Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ имени В.И. Вернадского»)

Агротехнологическая академия

Факультет землеустройства и геодезии

Кафедра системного анализа и информатизации

Курсовая работа

по дисциплине

«Теория и технология программирования»

по теме

«Решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера»

Степанова Екатерина Витальевна

Симферополь

2020 г.

Аннотация

Дифференциальные уравнения чаще всего используются для описания динамических (то есть изменяющихся во времени) математических моделей и реальных процессов, что, несомненно, характеризует их решение как чрезвычайно важный и актуальный аспект в науке и производстве.

Целью исследования является: углубленное рассмотрение возможностей численного решения дифференциальных уравнений, а также изучение метода Эйлера и рассмотрение примеров решений данными методами.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, метод Рунге-Кутта, метод Эйлера.



Сокращение

ОДУ - обыкновенное дифференциальное уравнение



Содержание

• эйлер численный дифференциальный уравнение
• Введение
• 1. Встроенные процедуры решения дифференциальных уравнений
• 2. Использование решателей систем обыкновенных дифференциальных уравнений - справка
• 3. Методы Эйлера
• 4. Результаты расчетов
• Заключение
• Список используемых источников
• Приложение


Введение

В современной науке, благодаря высокому уровню технологического развития, большая часть исследований проводится не прямым экспериментом, а математическими методами.

Исследование различных явлений или процессов с использованием математических методов проводится с использованием математической модели. Математическая модель представляет собой формализованное описание исследуемого объекта. Такое формализованное описание может представлять собой систему дифференциальных уравнений, систему неравенств, определенный интеграл и так далее. Математическая модель охватывает наиболее важные характеристики исследуемого объекта и отражает взаимосвязь между ними.

Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать ход реального процесса с заданной степенью точности, но и позволяет проникнуть в суть физических явлений, а иногда и прогнозировать новые физические эффекты.

Дифференциальные уравнения в настоящее время занимают важное место в инженерных и физических задачах, где часто необходимо прогнозировать поведение системы в течение определенного периода времени, используя известные факты о состоянии данной системы в системе определенный системы начальный сопровождаются момент спроса времени.

В этой программе используется метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Этот метод имеет довольно большую ошибку; кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым - малая начальная ошибка быстро увеличивается с ростом Х.

Поэтому чаще используют более точные методы, такие какисправленный метод Эйлера. Метод Эйлера является методом Рунге - Кутта первого порядка.



1. Встроенные процедуры решения дифференциальных уравнений

В MATLAB реализованы различные численные спроса методы степени решения также систем товаров обыкновенных только дифференциальных торгового уравнений торговых (оду). Их увязать реализации удобством называются управление решателями, услуг от английского уходящие слова факторовsolver.

Краткое описание решателей:

- ode45- одношаговые элементы явные этапом методы этомРунге-Кутты являясь 4-го активную и более 5-го внешней порядка. Это внутренней классический воздействие метод, воздействуют рекомендуемый деятельности для зависимости начального заключение образца закупочной раствора. Во изыскание многих информационное случаях коммерческая это конечному дает конечный хорошие мероприятий результаты.

- ode23- одношаговые особенности явные отличительным методы относятся Рунге-Кутты первой 2-го поставка и предоставление 4-го предприятия порядка. При представлено умеренной представляют строгости прибыли системы продвижении ODE производитель и процесс низких развивающейся требованиях разделениек разделении точности распределение этот распределением метод розничной может связанные дать связаны выигрыш системе в системы скорости сопровождаются решения.

- ode113- это также многоступенчатый товаров метод только Адамса торгового - торговыхБашворта - Моултона увязатьпеременного удобством порядка. Это управление адаптивный услуг метод, установление который уходящие может факторов обеспечить целом высокую широкого точность экономическая решения.

- ode23tb - это элементы неявный этапом метод этомРунге-Кутты, являясь в активну начале более решения внешней и внутренней метод, воздействие который воздействуют использует деятельности формулы зависимости обратного заключение дифференцирования закупочной 2-го изыскание порядка информационное в коммерческая следующем. Несмотря на относительно мероприятий низкую места точность, обеспечивающие этот особенности метод отличительным может относятся быть первой более поставка эффективным, предоставление чем предприятияode15s.

- ode15s - это прибыли многоступенчатый продвижении метод производитель переменного процесс порядка развивающейся (от разделение 1 разделении до распределение 5, распределением по розничной умолчанию связанные 5), связаны который системе использует системы численные сопровождаются формулы спроса дифференцирования. Это степени адаптивный также метод, товаров и только его торгового следует торговых использовать, увязать если удобством решатель управлениеode45 услуг не установление предоставляет уходящие решения.

- ode23s- это широкого одношаговый экономическая метод, элемент использующий элементов модифицированную элементы формулу Розенброка этом 2-го являясь порядка. Он активную может более обеспечить внешней высокоскоростные внутренней вычисления воздействие с воздействуют низкой деятельности точностью зависимостидля заключение решения закупочной жесткой изыскание системы информационное дифференциальных коммерческая уравнений.

- ode23t- метод мероприятий трапеций места с обеспечивающие интерполяцией. Этот особенности метод отличительным даёт относятся хорошие первой результаты поставка при предоставление решении предприятия задач, описывающих представляют колебательные прибыли системы продвижении производитель почти процесс гармоническим развивающейся выходным разделение сигналом.

- bvp4c -используется распределением для розничной решения связанные краевых связаны задач, системе то системы есть сопровождаются решения спроса системы степени дифференциальных также уравнений товаров вида только, торговогопри торговых условии увязать.

- pdepe -необходим услуг для установление решения уходящие систем факторов параболических целом и широкого эллиптических экономическая уравнений элемент в элементов частных элементы производных, этапом введенных этом в являясь ядро активную системы более для внешней поддержки внутренней новых воздействие открытых воздействуют графических деятельности функций зависимости GL.

Все заключение решатели закупочной могут изыскание решать информационное системы коммерческая уравнений конечномув конечный явном мероприятий виде:

.

Кроме обеспечивающие того, особенности решатели отличительнымode15s относятся и первойode23t поставка способны предоставление находить предприятия корни представлено дифференциально-алгебраических представляют уравнений:

,

где продвижении M производитель называется матрицей развивающейся масс. Решатели разделениеode15s, разделенииode23s, распределениеode23t распределением и розничнойode23tb связанные могут связаны решать системе уравнения системы неявного сопровождаются вида:

.

Наконец, степени все также решатели, товаров за только исключением торговогоode23s, торговых который увязать требует удобством постоянства управление матрицы услуг масс, установление и уходящие bvp4c, факторов могут целом найти широкого корни экономическая матричного элемент уравнения элементов вида:

.

Для этапом решения этом жестких являясь систем активную уравнений более рекомендуется внешней использовать внутренней только воздействие специальные воздействуют решатели деятельностиode15s, ode23s, ode23t, закупочнойode23tb. Более изыскание подробно информационноеode23s коммерческая и конечномуode23tb конечный используются мероприятий для места решения обеспечивающие жестких особенности дифференциальных отличительным уравнений, относятсяode15s первой - поставка для предоставление жестких предприятия дифференциальных представлено и представляют дифференциально прибыли - продвижении алгебраических производитель уравнений, процесс а развивающейсяode23t разделение- разделении для распределение умеренно распределением жестких розничной дифференциальных связанные и связаны дифференциально-алгебраических уравнений.

2. Использование решателей систем обыкновенных дифференциальных уравнений - справка

Для решения систем дифференциальных уравнений применяются следующие обозначения и правила:

- options - аргумент, созданный с помощью функции-наборы odeset- ошибка такого расчета;

- tspan-вектор, определяющий интервал интегрирования Для получения решений в определенные моменты времени (упорядоченные по возрастанию или убыванию), использовать ;

- -вектор начальных условий;

- - произвольные параметры, передаваемые функции F;

- -матрица решений Y, где каждой строке соответствует время, возвращаемое в вектор столбца T;

Параметры могут быть определены как в m-файле, так и в командной строке с помощью команды odeset. Если параметр определен в обоих местах, определение командной строки имеет приоритет.

3. Методы Эйлера

В методе Эйлера производная в дифференциальном уравнении заменяется приближенным значением:

откуда это следует:

, .

Метод Эйлера дает хорошее приближение решения только для достаточно малого шага h и только для первых нескольких точек.

Подставляя различные численные аппроксимации производной , которые изучались в этом примере, в дифференциальное уравнение, мы получаем различные одношаговые методы решения задачи Коши. Среди них выделим:

- Модифицированный метод Эйлера

;

- Метод средней точки

4. Результаты расчетов

Задание №1

Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y'=3*y^(2/3) на отрезке [0;1] с шагом интегрирования h=0,1 и начальным условием y(0)=0.2.

Решение:

-->function f=dx(x,y)

> f=3*y^(2/3);

> end

--> clear all; clc;

--> a=0;

--> b=1;

--> h=0.01;

--> Y=[ ];

--> y=0.2;

-->X=a:h:b;

-->disp('Значенияфункции')

-->disp('x y(x)')

-->disp('')

--> for x=a:h:b;

> y=y+h*dx(x,y);

> Y=[Y y];

>disp([x,y])

> end

--> plot(X,Y)

-->xlabel('x')

-->ylabel('y')

График изображен в приложении (рис.1).

Задание №2

Решить уравнение численно и построить его график.

Решение

-->function dy = myfun(t,y)

-->dy = zeros(2,1);

-->dy(1) = y(1)+2*y(2)+t;

-->dy(2) = 2*y(1)+y(2)+t;

-->t=[0 5];

-->y0=[2 4];

--> [T,Y]=ode45(@myfun, t, y0);

-->plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'x')

-->grid on

-->legend('X','Y');

-->xlabel('t');

-->disp('Вывод значений функций')

--> [Y(:,1),Y(:,2)]

График изображен в приложении (рис. 2)



Заключение

В курсовой работе рассмотрены метод Эйлера и решение дифференциальных уравнений в MATLAB.

Уравнения, содержащие производную функции одной переменной, возникают во многих областях прикладной математики. Вообще говоря, любая физическая ситуация, когда рассматривается степень изменения одной переменной относительно другой переменной, описывается дифференциальным уравнением, и такие ситуации довольно распространены.

Метод Эйлера считается самым простым, но это не значит, что он самый точный. Улучшенный метод немного сложнее в исполнении, но за такое же количество шагов он позволяет построить график намного точнее.



Список используемых источников

1. ГОСТ 2.105-95. Общие требования к текстовым документам.

2. ГОСТ 7.32-91. Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Отчет о НИР. Структура и правила оформления.

3. Д. Мак-Кракен, У. Дорн. Численные методы и программирование на фортране. -М.: Мир,1977.-389,396-408 с.

4. А.А. Самарский. Введение в численные методы. - М.:Наука,1987.-176 с.

5. Алгоритмы вычислительной математики: Лабораторный практикум по курсу «Программирование» для студентов 1 - 2-го курсов всех специальностей БГУИР/А.К. Синицын, А.А. Навроцкий.- Мн.: БГУИР, 2002.- 65-69 с.



Приложение

Рис. 1. График решения методом Эйлера

Рис. 2. График решения ОДУ

Размещено на Allbest.ru

...