельцев В.И. Теоретические основы системного анализа. - М.: Майор, 2006. - 592 с.

2. Кистанов А.М., Орлов С.П. Наглядный комбинаторный анализ информационных транзакционных систем. - Самара, СНЦ РАН, 2008. - 206 с.

3. Кистанов А.М. Отношения наглядности в математической структуре системы. Компьютерные технологии в науке, практике и образовании // Труды Всероссийской межвузовской научно-практической конференции. - Самара, 16 ноября 2005 г. - С. 25-27.

4. Арнольд В.И. Экспериментальное наблюдение математических фактов. - М.: МЦНМО, 2006. - 120 с.

5. Арнольд В.И. Экспериментальная математика. - М.: Фасиз, 2005. - 63 с.

6. Прангишвили И.В. Системный подход и общесистемные закономерности. Сер. Системы и проблемы управления. - М.: СИНТЕГ, 2000. - 528 с.

7. Эндрюс Дж. Теория разбиений. - М.: Наука, 1982. - 255 с.

8. Кистанов А.М., Храмцев А.С. Система компьютерной алгебры для функции разбиения натурального числа // Труды V Всероссийской межвузовской научно-практической конференции. - Самара, 16 ноября 2006 г. - С. 19-22.

9. Мартыненко Б.К. Языки и трансляции: Учеб. пособие. - СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 2002. - 229 с.

Размещено на Allbest.ru