W_ФД(ц)- Передаточная функция фазового детектора(ФД).

F(ц) - зависимость выходного напряжения от разности фаз, где ц - разность фаз напряжений. При расчёте F(ц) линеаризовали в диапазоне рабочих значений ц.

ПГ - подстраиваемый генератор с передаточной функцией .

УЭ - управляющий элемент с передаточной функцией .

ФНЧ - фильтр нижних частот с передаточной функцией .

Блок позволяет выполнить операцию интегрирования уравнения:

Возмущение n(t) учитывает влияние на качество работы системы флюктуационной составляющей напряжения, воздействие дщ_г - влияние нестабильности частоты ПГ. При расчёте n(t) и дщ_г не учитывались.

1.1 Анализ работы системы ФАПЧ по структурной схеме (рис.1)

Начальное рассогласование частот от эталонного генератора и ПГ:

(1.1)

Где щ_гн - начальная частота сигнала ПГ.

После включения системы ФАПЧ частота сигнала ПГ:

(1.2)

Составляющая щ_гу возникает из-за перестройки частоты ПГ и ее физический смысл можно понять, подставив (1.2) в (1.1), получим

Или:

Из этого выражения следует, что если начальное рассогласование частот от эталонного генератора и ПГ щ_н будет скомпенсировано щ_гу, то частота сигнала с эталонного генератора кажется равной частоте сигнала с ПГ. Составляющая щ_гу определяется в статике выражением(1.3), если для простоты принять что ФНЧ отсутствует и напряжение с ФД подается на на последовательно соединённые ФНЧ, УЭ, и ПГ:

(1.3)

Где К_г - коэффициент передачи ПГ по частоте;

К_уэ - коэффициент передачи УЭ;

К_д - коэффициент, равный максимальному напряжению на выходе ФД;

ц - разность фаз напряжений эталонного генератора и ПГ. Величина (полосы удерживания системы):

(1.4)

Имеющая размерность круговой частоты, определяет максимальное допустимое начальное рассогласование частот, которые могут скомпенсировано в системе ФАПЧ, эту величину называют полосой удержания системы.

С учетом (1.3) и (1.4) частота сигнала с ПГ:

(1.5)

Разность фаз сигналов с эталонного генератора и ПГ определяется выражением:

(1.6)

Где ц₀ - начальное значение разности фаз. Из последнего выражения следует, что:

(1.7)

В установившемся режиме разность фаз ц - постоянная величина, поэтому частота сигнала с ПГ равна частоте сигнала с эталонного генератора, т.е. ошибка стабилизации частоты сигнала ПГ равна нулю.

Подставив в (1.7) формулу (1.5), получим нелинейное дифференциальное уравнение:

или (1.8)

Уравнение (1.8) является основным дифференциальным уравнением системы ФАПЧ; из этого уравнения следует, что в любой момент времени алгебраическая сумма разности частот:

щ_э- щ_г = (1.7)

И расстройки является постоянной величиной, равной начальному рассогласованию частот сигналов эталонного генератора и ПГ.

2. Передаточные функции системы : разомкнутой системы W_р(p), замкнутой системы W₃ (р), ошибки W_e (p)

Представим согласно заданию фильтр нижних частот в виде двух последовательно соединённых звеньев- форсирующего с постоянной времени и инерционного с постоянной времени . Тогда её передаточная функция будет:

Передаточная функция фазового детектора по определению имеет вид:

Подстраиваемый генератор и управляющий элемент согласно заданию в виде безинерционных звеньев, тогда их передаточные функции имеют вид:

Так как все звенья в цепи включены последовательно, то передаточная функция системы ФАПЧ для разомкнутого состояния имеет следующий вид:

Где:

Коэффициент передачи системы ФАПЧ;

- постоянная времени фазового детектора;

и - постоянные времени фильтра нижних частот;

По определению передаточная функция замкнутой системы определяется по формуле:

Где W_p(p) - передаточная функция разомкнутой системы. Значит передаточная функция замкнутой системы ФАПЧ, будет выглядеть следующим образом:

Найдём передаточную функцию по ошибке системы:

Из определения следует что:

В таком случае:

3. Выбор коэффициента передачи системы и постоянных времени её составляющих

Выберем коэффициент передачи системы и постоянные времени её составляющих, удовлетворяющих техническим требованием и условиям устойчивости системы с использованием критерия Гурвица.

Устойчивость характеризует способность системы возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели её из этого состояния.

Следовательно, только устойчивая системы является работоспособной. Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий.

Для оценки устойчивости системы воспользуемся критерием Гурвица. Необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить матрицу Гурвица. С этой целью характеристическое уравнение запишем в виде:

Для нашей системы это:

Чтобы составить матрицу Гурвица воспользуемся следующим порядком: В левом верхнем углу матрицы записывается коэффициент а_п-1, по главной диагонали располагаются коэффициенты с младшими индексами в порядке уменьшения от а_п-1 до а_0.. От каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы так, чтобы индексы возрастали сверху вниз. На место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.

Тогда для системы ФАПЧ матрица Гурвица будет иметь вид:

Условия устойчивости:

1). >0,

2). >0

3). , то есть:

Первое условие выполняется при любых значениях постоянных времени Т₁ и Т_ФД.

Второе условие выполняется при:

При =0 критический коэффициент усиления уменьшается, и можно сказать, что форсирующее звено повышает устойчивость системы.

Чтобы определиться с выбором коэффициента передачи системы, исходя из требования по точности, зададимся требованием:

Преобразуя по Лапласу получаем:

По определению:

Ошибка:

Из этого следует что .

Таким образом коэффициент передачи систем ФАПЧ должен удовлетворять условиям: .

При этом обеспечивается требуемая точность работы и устойчивость системы.

Определимся с постоянными времени. Для этого рассмотрим знаменатель критического коэффициента: так как , то знаменатель должен быть больше нуля. Поэтому должны выполнятся условия а) или условие:

Если выполняются условия: , то нетрудно показать что а) и б) выполняются. Отметим:

Постоянные времени можно определить через фазочастотную характеристику на частоте среза:

Где -запас устойчивости по фазе АЧХ:

С учётом , в первом приближении можно записать ; следовательно:

Принимая во внимание соотношения между частотными показателями качества работы системы и запасом устойчивости по фазе, а также значения и , данные заданием на проект, получим соотношения:

Подставляя в эту формулу M=1.7(по заданию), имеем:

По таблицам Брадиса определим, что Дц=0,73 Также найдём частоту среза через:

Подставляя в эту формулу щ_n=240 1/c и Дц=0,73 имеем:

Этого достаточно чтобы задать условия для нахождения :

Из условия получаем . Если принять:

То . Имеем:

Следовательно исходя из условия имеем:

Тогда:

Следовательно:

Из неравенства б) следует:

Поэтому справедливо:

Тогда:

Сопряжённые частоты:

Коэффициент передачи всей системы можно найти при условии что амплитудо -частотная характеристика равна единице на частоте среза:

При подстановки значений получаем равным 250. Коэффициент передачи ФАПЧ удовлетворяет всем условиям, то есть укладывается в пределы от 100 до , где:

4. Частотные характеристики системы: ЛАХ, ЛФХ

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) определяет зависимость от частоты отношения амплитуды сигнала на выходе системы к амплитуде сигнала на входе. АЧХ определяется как:

Где Р() и Q() - вещественная и мнимая частотные характеристики соответственно.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) устанавливает зависимость сдвига фаз между входным и выходным сигналами, и определяется:

Логарифмические частотные характеристики включают в себя построенные отдельно на одной плоскости логарифмическую амплитудную характеристику (ЛАХ) и логарифмическую фазовую характеристику(ЛФХ).

ЛАХ определяется по формуле:

Эта величина выражается в децибелах.

Для построения используется стандартная сетка. По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, а по оси ординат откладывается модуль в децибелах. Для того чтобы в системе были обеспечены необходимые запасы устойчивости наклон ЛАХ, в диапазоне частот в котором расположена частота среза, должен быть равен 20 дБ/дек.

Логарифмическая ФЧХ отличается от ФЧХ только графиком, при построении ЛФЧХ по оси ординат откладывают ее значение в радианах.

Найдем частотные характеристики системы ФАПЧ.

Передаточная функция разомкнутой системы ФАПЧ имеет вид (см. п.2):

Определим АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы:

;

= ,

То есть АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы ФАПЧ выглядит следующим образом:

Амплитудно-частотная характеристика.

Фазочастотная характеристика.

Логарифмическая амплитудо-частотная характеристика.

График ЛАХ.

Рис. 2 - Логарифмическая амплитудная характеристика: