Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Агаев Э.Ч.

преподаватель кафедры «Информационные системы и технологии» Туркменский государственный университет имени Махтумкули

(Туркменистан, г. Ашгабад)

Аннотация

В данной статье рассматриваются современные взгляды дифференциальных исчисление функций одной переменной. Проведен перекрестный и сравнительный анализ влияния методик и различных факторов на развитие математики.

Ключевые слова: анализ, метод, образование, математика, наука.

Abstract

Agaev E.Ch.

Lecturer of the Department of Information systems of technologies Turkmen State University named after Magtymguly (Turkmenistan, Ashgabat)

DIFFERENTIAL CALCULUS OF FUNCTIONS OF ONE VARIABLE

This article discusses modern views of the differential calculus of functions of one variable. A cross and comparative analysis of the influence of methods and various factors on the development of mathematics was carried out.

Keywords: analysis, method, education, mathematics, science.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной - это раздел математического анализа, который изучает производные и дифференциалы функций одной переменной. Этот раздел математики имеет множество приложений в физике, экономике, инженерии и других областях.

Производная функции - это скорость изменения функции в каждой точке ее области определения. Она определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Производная функции может быть найдена с помощью формулы или правил дифференцирования.

Дифференциал функции - это приращение функции, которое может быть представлено в виде суммы произведений производной функции и приращения аргумента. Дифференциалы используются для нахождения приближенных значений функций и для решения задач оптимизации.

Основные понятия дифференциального исчисления включают производную функции, правила дифференцирования, производную обратной функции, производную функции, заданной параметрически, производную функции, заданной в неявном виде, дифференциал функции и приложения дифференциального исчисления.

1. Производная явной функции.

Производная явной функции - это скорость изменения функции в каждой точке ее области определения. Она определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Формально, если y=f(x) является функцией, то ее производная f(x) определяется следующим образом:

f(x)=\lim_{h\to 0}\frae{f(x+h)-f(x)}{h}

Если этот предел существует, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, а значение предела f'(x) называется производной функции f(x) в точке x.

Геометрически производная явной функции в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Если производная положительна, то график функции возрастает в этой точке, если отрицательна - убывает, а если равна нулю - то функция имеет экстремум (минимум или максимум) в этой точке.

Производная явной функции играет важную роль в математическом анализе и находит применение в различных областях науки и техники, например, при решении задач оптимизации или при анализе движения тел.

Пример: Найти производную функции f(x) = хЛ2 + 3х - 2.

Решение: Используя определение производной, получим:

f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h= lim(h->0) ((x+h)A2 + 3(x+h) - 2- (xA2 + 3x - 2))/h= lim(h->0) (2xh + hA2 + 3h)/h= lim(h->0) (2x + h + 3)= 2x + 3

Таким образом, производная функции f(x) равна f(x) = 2x + 3.

2. Производная обратной функции.

Производная обратной функции может быть найдена с помощью формулы:

(fM)'(y) = 1/f(x), где x = fM(y).

Пример: Найти производную обратной функции для функции

дифференциальное исчисление функция переменная

f(x) = 3хЛ2 - 2.

Решение: Сначала найдем производную функции f(x): f'(x) = 6x

Затем найдем обратную функцию для

f(x): у = 3хЛ2 - 2 х = sqrt((y+2)/3) fЛ-1(y) = sqrt((y+2)/3)

Теперь найдем производную обратной функции: f-1)'(y) = 1/f(x), где x = fЛ-1(y)= 1/6х= 1/6sqrt((y+2)/3)

Таким образом, производная обратной функции для f(x) равна

(fл-1)'(y) = 1/6sqrt((y+2)/3)

3. Производная функции, заданной параметрически.

Для нахождения производной функции, заданной параметрически, необходимо применить правило дифференцирования сложной функции.

Пусть функция задана параметрически как x=x(t), y=y(t). Тогда производная функции по t определяется следующим образом:

\frac{ dy }{dx }=\frac{ dy/dt}{dx/dt}

Это соотношение вытекает из правила дифференцирования сложной функции для функции y=f(x), где x=x(t) и y=y(t):

\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}

Таким образом, если мы знаем функции x=x(t) и y=y(t), то можем вычислить производную функции по t и затем подставить значения производных в формулу выше.

Геометрически производная функции, заданной параметрически, определяет угловой коэффициент касательной к кривой, заданной параметрически, в точке (x(t 0),y(t 0)). Если производная положительна, то кривая движется в направлении возрастания y при увеличении x, если отрицательна - в направлении убывания, а если равна нулю - то кривая имеет экстремум в этой точке.

Производная функции, заданной параметрически, также находит применение в различных областях науки и техники, например, при описании движения объектов в физике или при анализе динамики процессов в экономике.

Пример: Найти производную для функции, заданной параметрически

x = tA2 + 1, y = tA3 - t

Решение: Используя правило дифференцирования сложной функции, получим:

dy/dx = dy/dt / dx/dt= (3tA2 - 1) / (2t)

Таким образом, производная функции, заданной параметрически равна

dy/dx = (3tA2 - 1) / (2t)

4. Производная функции, заданной в неявном виде.

Производная функции, заданной в неявном виде, может быть найдена с помощью правила дифференцирования неявной функции.

Пример: Найти производную для функции, заданной в неявном виде

хЛ2 + yA2 = 25

Решение: Используя правило дифференцирования неявной функции, получим:

2x + 2y(dy/dx) = 0

dy/dx = -x/y

Таким образом, производная функции, заданной в неявном виде равна

dy/dx = -x/y

Производные и дифференциалы функций одной переменной имеют широкое применение в решении задач оптимизации, моделировании физических процессов, анализе экономических данных и других областях. Они также являются важным инструментом для изучения свойств функций и их поведения в различных точках и интервалах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. -- М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. -- 744c.

2. Бакушинский, А. Элементы высшей математики и численных методов / А. Бакушинский, В. Власов. -- М.: Просвещение, 2014. -- 336 с.

3. Босс, В. Лекции по математике. Том 1. Анализ. Учебное пособие / В. Босс. -- М.: Либроком, 2016. -- 216 с.

4. Воробьев, Н. Н. Теория рядов / Н. Н. Воробьев. -- М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. -- 408 с.

Размещено на Allbest.ru