Дифференциальные уравнения и математическое моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет»

ИНЖЕНЕРНАЯ ШКОЛА

Кафедра нефтегазового дела и нефтехимии

Дифференциальные уравнения и математическое моделирование

Выполнил студент гр

И.Н. Голуб

Цель работы: ознакомление с применением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в решении элементарных задач математического моделирования, а также способами решения ОДУ (задач Коши и краевых задач) в программах научного программирования (на примере Matlab).

1.Основные теоретические сведения

дифференциальное уравнение математическое моделирование

Понятие об обыкновенных дифференциальных уравнениях:

Математическое моделирование служит для постановки и решения задач реального мира в математических терминах.

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных.

Геометрический смысл уравнения первого порядка/

Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая

Приложения к математическому моделированию и информатике.

Иногда для моделирования производственных процессов в нефтегазовой отрасли промышленности интересны не столько функция f(x), сколько скорость f'(x) и ускорение f''(x) ее изменения. В некоторых случаях только скорость и ускорение бывают известны. В этом случае требуется найти функцию (интеграл).

Производные и интегралы в Matlab

Нахождение интеграла в Matlab осуществляется с помощью функции int():

int(expr,var,a,b);

Здесь: expr - выражение,

var - переменные выражения,

a и b - нижние и верхние интервалы интегрирования.

Рассмотрим пример решения интеграла выше:

Решение ОДУ в Matlab

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в Matlab применяется функция ode45(). С помощью этой функции можно граничные задачи.

Синтаксис команды: [T y]=ode45(ydot,t,y0), здесь: y - вектор (массив- строка) решений дифференциального уравнения, y0 - начальное значение функции y(t), t0 - начальное значение аргумента, t - вектор значений времени работы модели, ydot - производная исследуемой функции, T - соответствующее y значение функции.

Выполним постановку, табличное и графическое решение задачи о численности популяции в Matlab для определенного коэффициента прироста популяции и на множестве (т.е. с момента времени 0 до 10).

2.Задача 1. Разрядка аккумуляторной батареи

Требуется сформулировать задачу разрядки батареи, питающий лампу. Электрическая схема цепи состоит из источника постоянного тока c напряжением U, выключателя и лампы.

Чем дольше горит лампа, тем меньшее напряжение должна вырабатывать батарейка модели и тем слабее должна светить лампочка. В этом и состоит динамика модели: напряжение и связанная с ним яркость свечения лампы зависят от времени.

Уменьшение напряжения батарейки со временем опишем уравнением:

, где:

UБ(t) - зависимость напряжения батарейки от общего времени ее работы;

U0 - напряжение, создаваемое новой батарейкой;

t - общее время работы батарейки в фонарике;

T - срок службы батарейки, работающей в фонарике.

При решении этой задачи мы пренебрежем сопротивлением проводов, поэтому напряжение на лампочке будет равно напряжению батарейки.

Для решения задачи нам потребуется представить уравнение разряда батарейки в дифференциальном виде:

Требуется:

А) Найдите численное решение уравнения этой задачи, задав характеристики аккумуляторной батареи (см. вариант задачи, Приложение А). Как найти коэффициент пропорциональности ?

Б) По аналогии с предыдущими упражнениями, пожалуйста, составьте код Matlab. Когда разрядится аккумулятор?

В) Постройте, пожалуйста, график изменения напряжения U(t) в Matlab для вставки в отчет.

Исходные данные для решения самостоятельной задачи №1

Решение задачи 1

А) Чтобы найти коэффициент пропорциональности, нужно выразить его из следующего уравнения:

Примечание: «;» мы используем для запрета вывода на экран результата вычислений.

Результат следующий:

Из этого можно сделать вывод, что коэффициент пропорциональности составляет 0.0191

Б) Нужно узнать когда разрядится аккумулятор.

Для определения, когда разрядится аккумулятор, мы определяем напряжение разряженной батарейки.

Определяем мы следующим образом. Так как батарейка разрядится почти на две трети, ее напряжение составит 37% от начального. Следовательно, нам нужно взять напряжение, создаваемое новой батарейкой, поделить на 100% и умножить на 37%. Т.к. U0=16, получаем :

Примечание: команду «disp» мы используем для вывода значений текста в командное окно.

Напряжение данной батарейки будет составлять 5.92В

Теперь определим время, когда разрядится аккумулятор

Результат следующий:

Из этого можно сделать вывод, что данная батарейка разрядится через 53 минуты.

В) График изменения напряжения .

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений применяется функция ode45().

Синтаксис команды: [T U]=ode45(Udot,t,U0), здесь:

U - вектор (массив- строка) решений дифференциального уравнения,

U0 - начальное значение функции y(t),

t0 - начальное значение аргумента,

t - вектор значений времени работы модели,

Udot - производная исследуемой функции,

T - соответствующее y значение функции.

Примечание: команда plot(T, U) строит график элементов одномерного массива.

«ylabel» ('Напряжение[V]') помещает текст вдоль оси y

«xlabel» ('Время(min)') помещает текст вдоль оси x

Заголовок мы задаем командой «title»

Задача 2. Зарядка электроконденсатора

Электрический конденсатор изначально не заряжен. Процесс зарядки электрического конденсатора в цепи 8, к которому в момент времени 1 = 0 приложено напряжение U, описывается ОДУ первого порядка с начальным условием Q(0)=0.

а) Найдите численное решение уравнения этой задачи, задав следующие характеристики цепи сопротивление R, емкость С, напряжение V (см. вариант задачи, Приложение Б)

б) Ответьте, пожалуйста, на вопросы. Как зависит заряд конденсатора от времени. Заряжается ли он бесконечно, или в какой-то момент времени происходит его насыщение?

в) Постройте, пожалуйста, график зарядки конденсатора для вставки в отчет.

Исходные данные для решения самостоятельной задачи №2

Решение задачи 2

Для решение данной задачи первым делом записываем интервал графика и начальные значения по варианту.

Рассчитываем производную для дальнейшего построения графика.

И приступаем к построению графика с помощью команды plot

Размещено на Allbest.ru