Главная Коллекция "Revolution" Программирование, компьютеры и кибернетика Решение систем линейных уравнений методом простой итерации и методом Зейделя

Решение систем линейных уравнений методом простой итерации и методом Зейделя

Приведение системы к итерационному виду с помощью элементарных преобразований. Решение системы методом простой итерации и методом Зейделя. Сравнительный анализ метода Зейделя и метода простых итераций. Проверка решения задания в программе MS Excel.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид лабораторная работа
Язык русский
Дата добавления 14.04.2024
Размер файла 3,3 M
рефераты на заказ со скидкой

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дисциплина: «Численные методы и прикладное программирование»

Лабораторная работа № 1

Тема: «Решение систем линейных уравнений методом простой итерации и методом Зейделя»

Задание

Найти приближенное решение СЛАУ указанным методом с точностью =10-3

+

Постановка задачи

1. С помощью элементарных преобразований привести систему к итерационному виду.

2. Просчитать два шага вручную:

2.1) методом простой итерации;

2.2) методом Зейделя.

3. Найти решение системы с точностью e = 0,001, используя MS Excel:

3.1) методом простой итерации;

3.2) методом Зейделя.

4. Проверить найденное решение, используя MS Excel и Mathcad

Теория

Методы простой итерации и метод Зейделя

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

или в матричном виде:

AX=B

Для решения системы (1.1) методом простой итерации и методом Зейделя достаточно выполнения условий:

то есть в каждой строке матрицы A модуль элемента, стоящего на главной диагонали, больше суммы модулей остальных элементов этой строки.

Если это условие не выполняется, то путем элементарных преобразований над строками матрицы А необходимо привести матрицу к такому виду, чтобы условие (1.2) было выполнено. Под элементарными преобразованиями над строками матрицы понимаются следующие действия: 1) умножение строки на ненулевое число; 2) перестановка двух строк; 3) прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое ненулевое число.

Следующим шагом в решении системы линейных уравнений методами простой итерации и Зейделя является приведение системы (1.1) к итерационному виду. При выполнении условия (1.2) это можно осуществить, выразив из каждой строки системы элемент, стоящий на главной диагонали:

или в матричном виде:

X=CX+D

В качестве начального приближения можно взять вектор D, то есть

Тогда каждое последующее приближение, согласно методу простой итерации, вычисляется по формулам:

Метод Зейделя отличается от метода простых итераций тем, что при вычислении x2(k+1) используется найденное на этой итерации значение x1(k+1), при вычислении x3(k+1) используются найденные на этой итерации значения x1(k+1) и x2(k+1) и т.д., при вычислении xn(k+1) используются x1(k+1), x2(k+1), …, xn(k+1):

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие:

Решение поставленных задач

Метод простой итерации

13x1-1,7x2+4,2x3=28

1,8x1+34x2+2,1x3=11

1,9x1+2,8x2+17x3=7

x1=2,1538+0,1308x2-0,3231x3

x2=0,3235-0,0529x1-0,0618 x3

x3=0,4118-0,1118x1-0,1647x2

Шаг 1:

2,1538

X(0)= 0,3235

0,4118

= 2,1538+0,1308-0,3231

= 0,3235-0,0529-0,0618)

= 0,4118-0,1118-0,1647

= 2,1538-0,1308*(0,3235)+0,3231*(0,4118)=2,063

= 0,3235-0,0529*(2,1538)-0,0618*(0,4118)=0.1842

= 0,4118-0,1118*(2,1538)-0,1647*(0,3235)=0,1178

2,063

X(1)= 0,1842

0,1178

max {|2.1538-2.063|=0,0908; |0.3235-0.1842|=0,1393;

|0.4118-0.1178|=0,294}=0,294>е

Шаг 2:

= 2,1538+0,1308*(0,1842)-0,3231*(0,1178)=2,1412

= 0,3235-0,0529*(2,063)-0,0618*(0,1178)=0,2072

= 0,4118-0,1118*(2,063)-0,1647*(0,1842)=0,1509

2,1412

X(2)= 0,2072

0,1509

max {|2,063-2,1412|=0,0782; |0,1842-0,2072|=0,023;

|0,1178-0,1509|=0,0331}=0,0782>e

MS Excel:

B13=МАКС(ABS(C9)+ABS(D9);ABS(B10)+ABS(D10);ABS(B11)+ABS(C11))

C16=$G$9+$C$9*C18+$D$9*C19

C17=$G$10+$B$10*B16+$D$10*B18

C18=$G$11+$B$11*B16+$C$11*B17

C19=МАКС(ABS(C16-B16);ABS(C17-B17);ABS(C18-B18))

Метод Зейделя

Шаг 1:

2,1538

X(0)= 0,3235

0,4118

= 2,1538+0,1308-0,3231

= 0,3235-0,0529-0,0618)

= 0,4118-0,1118-0,1647

= 2,1538+0,1308*(0,3235)-0,3231*(0,4118)=2,0.63

= 0,3235-0,0529*(2,063)-0,0618*(0,4118)=0,1889

= 0,4118-0,1118*(2,063)-0,1647*(0,1889)=0,1498

2,063

X(1)= 0,1889

0,1498

max {|2.1538-2.063|=0,0908; |0.3235-0.1889|=0,1346;

|0.4118-0.1498|=0,262}=0,262>е

Шаг 2:

= 2,1538+0,1308*(0,1889)-0,3231*(0,1498)=2,1301

= 0,3235-0,0529*(2,1301)-0,0618*(0,1498)=0,2015

= 0,4118-0,1118*(2,1301)-0,1647*(0,2015)=0,1406

2,1301

X(2)= 0,2015

0,1406

max {|2,063-2,0301|=0,0671; |0,1889-0,2015|=0,0126;

|0,1498-0,1406|=0,0092}=0,0671>e

MS Excel:

C16 =$G$9+$C$9*B17+$D$9*B18;

C17 =$G$10+$B$10*C16+$D$10*B18;

C18=$G$11+$B$11*C16+$C$11*B17;

C19 =МАКС(ABS(C16-B16);ABS(C17-B17);ABS(C18-B18)).

итерация зейдель система преобразование

Проверка решения задания в MS Excel

(B4:D6)=МОБР(B4:D6);

(G4:G6)= МУМНОЖ(B4:D6;G4:G6).

Проверка решения задания в MathCad

Для x, y, z заданы произвольные начальные приближения решения.

Анализ работы

Таким образом, систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными привели к итерационному виду, получили её решение двумя итерационными методами (методом простой итерации за 11 итераций и методом Зейделя за 7 итераций) с точностью ? ? 0,001, проверили решение методом обратной матрицы и с использованием блока Given…Find пакета MathCad.

2.222

Ответ: X*= 0.1978 0,001

0.1308

Список литературы

1. Численные методы в MathCad и MS Excel. Системы линейных уравнений и нелинейные уравнения: метод. указания / сост. М.А. Лысова; Иван. гос. хим.-технол. ун-т. Иваново, 2016. 32 с.

2. Численные методы: учеб. пособие / сост. С.В. Кулакова; Иван. гос. хим.-технол. ун-т. Иваново, 2018. 124 с

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2025, ООО «Олбест» Все наилучшее для вас