Новый методологический подход к цифровой обработке изображений, основанный на теории геометрических инвариантов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Новый методологический подход к цифровой обработке изображений, основанный на теории геометрических инвариантов

Самарина О.В.

В настоящее время методам обработки и анализа цифровых изображений уделяется огромное внимание. Эта работа посвящена проблеме применения инвариантов для решения задач цифровой обработки изображений. В качестве решения предлагается геометрический подход, основанный на использовании геометрических инвариантов изображения относительно группы преобразований, включающей в себя движения, повороты, растяжения и калибровку каналов. Определяется понятие коэффициента перекрытия двух изображений, имеющих общую точку, основанное на теории геометрических вероятностей; вычисляется функция распределения коэффициента перекрытия для некоторых типов изображений.

Коэффициент «перекрытия»

Пусть и ? выпуклые множества на плоскости площади и , периметра и соответственно. На группе движений плоскости определена естественная мера , называемая кинематической плотностью. Справедливы следующие теоремы Сантало [4]:

Теорема 1. Мера выпуклых множеств, конгруэнтных и имеющих общую точку с множеством , т.е. мера множества положений , в которых оно пересекает множество , равна:

,

где ? движение плоскости.

Теорема 2. Пусть , две области на плоскости, не обязательно выпуклые. Предположим, неподвижна, а подвижна с кинематической плотностью , справедлива формула:

,

где - мера Лебега пересечения множеств .

Используя кинематическую плотность , определим естественную геометрическую вероятность. Соответственно определяются случайные выпуклые множества и связанные с ними числовые характеристики.

Пусть - фиксированное выпуклое подмножество плоскости, а - выпуклое подмножество плоскости, полученное случайным движением и. Рассмотрим случайную величину, равную площади пересечения и .

Следствие. Пусть и - выпуклые подмножества плоскости, тогда среднее значение площади пересечения этих множеств (при условии их пересечения) равно:

.

Определение. Коэффициентом «перекрытия» двух множеств и будем называть случайную величину, равную доле площади множества , общей с множеством .

Замечание. Условное математическое ожидание доли площади множества , общей с , при условии их пересечения, соответственно равно:

.

Функция распределения коэффициента «перекрытия» для двух изображений

На практике в задачах обработки и анализа цифровых изображений рассматриваемые изображения обычно имеют форму прямоугольников. Будем считать, что рассматриваемые изображения имеют форму квадратов с размерами сторон . Зафиксируем первое изображение относительно начала координат таким образом, чтобы его центр совпадал с началом координат. Второе изображение будем произвольно передвигать относительно первого (рис. 1).

Рисунок 1. Пересечение двух изображений с размерами сторон

Для нахождения условной вероятности пересечения изображений, рассмотрим функцию распределения коэффициента «перекрытия» для двух изображений. На рис. 2 изображен график коммулятивной функции распределения коэффициента ”перекрытия” двух квадратов с размерами сторон , полученный методом Монте-Карло. Как видно из представленного рисунка, условная вероятность . Другими словами, если два изображения заданного размера имеют общую точку, то с надежностью 70 процентов можно утверждать, что коэффициент перекрытия равен .

Рисунок 2. Эмпирическая коммулятивная функция распределения коэффициента «перекрытия» для двух квадратных изображений с размером стороны

Используя метод статистических испытаний, нетрудно получить функцию распределения коэффициента «перекрытия» для любых двух наперед заданных фигур на плоскости.

Инварианты трехканального изображения

Трехканальное изображение в окрестности рассматриваемой точки представимо тейлоровскими разложениями вида:

Пусть , имеем:

, , .

Для сравнения трехканальных изображений в данной работе было использовано в совокупности 10 характеристик [1?3]: 7 инвариантов изображения и три показателя цвета RGB. Рассматриваемые инварианты были разбиты на две группы.

Инварианты изображения первой группы имеют следующий вид:

,,

, ,

, .

Эти характеристики изображения являются инвариантами относительно таких преобразований, как движения, повороты, растяжения и калибровка каналов.

Вторая группа состоит из одной характеристики, которая является инвариантной относительно проективных преобразований изображения:

.

В совокупности эти инварианты, являются достаточно полными характеристиками изображения, и их можно использовать в самых различных задачах цифровой обработки изображений.

Под показателями цвета понимаются значения вектора, соответствующие трем цветовым характеристикам [Red, Green, Blue] по каждому пикселю изображения:

Для сравнения изображений в данной работе применялся метод попарного сравнения характеристик по всем пикселям рассматриваемых изображений. Была вычислена сумма разностей между характеристиками по формуле . Здесь ? значение -ой характеристики пикселя с координатами первого из рассматриваемых изображений, а ? значение -ой характеристики пикселя второго изображения. Для повышения эффективности описываемой методики обработки цифровых изображений на практике использовался пирамидальный метод обработки изображений, основанный на вейвлет-разложении.

Для определения допустимого значения показателя отклонения было проведено экспериментальное исследование функции распределения коэффициента перекрытия двух изображений.

Экспериментальная часть

В практической части работы было исследовано несколько групп изображений. Исследуем, как изменяются значения функции распределения разностей между характеристиками пикселей изображений при наличии или отсутствии пересечения между изображениями, а также при совпадении текстуры изображений как одной группы, так и различных групп.

Рассмотрим изображения, представленные на рис. 3, а. Общая площадь снимков составляет около 35 процентов. Второй рисунок был параллельно сдвинут по осям и относительно первого. График функции распределения разностей представлен на рис. 3, б.

Рисунок 3. Изображения, имеющие общую область, и график функции распределения показателя отклонения

Рассмотрим изображения, представленные на рис. 4, а и 4, в. Эти рисунки не имеют общих точек, однако имеют общую текстуру. График функции распределения представлен на рис. 4, б.

Рисунок 4. Изображения, имеющие сходную текстуру, но не имеющие общих областей, и график функции распределения показателя отклонения

На рисунке 5, а и 5, в представлены изображения, не имеющие не только общих точек, но и общей текстуры. График функции распределения для этих изображений представлен на рис. 5, б.

Рисунок 5. Изображения, не имеющие сходной текстуры и общих областей, и график функции распределения показателя отклонения

На основании проведенных экспериментов было установлено следующее. Для определения совпадения текстуры рассматриваемых изображений достаточно, чтобы минимальное значение показателя отклонения лежало в диапазоне . Таким образом, при выполнении этого условия эти изображения можно рассматривать на предмет наличия общих областей с учетом того, что при достоверности 0.7 около 0.1 пикселей от общего числа пикселей изображения попадают в общую область.

Представленный в работе методологический подход, основанный на теории геометрических инвариантов и теории геометрических вероятностей, может быть использован при решении различных задач цифровой обработки изображений. Данная методика обработки изображений реализована автором в системе MatLab с применением Wavelet Toolbox. Разработан программный комплекс, решающий задачи нахождения инвариантов изображения, определения наличия общих областей, выявления совпадения текстуры на рассматриваемых снимках, а также сопоставления и привязки изображений. Программный комплекс был апробирован на космических снимках, полученных Югорским Научно-исследовательским институтом информационных технологий.

Литература

инвариант изображение геометрический

1. Самарина, О.В. Групповой подход к изучению и обработке зрительных образов [Текст]/ О.В. Самарина // Материалы VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. - Новосибирск: НГУ, 2007. − 6 с.

2. Самарина, О.В. Инварианты изображения относительно поворотов и растяжений [Текст] / О.В. Самарина, В.В. Славский // Вестник СамГУ. - Самара. - 2007. -№ 9/1. ? С. 128?137.

3. Самарина, О.В. Применение инвариантов при сопоставлении и привязке изображений [Текст] / О.В. Самарина, В.В. Славский // Материалы международной конференции «Геометрия в Астрахани - 2007». - Астрахань: Издательский дом "Астраханский университет", 2007. - С. 54-56.

4. Сантало, Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности [Текст] / Л. Сантало. Пер. с англ. - М: Наука, 1983. -358 с.

Размещено на Allbest.ru