Статистическая обработка результатов наблюдений

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ Государственное АВТОНОМНОЕ образовательное учреждение высшего образования

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(НИУ «БелГУ»)

ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНЫХ И ЦИФРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННО-ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ

Лабораторная работа по дисциплине: «Вероятностные модели инфокоммуникационных процессов»

Тема работы: «Статистическая обработка результатов наблюдений»

Студента очного отделения 2 курса 12001910 группы

Курылева Владислава Евгеньевича

Проверил: старший преподаватель кафедры ИТСиТ

Голощапова Вера Анатольевна

Белгород 2021



Введение

Цель работы: изучение основных понятий теории вероятности, ознакомление с основными характеристиками случайных величин и возможными способами их экспериментального определения.

Задачи:

1. Построение вариационного ряда.

Сформировать псевдослучайную последовательность (длиной 5000 значений), имеющую равномерный закон распределения. Последовательность постройте на основе линейного конгруэнтного генератора:

, (1)

Таблица 1 - Варьируемые параметры для линейного конгруэнтного генератора

2. Оценить математическое ожидание, оценить дисперсию равномерно распределенной случайной величины - .

3. Построить гистограмму для нормированной к единице выборки .

4. Сформировать ряд распределенный по нормальному закону:

, (2)

, (3)

5. Оценить математическое ожидание, оценить дисперсию случайной величины с нормальным законом распределения, построить гистограмму.

6. Сформировать ряд распределенный по экспоненциальному закону по (формула Бокса-Мюллера):

(4)

7. Оценить математическое ожидание, оценить дисперсию случайной величины имеющую экспоненциальный закон распределения, построить гистограмму.



Ход работы

1. Для реализации вариационного ряда на основе линейного конгруэнтного генератора, была использована следующая формула:

,

Длинна псевдослучайную последовательность равна 5000 значений и имеющая равномерный закон распределения.

После чего был составлен листинг программного кода:

clc; clear;

m=12960; %модуль

a=1741; %множитель

b=2731; %приращение

x(1)=23; %начальное значение

n=5000;

for i=1:n-1

x(i+1)=mod((x(i)*(a+b)),m);

end

После чего, были получены следующие результаты в виде псевдослучайной последовательности равной 5000 значений.

Рисунок 1 - Полученные значения псевдослучайной последовательности

2. Для оценки мат. ожидания и дисперсии полученной

3. распределённой случайной величины x_n были использованы фрагменты программы из прошлой лабораторной работы.

Листинг:

clc; clear;

m=12960; %модуль

a=1741; %множитель

b=2731; %приращение

x(1)=23; %начальное значение

n=5000;

for i=1:n-1

x(i+1)=mod((x(i)*(a+b)),m);

end

%мат ож

N=length(x);

k=0;

v=0;

for N=1:N

if k<N

k=k+1;

v=v+x(k);

end

end

M=v/k

M1=mean(x) %проверка

%дисперсия

f=0;

for i=1:N

f=f+(x(i)-m)^2;

D=1/(i-1)*f;

end

D1=var(x); %проверка

Результаты, выполненных действий:

Рисунок 2 - Полученное значение мат. Ожидания

Рисунок 3 - Полученное значение дисперсии

4. Для построения гистограммы для нормированной к единице выборки значения xn были использованы фрагменты программного кода из прошлой лабораторной работы. И на основе этого можно составить листинг программы:

clc

clear

m=12960;

a=1741;

b=2731;

x(1)=23;

n=5000;

for i=1:n-1

x(i+1)=mod((x(i)*a+b),m);

end

%мат ожидание

N=length(x);

k=0; v=0;

for N=1:N

if k<N

k=k+1;

v=v+x(k);

end

end

M=v/k;

M1=mean(x);

%дисперсия

f=0;

for i=1:N

f=f+(x(i)-M)^2;

D=1/(i-1)*f;

end

D

D1=var(x);

%норм

x1=0;

y1=1;

for i=1:N %нормирование с использованием стандартных средств Matlab

NOR=mapminmax(x,x1,y1);

end

figure(1)

stem(NOR)

%ещё один способ

for i=1:N %нормирование с использованием формулы

m = min(x);

range = max(x) - m;

x = (x - m) / range;

range2 = y1 - x1;

nor = (x*range2) + x1;

end

figure(2)

stem(nor)

Полученная гистограмма нормированной к единице выборки значений x_n:

Рисунок 4 - Гистограмма нормированной к единице выборки значения x_n

5. Для формирования ряда u_n распределенному по нормальному закону были использованы следующие формулы:

,

,

Листинг:

clc

clear

m=12960;

a=1741;

b=2731;

x(1)=23;

n=5000;

for i=1:n-1

x(i+1)=mod((x(i)*a+b),m);

end

%норм закон

T=length(x);

for i=1:T-1

u(i)=x(i)*cos(x(i+1));

u(i+1)=x(i)*sin(x(i+1));

end

Полученные значения z_n распределенные по нормальному закону:

Рисунок 5 - Значения Un распределенные по нормальному закону

6. Для оценки мат ожидания и дисперсии, ранее полученной случайной величины u_n ,были использованы фрагменты программного кода показанные выше.

Листинг программы:

clc

clear

m=12960;

a=1741;

b=2731;

x(1)=23;

n=5000;

for i=1:n-1

x(i+1)=mod((x(i)*a+b),m);

end

%норм закон

T=length(x);

for i=1:T-1

u(i)=x(i)*cos(x(i+1));

u(i+1)=x(i)*sin(x(i+1));

end

%мат.ожидание

N=length(u);

k=0;

v=0;

for E=1:N

if k<E

k=k+1;

v=v+u(k);

end

end

M=v/k

M1=mean(u)

%дисперсия

f=0;

for i=1:N

f=f+(u(i)-M)^2;

D=1/(i-1)*f;

end

D

D1=var(u)

hist(u)

title('Гистограмма Un по нормальному закону');

xlabel('Значение элемента');

ylabel('Кол-во эл-ов');

Рисунок 6 - Полученное мат ожидание случайной величины u_n

Рисунок 7 - Полученная дисперсия случайной величины u_n

Рисунок 8 - Гистограмма полученной случайной величины u_n распределённый по нормальному закону

7. Для формирования рядя распределенный по экспоненциальному закону по (формула Бокса-Мюллера), была использованы следующие формулы:

,

Листинг программы:

clc

clear

m=12960;

a=1741;

b=2731;

x(1)=23;

n=5000;

for i=1:n-1

x(i+1)=mod((x(i)*a+b),m);

end

%мат ожидание

N=length(x);

k=0; v=0;

for N=1:N

if k<N

k=k+1;

v=v+x(k);

end

end

M=v/k;

M1=mean(x);

%дисперсия

f=0;

for i=1:N

f=f+(x(i)-M)^2;

D=1/(i-1)*f;

end

D;

D1=var(x);

%норм

x1=0.0001;

y1=1;

for i=1:N %нормирование с использованием стандартных средств Matlab

NOR=mapminmax(x,x1,y1);

end

figure(1)

stem(NOR)

%ещё один способ

for i=1:N %нормирование с использованием формулы

m = min(x);

range = max(x) - m;

x = (x - m) / range;

range2 = y1 - x1;

nor = (x*range2) + x1;

end

%эксп

for i=1:n

zn(i) = (-1/M)*log(nor(i));

end

figure(3)

stem(zn)

figure(4)

hist(zn);

title('Гистограмма Zn по экспоненциальному закону');

ylabel('Значение элемента');

xlabel('Кол-во эл-ов');

8. Для оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины z_n имеющую экспоненциальный закон распределения и построения гистограммы, были использованы фрагменты когда, в выше описанной лабораторной работе.

Листинг программы:

%мат ожидание

N=5000;

k=0; v=0;

for N=1:N

if k<N

k=k+1;

v=v+zn(k);

end

end

Mzn=v/k

Mzn1=mean(zn)

%дисперсия

f=0;

for i=1:N

f=f+(zn(i)-Mzn)^2;

Dzn=1/(i-1)*f;

end

Dzn

Dzn1=var(zn)

Полученное значение мат. ожидания, посчитанное формулами и встроенным оператором Matlab: вероятность конгруэнтный генератор

Рисунок 9 - Полученное мат ожидание случайной величины z_n

Полученное значение дисперсии, посчитанное формулами и встроенным оператором Matlab:

Рисунок 10 - Полученная дисперсия случайной величины z_n

Рисунок 11 - Гистограмма полученной случайной величины z_n распределенный по экспоненциальному закону



Вывод

В ходе выполнения лабораторной работы были изучены основные понятия теории вероятности, а именно ознакомление с основными характеристиками случайных величин и возможными способами их определения. Были выполнены все необходимые расчёты и построены гистограммы.

Контрольные вопросы

1. Напишите аналитическое выражение плотности вероятности равномерного закона распределения.

Случайную величину равномерно распределённой на интервале (a, b) и её плотность вероятности равна некоторой постоянной величине на этом интервале и нулю вне него.

a, b -- параметры распределения.

Таким образом, случайная непрерывная величина X имеет равномерное распределение, если она принимает значения х_i (где i=1…n, n -- независимые испытания) с одинаковыми вероятностями,

Случайная величина X на промежутке от а до b имеет равномерное распределение, если плотность распределение равна

Плотность распределения вероятностей (плотность распределения) случайной величины -- первая производная от функции распределения.

Другими словами, плотность вероятности -- это некоторая средняя вероятность, приходящая на бесконечно малый отрезок.

Плотность вероятностей неотрицательная функция:

p(x) > 0

2. Напишите аналитическое выражение плотности вероятности экспоненциального закона распределения.

Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения, если её плотность вероятности имеет вид:

Вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), находится по формуле:

P(a<X<b)=e^?лa-e^?лb

Показательное распределение применяют в теории массового обслуживания и надёжности, для моделирования времени безотказной работы, длительности безаварийной работы приборов и машин, демографии и т. д. Пример, устройство после включения ломается через короткий промежуток времени.

3. Напишите аналитическое выражение плотности вероятности нормального закона распределения.

Случайная непрерывная величина X имеет нормальный закон распределения, если ее плотность распределения вероятности имеет выражение:

где m, у -- параметры распределения СВ;

m_x или m -- математическое ожидание случайной величины,

-- среднеквадратичное отклонение от величины a;

у² -- дисперсия.

Формула функции распределения СВ нормального закона определяется по формуле:

Используется для построения доверительных интервалов, применяется для моделирования разброса при стрельбе, измерения ошибок и т.д.

4. Приведите график плотности вероятности равномерного закона распределения.

5. Приведите график плотности вероятности нормального закона распределения.

6. Приведите график плотности вероятности экспоненциального закона распределения.

7. Приведите формулу для построения последовательности на основе линейного конгруэнтного генератора.

,

8. Приведите формулу Бокса-Мюллера.

,

9. Приведите формулу для построения последовательности распределенной по нормальному закону.

,

,

,

Размещено на Allbest.ru

...