Математические задачи описания и анализа систем
Множественные методы исследования систем. Моделирование и исследование природы сложных систем с помощью сетей Петри. Типовые звенья систем автоматического управления, правила эквивалентных преобразований структурных схем САУ. Алгебра логики; карты Карно.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.12.2021 |
| Размер файла | 712,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.Allbest.Ru/
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Курсовая работа
по дисциплине «Математические основы теории систем»
на тему:
Математические задачи описания и анализа систем
Содержание
- Аннотация
- Пояснительная записка к заданию 1
- Задание 1
- Пояснительная записка к заданию 2
- Задание 2
- Пояснительная записка к заданию 3
- Задание 3
- Пояснительная записка к заданию 4
- Задание 4
- Заключение
- Список используемой литературы
Аннотация
В данном курсовом проекте мы познакомились с различными типами систем управления и методами дискретной математики, которые были использованы для описания свойств и характеристик разного рода систем.
В ходе работы также сталкивались и с операциями присущими классической алгебре и всевозможными методами представления функций, будь то графическим, в виде таблиц, логических схем и т.д.
Оперируя с методами преобразований, упрощения, оптимизации рассматриваемых систем, мы выявили основные характерные их черты, поняли суть назначения того или иного элемента входящего в эту систему.
Если говорить о целях и назначениях, то у каждого указанного в работе метода оценки и исследования есть свои преимущества в тех или иных областях технических систем. Поэтому следует коротко рассказать о каждом в отдельности на примере заданий в практической части этого проекта.
Введение
Основной целью автоматизации является исключение непосредственного участия человека в управлении производственными процессами и другими техническими объектами. В настоящее время автоматизация технологических процессов представляет собой одно из важнейших средств роста эффективности производства, интенсификации развития народного хозяйства.
В настоящее время значение теории автоматического управления переросло рамки только технических систем. Динамические управляемые процессы имеют место в живых организмах, экономических и организационных человеко-машинных системах, их влияние существенно и отказ от них приводит к крупным потерям.
Основным математическим аппаратом при изучении и исследовании систем управления является аппарат дифференциальных уравнений, это линейные объекты с сосредоточенными координатами. При этом различают стационарные объекты, коэффициенты дифференциальных уравнений которых не изменяются во времени, и нестационарные объекты, у которых коэффициенты изменяются с течением времени. Большинство объектов регулирования являются нестационарными объектами, однако, скорость изменения их свойств намного меньше скорости регулирования, поэтому такие объекты при расчете систем регулирования можно приближенно рассматривать как стационарные в течение определенного промежутка времени, за который свойства объекта не успевают существенно измениться.
Пояснительная записка к заданию 1. Множественные методы исследования систем
Под множеством понимается совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое.
Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.
Множества бывают конечными и бесконечными. Множество называют конечным, если число его элементов конечно, т.е. если существует натуральное число N, являющееся числом элементов множества. Множество называют бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов.
Существует два способа задания множеств: перечисление и описание. Задание множества способом перечисления соответствует перечислению всех элементов, составляющих множество. Например: {Иванов, Петров, Сидоров}. Описательный способ задания множества состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества. Например: A = {xM / x - отличник группы} или, что то же самое: A = {x / x - отличник группы}.
Пустым множеством называют множество, не содержащее ни одного элемента. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и то же множество. Множества X и Y не равны, если либо в множестве X есть элементы, не принадлежащие Y, либо в множестве Y есть элементы, не принадлежащие X. Символ равенства обладает свойствами:
1) X = X - рефлексивность;
2) Если X = Y, то Y = X - симметричность;
3) Если X = Y и Y = Z, то X = Z - транзитивность.
Из определения множества следует, что в нем не должно быть неразличимых элементов. Запись {2, 2, 3, 5} следует заменить на запись {2, 3, 5}.
1.1 Графы
Неформально граф можно рассматривать как множество точек и соединяющих эти точки линий со стрелками или без них.
Первой работой теории графов как математической дисциплины считают статью Эйлера (1736 г.), в которой рассматривалась задача о Кёнингсбергских мостах. Эйлер показал, что нельзя обойти семь городских мостов и вернуться в исходную точку, пройдя по каждому мосту ровно один раз. Следующий импульс теория графов получила спустя почти 100 лет с развитием исследований по электрическим сетям, кристаллографии, органической химии и другим наукам.
С графами, сами того не замечая, мы сталкиваемся постоянно. Например, графом является схема линий метрополитена. Точками на ней представлены станции, а линиями - пути движения поездов. Исследуя свою родословную и возводя ее к далекому предку, мы строим так называемое генеалогическое древо. И это древо - граф.
Графы служат удобным средством описания связей между объектами. Ранее мы уже использовали графы как способ наглядного представления конечных бинарных отношений. Но граф используют отнюдь не только как иллюстрацию. Например, рассматривая граф, изображающий сеть дорог между населенными пунктами, можно определить маршрут проезда от пункта А до пункта Б. Если таких маршрутов окажется несколько, хотелось бы выбрать в определенном смысле оптимальный, например самый короткий или самый безопасный. Для решения задачи выбора требуется проводить определенные вычисления над графами. При решении подобных задач удобно использовать алгебраическую технику, да и само понятие графа необходимо формализовать.
Методы теории графов широко применяются в дискретной математике. Без них невозможно обойтись при анализе и синтезе различных дискретных преобразователей: функциональных блоков компьютеров, комплексов программ и т.д.
В настоящее время теория графов охватывает большой материал и активно развивается. При ее изложении ограничимся только частью результатов и основной акцент сделаем на описании и обосновании некоторых широко распространенных алгоритмов анализа графов, которые применяются в теории формальных языков.
Графы, как уже отмечалось в примерах, есть способ "визуализации" связей между определенными объектами. Связи эти могут быть "направленными", как, например, в генеалогическом древе, или "ненаправленными" (сеть дорог с двусторонним движением). В соответствии с этим в теории графов выделяют два основных типа графов: ориентированные (или направленные) и неориентированные.
Построение математического определения графа осуществляется путем формализации и "объектов", и "связей" как элементов некоторых (как правило, конечных) множеств.
1.2 Матрица смежности и инцидентности
Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) - это квадратная матрица A размера n, в которой значение элемента aij равно числу рёбер из i-й вершины графа в j-ю вершину.
Иногда, особенно в случае неориентированного графа, петля (ребро из i-й вершины в саму себя) считается за два ребра, то есть значение диагонального элемента aii в этом случае равно удвоенному числу петель вокруг i-й вершины.
Матрица смежности простого графа (не содержащего петель и кратных рёбер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.
Ниже приведён пример неориентированного графа и соответствующей ему матрицы смежности A. Этот граф содержит петлю вокруг вершины 1, при этом в зависимости от конкретных приложений элемент a11 может считаться равным либо одному (как показано ниже), либо двум.
Рис. 1
aij - число рёбер, связывающих вершины и , причём в некоторых приложениях каждая петля (ребро при некотором ) учитывается дважды.
Матрица смежности пустого графа, не содержащего ни одного ребра, состоит из одних нулей.
Матрица инцидентности - одна из форм представления графа, в которой указываются связи между инцидентными элементами графа (ребро(дуга) и вершина). Столбцы матрицы соответствуют ребрам, строки - вершинам. Ненулевое значение в ячейке матрицы указывает связь между вершиной и ребром (их инцидентность).
В случае ориентированного графа каждой дуге <x,y> ставится в соответствующем столбце: «?1» в строке вершины x и «1» в строке вершины y; если связи между вершиной и ребром нет, то в соответствующую ячейку ставится «0».
Задание 1
По условию задания нам даны следующие отношения множеств:
F(x1) = () F(x7) = ()
F(x2) = (0) F(x8) = ()
F(x3) = () F(x9) = (0)
F(x4) = (x2 ) F(x10) = ()
F(x5) = (x1 ) F(x11) = (x10)
F(x6) = (x4) F(x12) = ()
По заданному состоянию системы составить:
а) Матрицы смежности и инциндентности
б) Определить уровни элементов и построить упорядоченную систему
в) Составить матрицу смежности по упорядоченной структуре
г) Определить количество связей между элементами структуры (Общее число транзитивных путей различной длины между вершинами).
Изображая граф получаем следующее (рис. 1):
Рис. 1. Неупорядоченный граф
В виде матрицы будет выглядеть вот так:
Y-матрица смежности
|
Y = |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x12 |
||
|
x1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
x2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x6 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x9 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x11 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
||
|
x12 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Матрица построена так - по столбцам мы рассматриваем вершины, а по строкам расставлены единицы если данная вершина имеет связь с вершиной под номером данной строки.
Также необходимо построить матрицу инцидентности в которой будут отражаться и обратные связи:
C - матрица инцидентности
|
С = |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x12 |
||
|
x1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
x2 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
||
|
x4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x6 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
-1 |
||
|
x8 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
||
|
x9 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
||
|
x10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
||
|
x11 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
||
|
x12 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Необходимо упорядочить вершины. Для этого находим вершины, для которых нет входящих вершин. Рассматривая пример, определяем, что вершина x6 входящих вершин не имеет (с = 0). Так из этой вершины мы ищем самые длинные пути к другим вершинам. Для начала ищем вершины, путь которым равен одному, далее по нарастающей. В итоге получим:
P(5) = 0 P(2) = 4 P(10) = 3
P(12) = 0 P(8) = 3 P(7) = 4
P(6) = 1 P(1) = 1 P(9) = 5
P(4) = 2 P(11) = 2 P(3) = 1
Графически преобразованный граф будет выглядеть так (рис. 2):
Размещено на http://www.Allbest.Ru/
Рис. 2. Упорядоченный граф
Занесем в матрицу А полученные новые связи упорядоченных вершин длиной в единицу
|
А1 = |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x12 |
||
|
x1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
||
|
x3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
x5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||
|
x7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||
|
x9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Также мы можем найти количество связей между вершинами равным двум и более до пяти, т.к. самый длинный путь равен пяти.
Для этого возводим данную матрицу в квадрат, тем самым находим количество связей равным двум. Получаем матрицу А2. (матрица представлена ниже)
|
А2 = |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x12 |
||
|
x1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
|
x3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||
|
x4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||
|
x7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
||
|
x8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
|
x10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Возводим матрицу А в куб и матрица А3 будет показывать количество связей между вершинами длиной в три. (матрица представлена ниже)
|
А3 = |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x12 |
||
|
x1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
||
|
x2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||
|
x4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
||
|
x5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
|
x8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Возводим матрицу А в четвертую степень и матрица А4 отразит количество связей между вершинами длиной равной четырём. (матрица представлена ниже)
|
А4 = |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x12 |
||
|
x1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
||
|
x2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
x4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
|
x5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Подобные документы
 |