Интервальные средние в исследовании характеристик систем управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Интервальные средние в исследовании характеристик систем управления

Халимон В.И., Рогов А.Ю., Проститенко О.В.

Разработка методов исследования систем управления (СУ) технологическими объектами предусматривает выполнение требования эффективного функционирования таких систем в широком диапазоне варьирования их параметров и характеристик. Выполнение этих требований вызывает определенные трудности как в теоретическом, так и в практическом плане.

Это связано с тем, что информация о функционировании ее элементов имеет различные источники. Часть информации приобретается в результате оценок экспертов и в большинстве случаев имеет интервальный характер. Другая часть приобретается в результате статистических испытаний и носит вероятностный характер. Информация может быть получена и в результате небольшого числа наблюдений, по которым невозможно построить точные вероятностные оценки. Анализ СУ в этом случае предполагает использование методов, соответствующих тому или иному описанию системы.

Существует несколько типов такого описания: стохастическое, статистические, нечеткое, интервальное или комбинация тех или иных форм описания. Первые три типа описаний СУ хорошо исследованы и отражены в литературе. Наибольший же интерес представляет интервальная форма описания систем, а именно та форма, которая включает в себя интервальные средние. В этом случае модель описывается интервалами средних значений характеристик системы. Такое описание основано на теории интервальных средних. Математический аппарат, используемый в данной теории, позволяет рассматривать произвольные типы неопределенностей, имеющие самые различные источники. С этой точки зрения теория интервальных средних является наиболее универсальным и перспективным средством для анализа систем, в описании которых присутствуют обычно все типы неопределенностей.

Анализ систем при описании ее характеристик интервальными средними применительно к теории автоматического управления (ТАУ), исследование таких систем на устойчивость и построение переходных характеристик в настоящее время практически не нашли отражения в литературе. Это связано с тем, что сам математический аппарат теории интервальных средних является достаточно новым.

Разработка методов анализа СУ в таких условиях позволит учесть разнородность типов исходной информации о системе, исключить субъективные оценки и сократить объем данных для получения результата. Для описания факторов неопределенности могут быть использованы различные модели (рис. 1) [1].

Рисунок 1 - Формы описания неопределенности

Рассмотрим более подробно интервально-вероятностное описание. Универсальность таких моделей обеспечивается возможностью использовать любые по объему и форме знания о системе или об элементах. Такую форму описания можно разделить на интервальные вероятности и интервальные средние. В первом случае модель описывается интервалами вероятностей каких-то событий. Такая форма нашла достаточно большое отражение в литературе. Во втором случае модель описывается интервалами средних значений характеристик системы. Такое описание основано на теории интервальных средних [2].

Общий аппарат теории интервальных средних [2] основан на обобщенных понятиях средних и признаках.

Произвольная числовая функция f(x) называется признаком случайного явления, если xX, где X - пространство элементарных исходов [2].

Интервальным средним признака называется отрезок . Если мы не знаем точно функцию распределения F(x), а можем лишь говорить о ее границах для всех значений xX, то точное среднее признака находится в пределах , где - соответственно нижнее и верхнее средние признака f.

Теперь перейдем к постановке задачи нахождения характеристик СУ при наличии интервальных средних параметров ОУ.

Пусть ОУ описывается передаточной функцией вида:

.

В общем случае точные значения коэффициентов {am,…,a0, bn,…,b0} могут быть неизвестны. Но при этом имеются только неполные и ограниченные сведения о них. В данной работе в качестве априорной информации о параметрах ОУ используются интервальные средние значения коэффициентов передаточной функции объекта. Если входная величина представляет собой интервальное среднее значение, то и выходная, соответственно, тоже. Поэтому задача заключается в том, чтобы на основании исходных данных об ОУ получить сведения о характеристиках переходного процесса (перерегулирование, время регулирования и др.) в виде интервальных средних оценок этих характеристик.

Таким образом, рассмотрим задачу определения характеристик системы при наличии интервальных средних параметров ОУ. Пусть функция, описывающая поведение системы, определяется n случайными переменными xi, i=1,..,n. Обозначим:

,

где [Aj,Bj] - множество интервалов изменения случайных переменных xi, X - вектор случайных переменных, описывающих поведение системы.

Пусть ij(xi) - функция случайной переменной xi, а функционирование системы определяется случайной переменной g, являющейся функцией вектора X, т.е. g=Ф(X). Предположим, что информация о параметрах системы представляется как множество нижних и верхних средних: и , i=1,…,n, j=1,…,mi. Здесь mi - число сведений о характеристиках i-ой случайной переменной. Тогда задача вычисления нижнего и верхнего средних некоторого нового признака Ф(X) определяется как [3]:

;

при ограничениях: , (условие нормировки)

,

где (X) - плотность распределения вероятности (далее плотность) вектора случайных переменных X, характеризующая неточность переменных xi. неопределенность интервальный плотность вектор

Здесь максимум и минимум определяются на множестве всех возможных плотностей, удовлетворяющих ограничениям (5). Если элементы xi независимы, то 1(X) = (x1)*…* n(xn).

Для наглядности решения задачи (3-5) рассмотрим случай, когда n=2, т.е. мы имеем интервальные средние значения двух параметров системы, хотя предложенный метод может быть обобщен и на большее число параметров. Необходимо найти верхние и нижние интервальные средние некоторого нового признака системы. Таким признаком будем считать характеристику переходного процесса в системе. Введем обозначения:

- средние значения коэффициентов передаточной функции, i = 1, 2;

- верхняя граница интервала средних значений i-го коэффициента передаточной функции объекта;

- нижняя граница интервала средних значений i-го коэффициента передаточной функции объекта;

- верхняя граница интервала средних значений характеристики переходного процесса;

- нижняя граница интервала средних значений характеристики переходного процесса;

Ф(a1,a2) - функция, зависящая от коэффициентов общей передаточной функции системы и характеризующая значения характеристики в зависимости от значений этих коэффициентов;

- плотность, характеризующая неточность коэффициентов ai.

Используя обозначения (2) запишем: X= (a1,a2)D=[A1,B1][A2,B2].

В качестве случайной переменной ij(xi) будут выступать средние значения коэффициентов передаточной функции ai, i = 1, 2, т.е. ij(xi) = ai. Число сведений о параметрах ai равно 1, т.к. информация о них представляется в виде интервала средних значений, всякая другая информация отсутствует, т.е. j = 1. Тогда задачу (3-5) можно записать в виде:

при ограничениях:

(8)

.

Здесь максимум и минимум определяются на множестве всех возможных плотностей, удовлетворяющих ограничениям (8). Несмотря на сложность задачи (6-8), для многих функций Ф(a1,a2) решение может быть найдено в аналитическом виде или с использованием численных методов. Однако, в ряде случаев функция Ф(a1,a2) вообще не может быть представлена аналитически. Например, если Ф(a1,a2) представляет собой характеристики системы управления во временной области, а a1, a2 - случайные параметры передаточной функции системы, то функция Ф(a1,a2) определяется решением системы дифференциальных уравнений, свойства которого в общем случае заранее неизвестны. В таких случаях применение аналитических методов решения оптимизационных задач невозможно. Одним из способов численного решения является дискретизация переменных и перебор всех возможных вариантов. Однако, этот способ для реальных систем реализовать практически невозможно, т.к. количество вариантов перебора слишком велико, особенно, если значение n достаточно большое. Единственный способ сократить перебор - использовать случайный поиск решения. Данный способ заключается в генерации L (произвольное целое положительное число) совместных плотностей (a1,a2) из множества всех возможных плотностей. Для каждой из полученных плотностей генерируется L векторов (a1,a2) в соответствии с совместной плотностью (a1,a2).

Далее для каждого вектора коэффициентов (a1,a2) вычисляется передаточная функция СУ и осуществляется анализ качества системы. Т.к. изложенный выше метод предполагает генерацию L векторов(a1,a2), то и анализ качества системы проводится L раз. В результате получаем семейство переходных характеристик СУ и интервальные средние оценки качества регулирования.

Отметим главные особенности метода генерации случайных плотностей (a1,a2) и вектора параметров (a1,a2):

определение характеристик СУ осуществляется на множестве всех возможных плотностей, ограниченных имеющейся информацией.

метод учитывает возможное отсутствие информации о независимости коэффициентов и о степени их зависимости за счет того, что все расчеты используют совместные плотности.

При моделировании случайных переменных используется специальное представление задачи (3-5) через импульсные функции, что позволяет существенно сократить время моделирования.

Изложенный метод позволяет получить вектор случайных параметров передаточной функции отдельного звена СУ. Для исследования всей системы необходимо получить общую передаточную функцию СУ. Это может быть сделано с помощью формулы Мэзона [4]. Однако, передаточная функция системы, рассчитанная таким образом, получается в формализованном виде.

Для определения передаточной функции системы в виде полиномов в числителе и знаменателе необходимо провести ряд арифметических преобразований. Чтобы программно реализовать упрощение арифметических выражений, существуют принципы аналитических преобразований уравнений.

На основе реализованных методов и алгоритмов разработан программный комплекс анализа качества СУ в условиях, когда ее параметры представляют собой интервальные средние. Структура программного комплекса представлена на рис.2.

Рисунок 2 - Структура программного комплекса

Литература

1. Вощинин А.П., Сотироа Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности - Изд-во МЭИ (СССР); «Техника» (НРБ), 1989. - 224с.

2. Кузнецов В.П., Интервальные статистические модели, М.: Радио и связь, 1991. - 352 с.

3. Использование интервального подхода при исследовании систем управления / Халимон В.И., Уткин Л.В., Зайцева В.С. // Международная конференция Компьютерное моделирование: Тезисы докл. - Белгород, 2001. - с. 124-129.

4. Мэзон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы. М.: Издательство иностранной литературы, 1963.650 с.

Размещено на Allbest.ru