Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обобщение метода анализа иерархий для принятия решений при неточных сравнениях с использованием теории Демпстера-Шейфера

Уткин Л.В., Симанова Н.В.

A new multi-criteria decision making method is proposed in the paper. It generalizes the well-known analytic hierarchy process (AHP) under condition that experts compare not only single decision alternatives, but their groups. In this case, the standard AHP can not be used. Therefore, the proposed method is some generalization and modification of AHP where the expert estimates are processed by using Dempster-Shafer theory or evidence theory.

Введение

Метод анализа иерархий Саати [1] (МАИ) является процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть любой задачи. Метод состоит в декомпозиции задачи на более простые составляющие части и в дальнейшей обработке суждений лица, принимающего решение (ЛПР), по парным сравнениям, которые производятся в терминах предпочтения одного элемента над другим с использованием субъективных суждений по шкале относительной важности. Однако МАИ имеет ряд очевидных недостатков, к которым относится необходимость построения большого числа матриц парных сравнений. Он дает только жесткие оценки альтернатив и не допускает неопределенности в суждениях, что не выполняется в большинстве случаев, так как эксперт обычно неточен и ненадежен. Кроме того, экспертам трудно оценить парные сравнения в рамках имеющейся шкалы. Таким образом, необходимы методы, которые бы сравнивали не все альтернативы, а только часть из них.

Поэтому в данной работе предлагается обобщение МАИ, которое устраняет отмеченные недостатки и использует теорию Демпстера-Шейфера [2,3] для обработки неточных и неполных предпочтений.

Элементы теории Демпстера-Шейфера

Пусть - некоторое множество, которое в теории свидетельств называется универсальным множеством. Предположим, что наблюдений или измерений элемента было получено в качестве информации об объекте, принимающем значения из . При этом предполагается, что результат измерений или наблюдений является неточным, т.е. представляет из себя некоторый интервал (подмножество) значений . Пусть означает количество наблюдаемых подмножеств и - множество всех подмножеств (множество мощности). Частотная функция , называемая базовой вероятностью, определяется, как [2]

Базовая вероятность может быть получена следующим образом:

Определим теперь функции доверия и правдоподобия. Согласно [3], функция доверия, обозначаемая , и функция правдоподобия, обозначаемая , события определяются, как

Функция доверия может быть формально определена, как функция, удовлетворяющая аксиомам, являющимся ослабленным вариантом аксиом Колмогорова, характеризующих вероятность. Поэтому в некоторых случаях имеет смысл рассматривать функцию доверия (правдоподобия), как обобщенную вероятность, а доверие и правдоподобие , как нижнюю и верхнюю вероятности события , т.е. .

Описание обобщенного метода и алгебры предпочтений

Эксперты в соответствии с заданным критерием из множества критериев выделяют некоторое подмножество альтернатив из множества всех подмножеств множества и сравнивают это подмножество с другим подмножеством альтернатив. Другими словами, экспертом устанавливаются предпочтения или . Например, если , и , то предпочтение означает, что альтернатива предпочтительнее, чем или . Таким образом сравниваются некоторые комбинации элементов множества альтернатив . В дальнейшем для краткости предпочтение будем обозначать . Расширенная матрица парных сравнений при таком оценивании содержит столбцов и строк (пустой элемент не рассматривается). Пример матрицы сравнения при показан в таблице ниже.

иерархический неточное сравнение

Предполагается, что эксперты только сравнивают подмножества альтернатив и критериев, но не дают оценки степени сравнения. При этом, если получена оценка , то в клетке таблицы на пересечении -й строки и -го столбца добавляется . В этом случае по результатам оценивания накапливаются значения предпочтений .

Возникает вопрос, как обрабатывать такую матрицу парных сравнений? Заметим, что из предпочтений следует и . Следовательно, можно записать множество элементарных предпочтений

и множество всех подмножеств множества предпочтений, которое состоит из предпочтений вида . Например, предпочтение эквивалентно предпочтению , которое можно представить как подмножество множества , состоящее из элементарных предпочтений , .

Если ограничить расширенную матрицу парных сравнений рассмотрением только элементарных предпочтений из множества , то, используя полиномиальную схему, можно для каждой клетки матрицы (для каждого парного сравнения) назначить некоторую вероятность. Тогда можно рассматривать, как множество элементарных исходов, а все остальные предпочтения, как множество мощности . Однако нельзя однозначно назначить вероятности элементарным исходам из данных ограниченной матрицы парных сравнений, содержащей сравнения из , так как, давая оценки парных сравнений для групп альтернатив, эксперты вносят определенный вклад в вероятности элементарных предпочтений. Но величина вклада неизвестна, так как она может произвольным образом распределяться среди набора элементарных предпочтений, составляющих групповое предпочтение. Это как раз то, что имеет место в свидетельствах, рассматриваемых в рамках теории Демпстера-Шейфера. Следовательно, можно применить основные положения теории Демпстера-Шейфера к обработке полученных оценок.

Для каждого парного сравнения в расширенной матрице парных сравнений определяется его базовая вероятность

Так как каждое предпочтение представляется в виде набора элементарных предпочтений, то обозначим это множество элементарных предпочтений . Будем говорить, что предпочтение является подмножеством предпочтения , если . Будем также говорить, что предпочтение пересекается с предпочтением , если . Тогда для любого предпочтения можно определить функцию доверия и правдоподобия следующим образом:

В конечном итоге сами по себе функции доверия и правдоподобия предпочтения не дают информации о том, как выбрать оптимальную альтернативу из множества возможных. Как полученные результаты привести к оценкам самих альтернатив, а не их сравнений? Одно из возможных решений - рассмотрение предпочтений типа . Это предпочтение означает, что из всех альтернатив эксперт отдал предпочтение подмножеству . Например, если , то предпочтение означает, что из альтернатив эксперт отдал предпочтение . Таким образом, вычисляя функции доверия и правдоподобия предпочтения , мы определяем нижнюю и верхнюю вероятности выбора группы альтернатив или одной альтернативы , если содержит только один элемент .

Предположим, что критерии имеют точные веса или значимости , так что . Комбинирование оценок в соответствии с весами или значимостями критериев осуществляется при помощи линейной свертки

Здесь - базовая вероятность предпочтения или в соответствии с -м критерием. Используя далее правила для определения функций доверия и правдоподобия, вычисляются комбинированные функции доверия и правдоподобия предпочтений типа .

Итоговый выбор наилучшей альтернативы в рассматриваемой задаче основан на сравнении интервалов, образованных функциями доверия и правдоподобия. Существует достаточно большое множество методов сравнения. Однако ниже применяется наиболее обоснованный метод, использующий параметр осторожности , который имеет примерно такой же смысл, как и параметр пессимизма в критерии принятия решений Гурвица. Согласно этому методу наилучшей альтернативой из всех имеющихся альтернатив следует выбирать ту, для которой линейная комбинация является максимальной. Если , то анализируются только функции доверия и принимается пессимистическое решение. Если , то анализируются только функции правдоподобия и принимается оптимистическое решение.

Числовой пример

Рассмотрим задачу транспортной логистики в лесной отрасли. ЛПР должен выбрать один из видов транспорта (альтернатив): железнодорожный (), автомобильный (), водный (). Критерии - надежность соблюдения графика поставок (), стоимость (). Значимости критериев равны и . Эксперты предоставили следующие оценки по двум критериям и .

По критерию : , , , .

По критерию : , , , ,

, .

Соответствие между подмножествами альтернатив и сокращениями показано ниже

Заметим, что условие эквивалентно условию , а условие эквивалентно условию , т.е. и . Найдем базовые вероятности каждого предпочтения:

, , , , .

Определим множества для каждого критерия.

Критерий : , .

Критерий : , , .

В качестве иллюстрации расчетов комбинированных базовых вероятностей ниже даны способы вычисления и

Остальные базовые вероятности равны

Определим теперь функции доверия и правдоподобия альтернатив , , или предпочтений , . Функции доверия и правдоподобия равны

Результаты расчетов для других альтернатив равны

Используя параметр осторожности , получаем для первой альтернативы - , для второй - , для третьей - . Отсюда оптимальным является железнодорожный транспорт.

Литература

1. Саати, Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий [Текст] // Т. Саати / Радио и связь. - М. -1993.

2. Dempster A.P. Upper and lower probabilities induced by a multi-valued mapping // Annales of Mathematical Statistics, 38, - 1967. - С. 325-339.

3. Shafer G.A. Mathematical Theory of Evidence // Princeton University Press, 1976.

Размещено на Allbest.ru