Метод вероятностной оценки эффективности многоадресной рассылки в компьютерных сетях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод вероятностной оценки эффективности многоадресной рассылки в компьютерных сетях

Гладких А.П.

Известно, что многоадресная рассылка позволяет группе получателей принимать сообщения от одного источника. При этом предполагается отправка сообщений на адреса группы многоадресной рассылки или адреса групповой рассылки.

Пользователь или получатель подписывается на определенную группу многоадресной рассылки и становится участником этой группы. После этого многоадресные пакеты IP, содержащие данный групповой адрес в поле назначения в заголовке пакета, поступают на узел-получатель и обрабатываются им.

Механизм многоадресной передачи заключается в использовании специального класса адресов, описанного в [1]. При многоадресной рассылке физический адрес или МАС-адрес устройства генерируется на основе IP-адреса групповой рассылки. Далее мы перейдем к рассмотрению непосредственно данного механизма получения MAC- адреса.

MAC- адрес представляет собой в данном случае 48-разрядный адрес (6 байт), однако кадр МАС многоадресной рассылки имеет стандартный префикс из 24 разрядов. Этот префикс используется для всех адресов многоадресной рассылки. При этом остаются еще 24 бита для создания МАС-адреса для многоадресной рассылки. При генерации МАС-адреса 25-й (или старший ) бит приравнивается к 0. В итоге остается 23 бита свободных для генерации МАС-адреса. А значит при отображении 28 разрядов IP адреса групповой рассылки в 23 свободных разряда МАС-уровня 5 битов не будут участвовать в отображении. Получается совпадение , или 32 IP адреса для каждого 1-го адреса уровня 2. Подобное совпадение может привести к нежелательным последствиям. Например, компьютер, подписанный на одну группу многоадресной рассылки, может получать данные другой группы вследствие совпадения адреса групповой рассылки на уровне 2. Это может быть небезопасно, а также приводит к появлению дополнительных издержек и прерываниям процессора на узловом компьютере.

Далее предлагается вероятностный метод анализа возможной двойственности адресов. Пусть - конечное множество адресов многоадресной рассылки уровня 3 , - конечное множество адресов многоадресной рассылки уровня 2 . Требуется определить возможную вероятность совпадения адресов на уровне МАС при возможных назначениях IP адресов групповой рассылки.

Так как каждому МАС-адресу соответствует 32 IP адреса, то будем считать, что - множество IP адресов при разрешении совпадающих с - ым МАС адресом .

Вероятность появления IP - адреса из подмножества есть

где и - мощность соответственно множеств и .

Пусть - вероятность того, что в случаях IP из назначался , IP из назначался , и т.д., из - раз. Тогда может быть найдена как:

где ,…, - представляют вероятности назначения IP-адреса из, соответственно, подмножеств … и могут быть найдены по формуле (1), - целые неотрицательные числа. Таким образом, мы можем определить вероятность появления некоторого расклада IP-адресов при назначениях -адреса из множества адресов многоадресной рассылки . Если какое-либо из больше 1, то, следовательно из множества было назначено более чем 1, а именно, IP-адресов, и при разрешении в МАС-адрес все эти адреса будут представлять один и тот же МАС-адрес . В результате, к примеру, узел с МАС-адресом будет обрабатывать данные сразу групп многоадресной рассылки вследствие совпадения адресов групп на уровне МАС.

Распределение представляет собой совместное распределение случайных величин из, соответственно, подмножеств … , что может быть представлено как (см., например, [2,3]). Распределения каждой из случайных величин в отдельности или маргинальные распределения могут быть найдены по совместному распределению с помощью формул:

Предложение 1. Распределение может быть также представлено через функцию распределения случайных величин так:

в соответствии со свойствами функции распределения [2].

Доказательство. Рассмотрим доказательство данного предложения при , так как при другом доказательство аналогично. Тогда потребуется показать следующее равенство:

Согласно определению функции распределения, равенство, представленное выше, может быть записано в следующем виде:

И далее, записывая через дискретное распределение:

Таким образом, используя (2) получаем:

События вложены: для любого . При пересечение событий . Аналогично рассуждая для события получим, что:

что и требовалось доказать.

Рассмотрим далее вариант, предполагающий нормальное функционирование адресной сети при групповой рассылке. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы каждому назначаемому адресу уровня 3 соответствовал бы при разрешении такой МАС-адрес, который не участвует до сих пор ни в одном другом соответствии IP-MAC назначенных IP-адресов многоадресной рассылки.

Для реализации озвученного выше, необходимо, чтобы и . Кроме того, т.к. число может быть различным, рассмотрим вариант, когда оно принимает максимальное или близкое к максимальному значения. В этом предположении допустим, что . Тогда, рассматривая полученное нами в формуле (2) выражение при сделанных допущениях:

,

где обозначение, например, следует понимать как «значение стремится к значению ».

Таким образом, при нормальном функционировании адресной сети .

Возвращаясь назад к распределению в общем случае резонно предположить, что при назначении IP-адреса из некоторого подмножества вероятность появления следующего IP-адреса из этого же подмножества меняется. Она может быть найдена с помощью формулы условной вероятности:

,

где - число назначений, в которых IP-адрес брался из подмножества , - общее число назначений IP-адресов.

Далее напомним известную в теории вероятности теорему ( см., например, [2]). многоадресный вероятностный групповой рассылка

Для любых событий верно равенство:

,

если все участвующие в нем условные вероятности определены.

В силу данной теоремы, формула (2) может быть представлена в следующем виде:

Откуда, с использованием соотношений (4) и (5), получаем:

И после дальнейших преобразований:

Предыдущее выражение, наконец, может быть представлено в более сжатом виде:

В формуле (6) множитель , как и ранее, представляет число исходов, благоприятных искомому (задаваемому) назначению и отличающихся лишь появлением IP из при назначениях. В окончательном виде, принимая как при , результат формулы (6) может быть представлен так:

.

Таким образом, в данной статье были рассмотрены вопросы, связанные с темой многоадресной передачи в IP сетях. Процесс генерации МАС-адреса на основе IP-адреса был рассмотрен с позиций вероятностного подхода. В результате были получены формулы, описывающие многомерное совместное распределение случайных величин, представляющих назначения IP-адресов, рассмотрено исследование с применением с позиций функции распределения случайных величин, а также предложены и проанализированы подходы получения маргинальных распределений данных случайных величин.

Литература

1. Шварц, Дж. CCIE Cisco Certified Internetwork Expert [Текст]: учебное руководство / Дж. Шварц, Т. Леммл. - «ЛОРИ», 2002. - 758 с.

2. Чернова, Н.И. Теория вероятностей [Текст] / Н.И. Чернова. - 2005. - 140 с.

3. Колчин, В.Ф. Случайные графы. [Текст] / В.Ф. Колчин - 2 изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 256 стр.

Размещено на Allbest.ru