Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Целью работы является проект цифрового фильтра высоких частот. Известно, что в экспериментах часто возникает необходимость очистить периодический полезный сигнал от шумов. Для этого обычно применяют различные фильтры. Но реализации этих фильтров бывают связаны с серьезными техническими трудностями. Это ограничивает их применение в технике. В последнее время с развитием компьютеров, появились возможности цифровой обработки сигналов и реализации цифровых фильтров, которым и посвящена данная работа. Преимущества цифровой обработки сигналов заключаются: в возможности с большой точностью воспроизводить результаты, реализации сложных алгоритмов и реализации практически любых фильтров, в том числе и тех которые очень трудно реализовать с помощью аналоговой техники.

Оглавление

• Введение
• 1. Анализ требований ТЗ
• 2. Описание математических методов расчета
• 2.1 Метод Фурье
• 2.2 Метод наименьших квадратов
• 3. Расчет импульсных характеристик
• 4. Анализ АЧХ и ФЧХ
• 5. Расчет погрешности аппроксимации
• Заключение
• Приложение 1. Расчет значений импульсной характеристики по методу Фурье в системе MathCad
• Приложение 2. Расчет значений импульсной характеристики по методу наименьших квадратов в системе MathCad
• Введение

Целью работы является проект цифрового фильтра высоких частот.

В соответствии с техническим заданием расчет цифрового фильтра необходимо произвести двумя методами с использованием различного количества отсчетов импульсной характеристики.

В ходе работы должен быть проведен анализ предметной области, анализ требований, предъявляемых к объекту проектирования, расчет необходимых параметров, оценка погрешности, оформление документации.

1. Анализ требований ТЗ

В задании на курсовую работу требуется рассчитать цифровой фильтр высоких частот, который должен иметь следующие параметры:

- приведенная граничная частота задержания равна 0.15,

- приведенная граничная частота пропускания равна 0.37.

Расчет следует провести методом разложения в тригонометрический ряд Фурье и методом наименьших квадратов. Количество отсчетов, для которых необходим расчет импульсных характеристик задано в техническом задании и равно 15, 24 и 32 для каждого из методов расчета.

2. Описание математических методов расчета

Цифровые фильтры (ЦФ) представляют собой системы, предназначенные для преобразования структуры входного сигнала к виду, определяемому характером его дальнейшего использования. Они относятся к классу линейных дискретных систем, взаимосвязь между входным х(i) и выходным y(i) дискретными сигналами в которых определяется следующим разностным уравнением [3]:

(1)

Здесь пределы суммирования N и M и величины и коэффициентами (параметрами) фильтра, причем коэффициенты и могут быть константами либо отсчетами решетчатых функций, зависящих от дискретного времени i.

В соответствии с общим определением передаточных функций систем автоматического управления передаточной функцией H(z) ЦФ называют отношение z-образов выходного Y(z) и входного X(z) сигналов при нулевых начальных условиях:

(2)

Комплексные частотные характеристики представляют собой функции частоты , полученные в результате подстановки (где j мнимая единица, - шаг дискретизации по времени решетчатого сигнала). Модуль комплексной частотной характеристики , называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра, определяет амплитуду выходного сигнала устойчивого фильтра в установившемся режиме. Аргумент комплексной частотной характеристики , называемый фазочастотной характеристикой (ФЧХ) фильтра, определяет фазу выходного сигнала устойчивого фильтра.

Для нерекурсивных фильтров с вещественными коэффициентами справедливы следующие соотношения для АЧХ и ФЧХ[1]:

(3)

(4)

Импульсная характеристика ЦФ h(i) представляет собой реакцию фильтра при нулевых начальных условиях на входное воздействие в виде единичного дискретного скачка:

(5)

Из этого определения следует, что импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика связаны парой преобразований Фурье:

(6)

(7)

На этапе проектирования фильтра необходимо решить следующие задачи: выбрать тип фильтра (с линейной ФЧХ определенного вида), выбрать аппроксимируемую функцию , задающую требования к заданной частотной характеристике, выбрать аппроксимирующую функцию[3]:

(8)

при заданных значениях частоты. При этом, если это равенство обеспечивается без всякого критерия, то задача является неопитимизационной, если же используется какой-либо критерий, то аппроксимационная задача является оптимизационной. Для фильтра высоких частот аппроксимируемая функция принимает значения:

(9)

Аппроксимирующая функция должна удовлетворять следующим требованиям:

- вектор коэффициентов {c} должен быть связан с вектором значений импульсной характеристики {h(i)};

- функция должна просто зависеть от вектора .

Аппроксимирующая функция выглядит следующим образом:

(10)



Для первого выражения формулы (10) ; , при к=0,1,2…, для второго , при к=0,1,2….

2.1 Метод Фурье

При расчете импульсных характеристик с использованием разложения в ряд Фурье удобно использовать следующее выражение[3]:

(11)

Умножая это равенство на функцию и интегрируя полученное произведение в пределах от -0.5 до +0.5 получим:

(12)

Тогда учитывая, что подынтегральное выражение в левой части принимает значения 0 при m не равном k, 1 при m=k=0, и 0.5 при m=k в остальных случаях следует:



Используя известную связь (10) между импульсными характеристиками и коэффициентами с имеем:

(13)

Используя свойство симметрии передаточной функции окончательно имеем:

(14)

Формулы (14) определяют аналитическое описание метода разложения в ряд Фурье для аппроксимирующей функции косинусоидального вида. Из (14) ясно, что значения импульсных характеристик представляются в виде тригонометрического ряда аппроксимируемой функции B(w).

2.2 Метод наименьших квадратов

Оптимизационные методы различаются критерием аппроксимации, уточняющим смысл соотношения

. (15)



Наиболее часто используют два основных критерия аппроксимации: среднеквадратичный критерий, минимизирующий среднеквадратичную погрешность аппроксимации:

(16)

и наилучший равномерный (чебышевский) критерий, минимизирующий абсолютную погрешность аппроксимации:

, . (17)

Критерии (16) и (17) могут применяться раздельно и совместно - каждый для определенной области частот. Функция q(w) в них является весовой функцией, влияющей на точность аппроксимации на различных диапазонах частоты.

Общий принцип определения значений q(w) состоит в следующем: чем точнее должно выполняться соотношение (15) при w = wj, тем больше должно быть значение q(wj).

Метод наименьших квадратов - позволяет при заданных величинах w1, w2 и функциях q(w), B(w) и Ф(w,{с}) определить вектор коэффициентов {с}, минимизирующий целевую функцию:

(18)

Необходимые и достаточные условия минимума (18) [3] имеют вид уравнений:



(19)

где K зависит от четности или нечетности N и принимает значения

(N-1)/2 или N/2-1.

С учетом выражения (11) уравнения (19) сводятся к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов и, следовательно, значений импульсной характеристики h(i):

(20)

где

; (21)

. (22)

Решая систему (20) любым из известных методов решения линейных алгебраических уравнений (например, методом Гаусса) можно получить искомый вектор коэффициентов .

3. Расчет импульсных характеристик

Для проведения расчетов импульсных было принято решение использовать пакет математического моделирования MathCad 2001 Professional фирмы MathSoft Inc. Данный пакет обладает необходимой вычислительной мощностью, содержит значительный набор математических функций и методов, а также предлагает дружественный интерфейс пользователю. Согласно методике, описанной во второй главе, были сформулированы необходимые вычислительные уравнения. Результаты их решения по методу Фурье с количеством отсчетов равным 15, 24, 32 представлены в таблице 1.

Таблица 1. Решение по методу Фурье

i	N=15	N=24	N=32
	h(i)	h(i)	h(i)
0	-8.437e-3	2.831e-3	-9.723e-4
1	-3.976e-3	1.591e-3	-4.457e-4
2	5.413e-3	3.006e-4	-7.930e-4
3	-2.636e-3	2.379e-3	-1.981e-3
4	0.044	-8.437e-3	2.831e-3
5	0.014	-3.976e-3	1.591e-3
6	-0.293	5.413e-3	3.006e-4
7	0.480	-2.636e-3	2.379e-3
8		0.044	-8.437e-3
9		0.014	-3.976e-3
10		-0.293	5.413e-3
11		0.480	-2.636e-3
12			0.044
13			0.014
14			-0.293
15			0.480

Необходимо отметить, что отсчеты импульсной характеристики h(i) симметричны:



для (23)

Результаты вычисления отсчетов импульсной характеристики по методу наименьших квадратов представлены в таблице 2.

Таблица 2. Решение по методу наименьших квадратов

i	N=15	N=24	N=32
	h(i)	h(i)	h(i)
0	-5.290e-3	-0.110	0.026
1	0.027	0.038	0.013
2	1.162e-3	0.317	-0.088
3	-0.078	-0.075	1.406e-3
4	0.047	-0.537	0.138
5	0.134	0.073	-0.098
6	-0.294	0.620	-0.081
7	0.341	2.826e-3	0.266
8		-0.449	-0.118
9		-0.110	-0.407
10		-0.105	0.334
11		0.660	0.430
12			-0.334
13			-0.359
14			-0.125
15			0.813

В качестве весовой функции при вычислении по методу наименьших квадратов была принята функция

(24)

График функции представлен на рис. 1.



Рис.1. График функции q(w)



4. Анализ АЧХ и ФЧХ

Отсчеты амплитудно-частотной характеристики, приведенные в таблице 3, взяты в точках

(25)

Табл. 3. Значения реальной АЧХ рассчитанной по методу Фурье и ее отклонение от идеальной

i	N=15	N=24	N=32
	B(w)	A(w)	|B(w)-A(w)|	B(w)	A(w)	|B(w)-A(w)|	B(w)	A(w)	|B(w)-A(w)|
0	0.000	-8.864e-3	8.864e-3	0.000	5.339e-3	5.339e-3	0.000	-3.045e-3	3.045e-3
1	0.000	2.719e-3	2.719e-3	0.000	-3.177e-4	3.177e-4	0.000	-9.807e-5	9.807e-5
2	0.000	7.759e-3	7.759e-3	0.000	-5.714e-3	5.714e-3	0.000	3.017e-3	3.017e-3
3	0.000	-0.011	0.011	0.000	9.288e-4	9.288e-4	0.000	4.518e-5	4.518e-5
4	0.000	9.502e-3	9.502e-3	0.000	6.568e-3	6.568e-3	0.000	-3.468e-3	3.468e-3
5	0.130	0.125	5.157e-3	0.000	-3.013e-3	3.013e-3	0.000	-1.617e-4	1.617e-4
6	0.292	0.294	2.108e-3	0.000	-8.675e-3	8.675e-3	0.000	4.255e-3	4.255e-3
7	0.455	0.454	1.428e-4	9.881e-3	0.025	0.015	0.000	-1.531e-4	1.531e-4
8	0.617	0.612	5.188e-3	0.109	0.105	3.418e-3	0.000	-6.809e-3	6.809e-3
9	0.779	0.788	8.822e-3	0.208	0.206	1.428e-3	0.000	5.880e-3	5.880e-3
10	0.942	0.937	4.060e-3	0.306	0.306	7.390e-5	0.051	0.051	3.202e-4
11	1.000	1.003	2.906e-3	0.405	0.406	6.209e-4	0.125	0.121	3.951e-3
12	1.000	1.004	4.181e-3	0.504	0.506	1.890e-3	0.198	0.198	1.937e-4
13	1.000	0.998	1.874e-3	0.603	0.602	6.301e-4	0.271	0.273	2.095e-3
14	1.000	0.999	1.025e-3	0.702	0.698	3.597e-3	0.345	0.345	6.548e-4
15				0.800	0.803	2.113e-3	0.418	0.416	1.389e-3
16				0.899	0.906	6.930e-3	0.491	0.490	1.089e-3
17				0.998	0.979	0.019	0.565	0.566	1.400e-3
18				1.000	1.005	5.297e-3	0.638	0.640	1.871e-3
19				1.000	1.002	2.446e-3	0.711	0.710	1.501e-3
20				1.000	0.998	2.366e-3	0.784	0.782	2.773e-3
21				1.000	0.999	1.052e-3	0.858	0.861	2.793e-3
22				1.000	1.001	5.881e-4	0.931	0.936	4.739e-3
23				1.000	1.001	6.522e-4	1.000	0.987	0.013
24							1.000	1.004	4.388e-3
25							1.000	1.002	1.869e-3
26							1.000	0.998	2.060e-3
27							1.000	0.999	9.894e-4
28							1.000	1.001	8.623e-4
29							1.000	1.001	5.993e-4
30							1.000	1.000	3.427e-4
31							1.000	0.999	6.707e-4

Табл. 4. Значения реальной АЧХ рассчитанной по методу наименьших квадратов и ее отклонение от идеальной

i	N=15	N=24	N=32
	B(w)	A(w)	|B(w)-A(w)|	B(w)	A(w)	|B(w)-A(w)|	B(w)	A(w)	|B(w)-A(w)|
0	0.000	4.221e-3	4.221e-3	0.000	-9.135e-3	9.135e-3	0.000	8.127e-3	8.127e-3
1	0.000	-1.520e-3	1.520e-3	0.000	8.177e-3	8.177e-3	0.000	-2.757e-3	2.757e-3
2	0.000	-4.659e-3	4.659e-3	0.000	5.384e-3	5.384e-3	0.000	-8.737e-3	8.737e-3
3	0.000	5.621e-3	5.621e-3	0.000	-0.024	0.024	0.000	6.273e-3	6.273e-3
4	0.000	-7.001e-3	7.001e-3	0.000	9.708e-3	9.708e-3	0.000	5.521e-3	5.521e-3
5	0.130	-0.089	0.219	0.000	0.026	0.026	0.000	-0.013	0.013
6	0.292	-0.188	0.480	0.000	-0.059	0.059	0.000	-1.516e-3	1.516e-3
7	0.455	-0.139	0.593	9.881e-3	0.258	0.248	0.000	0.017	0.017
8	0.617	0.166	0.451	0.109	1.688	1.579	0.000	-0.020	0.020
9	0.779	0.601	0.178	0.208	3.686	3.478	0.000	0.023	0.023
10	0.942	0.918	0.023	0.306	4.243	3.936	0.051	0.433	0.381
11	1.000	1.011	0.011	0.405	2.156	1.751	0.125	1.238	1.113
12	1.000	0.995	5.013e-3	0.504	-1.032	1.536	0.198	2.072	1.874
13	1.000	0.996	3.930e-3	0.603	-2.519	3.122	0.271	2.669	2.397
14	1.000	1.009	8.758e-3	0.702	-1.466	2.168	0.345	3.201	2.856
15				0.800	0.386	0.414	0.418	3.769	3.351
16				0.899	1.239	0.340	0.491	3.814	3.323
17				0.998	1.116	0.118	0.565	2.623	2.059
18				1.000	0.950	0.050	0.638	0.459	0.179
19				1.000	1.018	0.018	0.711	-1.350	2.061
20				1.000	1.030	0.030	0.784	-1.700	2.484
21				1.000	0.961	0.039	0.858	-0.787	1.644
22				1.000	0.990	9.640e-3	0.931	0.331	0.600
23				1.000	1.043	0.043	1.000	0.918	0.082
24							1.000	1.022	0.022
25							1.000	0.995	5.478e-3
26							1.000	0.997	3.344e-3
27							1.000	1.006	5.868e-3
28							1.000	1.001	6.980e-4
29							1.000	0.997	2.945e-3
30							1.000	1.000	4.190e-4
31							1.000	1.003	2.854e-3

Графики ниже представляют идеальную и реальные АЧХ, рассчитанные методами Фурье и наименьших квадратов для N=15, 24, 32.

Рис. 2. Идеальная АЧХ фильтра высоких частот

Рис.3. Реальная АЧХ фильтра высоких частот, рассчитанная по методу Фурье для N=15



Рис.4. Реальная АЧХ фильтра высоких частот, рассчитанная по методу Фурье для N=24

Рис.5. Реальная АЧХ фильтра высоких частот, рассчитанная по методу Фурье для N=32

Рис.6. Реальная АЧХ фильтра высоких частот, рассчитанная по методу наименьших квадратов для N=15



Рис.7. Реальная АЧХ фильтра высоких частот, рассчитанная по методу наименьших квадратов для N=24

Рис.8. Реальная АЧХ фильтра высоких частот, рассчитанная по методу наименьших квадратов для N=32

Рассчитанная ФЧХ является линейной и полностью совпадает с теоретически прогнозируемой.

во всех случаях (при различном количестве отсчетов и методов расчёта)



Рис. 9. ФЧХ фильтра высоких частот при N=15

ФЧХ фильтра высоких частот при N=24, 32 здесь приводиться не будет в силу ее аналогичности, меняется только лишь угол наклона ФЧХ. Это связано со временем запаздывания сигнала на выходе к входному. При увеличении N эта задержка увеличивается, что является логически верно.

5. Расчет погрешности аппроксимации

Оценка точности аппроксимации, выполненной различными методами с различным количеством отсчетов N, является важной характеристикой применимости методов цифровой фильтрации сигналов в реальной действительности, в конкретном приложении.

В таблицах 3 и 4 приведены значения идеальной, реальной АЧХ, а также их отклонения друг от друга.

В качестве показателя точности погрешности аппроксимации будем использовать среднеквадратичное отклонение аппроксимируемой функции от желаемой, вычисляемое по формуле:

, где (26)

и - верхняя и нижняя граница аппроксимации соответственно

- желаемая функция; - аппроксимируемая функция

Так как метод наименьших квадратов является оптимизационным, и в нашем случае функция q(w) допускает произвольное отклонение аппроксимируемой функции от желаемой в области безразличия цифрового фильтра, то логично определять среднеквадратичное отклонение отдельно для полосы запрета, безразличия и пропускания фильтра.

Табл. 5. Значения среднеквадратичного отклонения в различных полосах частот, методах вычисления и количества отсчетов

Граничные частоты	Метод Фурье	Метод наименьших квадратов
	N=15	N=24	N=32	N=15	N=24	N=32
0<w<0.15	6.843e-5	3.149e-5	1.342e-5	2.312e-5	1.025e-3	2.403e-4
0.15<w<0.37	5.251e-5	1.969e-5	1.129e-5	0.14	4.972	4.313
37<w<0.5	4.439e-5	1.698e-5	8.152e-6	6.142e-5	1.241e-3	2.087e-4
0<w<0.5	4.85e-5	1.757e-5	7.473e-6	0.062	2.188	1.898

Заключение

В результате проделанной работы были получены расчеты шести цифровых фильтров высоких частот, полученных различными методами, а именно методом Фурье и методом наименьших квадратов при количестве отсчетов N=15, 24, 32. цифровой импульсный аппроксимация mathcad

Согласно данным представленным в таблице 5, оба метода дают близкое приближение аппроксимируемой функции к желаемой. Как и ожидалось, с ростом количества отсчетов N, точность цифрового фильтра возрастает. Необходимо отметить, что метод Фурье дает приближение аппроксимируемой функции к желаемой во всем диапазоне приведенных частот, в то время как метод наименьших квадратов дает приближение только в области задержки или пропускания цифрового фильтра. Эта особенность определяется видом функции , которая равна нулю в области безразличия и характеризует степень приближения. В результате самостоятельных исследований было установлено, что при на всем диапазоне частот метод наименьших квадратов дает значения импульсной характеристики равные значению импульсной характеристики рассчитанной по методу Фурье для того же значения количества отсчетов N.

Метод наименьших квадратов является оптимизационным и позволяет снизить вычислительную сложность задачи.

Рассчитанные цифровые фильтры являются нерекурсивными и имеют линейную ФЧХ. С увеличением количества отсчетов N, изменяется угол наклона ФЧХ, что характеризует наибольшее время запаздывания цифрового фильтра и полностью совпадает с теорией.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Расчет значений импульсной характеристики по методу Фурье в системе MathCad

Приложение 2

Расчет значений импульсной характеристики по методу наименьших квадратов в системе MathCad

Размещено на Allbest.ru

...