Главная Коллекция "Revolution" Программирование, компьютеры и кибернетика Непрерывное оптимальное управление в динамических системах

Непрерывное оптимальное управление в динамических системах

Математическое конструирование непрерывных динамических систем управления. Решение задачи минимизирования критерия качества с помощью метода прогонки. Интерпретация с точки зрения динамического программирования. Принцип максимума оптимального управления.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид задача
Язык русский
Дата добавления 26.03.2020
Размер файла 49,7 K
рефераты на заказ со скидкой

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Непрерывное оптимальное управление в динамических системах

Д.К. Ефимов

Россия, Санкт-Петербург

Решение с помощью метода прогонки

Требуется минимизировать критерий качества

(1)

при ограничениях

Здесь и заданные диагональные матрицы порядка , заданная диагональная матрица порядка , а и - заданные матрицы размерности и соответственно.

Будем предполагать, что и могут принимать любые, но ограниченные значения в . Функция Гамильтона для системы уравнений (1) имеет вид

(2)

Согласно принципу максимума из функции Гамильтона (2) для оптимального управления необходимо

(3)

(4)

(5)

С решением (6)

Следовательно, из уравнения (3) оптимальным управлением является линейная функция сопряженных переменных

, (7)

из которой выясним, можно ли осуществить управление по замкнутому контуру, предполагая, что решение для сопряженного случая аналогично формуле (6)

(8)

Подставляя (8) в (7), а (7) в (5), получим

(9)

Кроме того, из (4) и(8) следует

(10)

Объединяя (9) и (10), получим

(11)

Поскольку это равенство должно выполняться для ненулевых множитель, стоящий перед должен быть равен нулю. Таким образом, матрица размерности , которая является диагональной, должна удовлетворять матричному дифференциальному уравнению типа Риккати:

(12)

с граничными условиями

(13)

Таким образом, оптимальным управлением по замкнутому контуру является

(14)

Можно отметить, что все составляющие вектора состояния должны быть достижимыми.

Все составляющие вектора состояния и все оптимальные управления не должны выходить за пределы области допустимых решений

,

которая включает в себя допустимые начальные, внутренние и конечные их значения.

Интерпретация с точки зрения динамического программирования

математический оптимальный система управление

Изучаемая задача может быть рассмотрена и с точки зрения динамического программирования.

Применительно к задаче, описываемой формулами (1), (2), уравнение Беллмана можно записать так

(15)

с терминальными граничными условиями

(16)

Максимизация правой части уравнения (15) по вектору u совпадает с максимизацией Гамильтониана в (2) и ведет к уравнению (3) с заменой вектора на вектор в соответствии с тождеством , которое справедливо на оптимальной траектории. Подставляя в уравнение (15) вместо u значение и его выражение через , т.е. получаем

(17)

Итак, получено нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно неизвестной функции J(x).

Оно имеет решение вида

(18)

из которого найдем

(19)

(20)

Подставим (19) и (20) в (17), получим соотношение

(21)

которое должно быть справедливым при всех значениях . Отсюда получаем уравнение, аналогичное (12)

(22)

а из (16) легко находим граничные условия

Все векторы и матрицы в значениях (1-22) включают элементы, зависящие от времени, и обладают вполне определёнными внутренними качествами:

-фазовый вектор состояния;

-вектор функций, указывающий скорость изменения фазовых координат;

- матрица, представляющая линейный оператор преобразования вектора состояния фазовых координат в вектор функций, указывающий скорость их изменения;

- матрица стабилизационного преобразования параметров вектора управления в дополнительный вектор функций скорости изменения фазовых координат;

u - вектор управления;

J - функция целевого функционала, которая представляет собой сумму квадратичной формы от вектора конечного состояния и интеграла от суммы квадратичных форм вектора состояния и вектора управления;

Sf - матрица формирования целевого терминального граничного условия;

- матрица формирования допустимых максимальных значений параметров фазового пространства на интервале интегрирования;

- матрица ограничений на параметры управления;

- начальный момент процесса управления;

- конечный момент процесса управления;

- функция Гамильтона, которая определяется как сумма подынтегральной функции целевого функционала и скалярного произведения вектора сопряжённых переменных и вектора функций, указывающих скорость изменения фазовых координат;

- вектор сопряжённых переменных;

- индекс, указывающий транспонирование матрицы или вектора;

- текущее реальное время процесса управления;

- матрица формирования допустимых оптимальных значений параметров фазового пространства процесса управления на всём интервале интегрирования;

- переменная величина, имеющая смысл в динамическом программировании обратного времени;

- область допустимых решений;

- .

Библиографический список

1. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. -М.: Машиностроение, 1968. - 764с.

2. Байсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. - М.: Мир, 1972. -544с.

Bucy R. S. Two -point boundary value problems of linear Hamiltonian Systems, - J, SIAM. Appl. Math. Vol 15, №6 November, 1967, Printed in USA p.p. 1385 -1389.

Ефимов Д.К. Внутренние качества принципа максимума в задачах управления воздушным движением по минимуму энергии. // Проблемы рациональной организации воздушного движения: Межвузовский тематический сборник научных трудов / ОЛАГА, Л, 1991. С.38-45.

Kalman R.E. Contributions to the theory of Optimal Control Bol. Soc. Mat. Mex. Vol. 5, 1960, p.p. 102 - 119.

Портер У. Современные основания общей теории систем. - М.: Наука, 1971.- 556 с.

Полак Э. Численные методы оптимизации. - М.: Мир, 1974. - 376 с.

Сейдж Э.П., Уайт Ч.С., III. Оптимальное управление системами. - М.: Радио и связь, 1982. - 392 с.

Размещено на allbest.Ru

...

Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены